Distribuția Skellam

Distribuția Skellam
Funcție de distribuție discretă În imagine parametrii au fost indicați cu litera $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ în loc de cu litera $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$
Funcția de distribuție
Parametrii	$\lambda _{1},\lambda _{2}>0\$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}> 0 \}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}> 0 \}$
A sustine	$\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$
Funcția de densitate	$e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}I_{\|n\|}(2{\sqrt {\lambda _{1}\lambda _{2}}})$ ${\ displaystyle e ^ {- (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2})} \ left ({\ frac {\ lambda _ {1}} {\ lambda _ {2}}} \ right) ^ {\ frac {n} {2}} I_ {\| n \|} (2 {\ sqrt {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}})}$ ${\ displaystyle e ^ {- (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2})} \ left ({\ frac {\ lambda _ {1}} {\ lambda _ {2}}} \ right) ^ {\ frac {n} {2}} I_ {\| n \|} (2 {\ sqrt {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}})}$
Valorea estimata	$\lambda _{1}-\lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}}$
Varianța	$\lambda _{1}+\lambda _{2}\$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} \}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} \}$
Indicele de asimetrie	${\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{\frac {3}{2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}} {(\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}}} }$ ${\ displaystyle {\ frac {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}} {(\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}}} }$
Curios	${\frac {1}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}}}$
Funcție generatoare de momente	$e^{\lambda _{1}e^{t}+\lambda _{2}e^{-t}-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}$ ${\ displaystyle e ^ {\ lambda _ {1} e ^ {t} + \ lambda _ {2} e ^ {- t} - (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2})}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ lambda _ {1} e ^ {t} + \ lambda _ {2} e ^ {- t} - (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2})}}$
Funcția caracteristică	$e^{\lambda _{1}e^{it}+\lambda _{2}e^{-it}-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}$ ${\ displaystyle e ^ {\ lambda _ {1} e ^ {it} + \ lambda _ {2} e ^ {- it} - (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2})}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ lambda _ {1} e ^ {it} + \ lambda _ {2} e ^ {- it} - (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2})}}$
Manual

În teoria probabilității , distribuția Skellam este o distribuție de probabilitate care guvernează diferența dintre două variabile aleatoare independente, ambele având o distribuție Poisson . Este numit după John Gordon Skellam . ^[1]

Definiție

Distribuția parametrilor Skellam $(\lambda _{1},\lambda _{2})$ ${\ displaystyle (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2})}$ ${\ displaystyle (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2})}$ este distribuția probabilității variabilei aleatorii

Y=X_{1}-X_{2}

{\ displaystyle Y = X_ {1} -X_ {2}}

{\ displaystyle Y = X_ {1} -X_ {2}}

definită de două variabile aleatoare independente $X_{1}$ ${\ displaystyle X_ {1}}$ $X_ {1}$ Și $X_{2}$ ${\ displaystyle X_ {2}}$ $X_ {2}$ care urmăresc respectiv distribuțiile Poisson ale parametrilor $\lambda _{1}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ $\ lambda _ {1}$ Și $\lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$ $\ lambda _ {2}$ .

Distribuția probabilității $Y=X_{1}-X_{2}$ ${\ displaystyle Y = X_ {1} -X_ {2}}$ ${\ displaystyle Y = X_ {1} -X_ {2}}$ Și

P(n)=e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}I_{|n|}(2{\sqrt {\lambda _{1}\lambda _{2}}})

{\ displaystyle P (n) = e ^ {- (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2})} \ left ({\ frac {\ lambda _ {1}} {\ lambda _ {2}} } \ right) ^ {\ frac {n} {2}} I_ {| n |} (2 {\ sqrt {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}})}

{\ displaystyle P (n) = e ^ {- (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2})} \ left ({\ frac {\ lambda _ {1}} {\ lambda _ {2}} } \ right) ^ {\ frac {n} {2}} I_ {| n |} (2 {\ sqrt {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}})}

,

unde este $I_{\alpha }$ ${\ displaystyle I _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle I _ {\ alpha}}$ este funcția Bessel de primul tip modificată

Această distribuție este derivată din distribuții $P(X_{i}=n_{i})=e^{-\lambda _{i}}\lambda _{i}^{n}/n!$ ${\ displaystyle P (X_ {i} = n_ {i}) = e ^ {- \ lambda _ {i}} \ lambda _ {i} ^ {n} / n!}$ ${\ displaystyle P (X_ {i} = n_ {i}) = e ^ {- \ lambda _ {i}} \ lambda _ {i} ^ {n} / n!}$ , exprimând

P(Y=n)=\sum _{n_{1}-n_{2}=n}P(X_{1}=n_{1})P(X_{2}=n_{2})={\frac {1}{e^{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\sum {\frac {\lambda _{1}^{n_{1}-{\frac {n}{2}}}\lambda _{2}^{n_{2}+{\frac {n}{2}}}}{n_{1}!n_{2}!}}

{\ displaystyle P (Y = n) = \ sum _ {n_ {1} -n_ {2} = n} P (X_ {1} = n_ {1}) P (X_ {2} = n_ {2}) = {\ frac {1} {e ^ {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}}} \ left ({\ frac {\ lambda _ {1}} {\ lambda _ {2}}} \ right) ^ {\ frac {n} {2}} \ sum {\ frac {\ lambda _ {1} ^ {n_ {1} - {\ frac {n} {2}}} \ lambda _ {2} ^ {n_ {2} + {\ frac {n} {2}}}} {n_ {1}! n_ {2}!}}}

{\ displaystyle P (Y = n) = \ sum _ {n_ {1} -n_ {2} = n} P (X_ {1} = n_ {1}) P (X_ {2} = n_ {2}) = {\ frac {1} {e ^ {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}}} \ left ({\ frac {\ lambda _ {1}} {\ lambda _ {2}}} \ right) ^ {\ frac {n} {2}} \ sum {\ frac {\ lambda _ {1} ^ {n_ {1} - {\ frac {n} {2}}} \ lambda _ {2} ^ {n_ {2} + {\ frac {n} {2}}}} {n_ {1}! n_ {2}!}}}

;

arătând că $\textstyle {\frac {P(Y=n)}{P(Y=-n)}}=\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{n}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {P (Y = n)} {P (Y = -n)}} = \ left ({\ frac {\ lambda _ {1}} {\ lambda _ {2}}} \ dreapta) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {P (Y = n)} {P (Y = -n)}} = \ left ({\ frac {\ lambda _ {1}} {\ lambda _ {2}}} \ dreapta) ^ {n}}$ obținem formula de distribuție a $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .

În cazul special în care ambele variabile $X_{1}$ ${\ displaystyle X_ {1}}$ $X_ {1}$ Și $X_{2}$ ${\ displaystyle X_ {2}}$ $X_ {2}$ urmați aceeași distribuție de probabilitate $\mathbb {P} (\lambda )$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (\ lambda)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (\ lambda)}$ , distribuția devine simetrică și distribuția este ^[2]

P(n)=e^{-2\lambda }I_{|n|}(2\lambda )

{\ displaystyle P (n) = e ^ {- 2 \ lambda} I_ {| n |} (2 \ lambda)}

{\ displaystyle P (n) = e ^ {- 2 \ lambda} I_ {| n |} (2 \ lambda)}

.

Caracteristici

Variabila aleatorie $Y=X_{1}-X_{2}$ ${\ displaystyle Y = X_ {1} -X_ {2}}$ ${\ displaystyle Y = X_ {1} -X_ {2}}$ cu distribuția parametrilor Skellam $(\lambda _{1},\lambda _{2})$ ${\ displaystyle (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2})}$ ${\ displaystyle (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2})}$ are

speranță matematică

E[Y]=E[X_{1}]-E[X_{2}]=\lambda _{1}-\lambda _{2}\

{\ displaystyle E [Y] = E [X_ {1}] - E [X_ {2}] = \ lambda _ {1} - \ lambda _ {2} \}

{\ displaystyle E [Y] = E [X_ {1}] - E [X_ {2}] = \ lambda _ {1} - \ lambda _ {2} \}

funcție caracteristică

\phi _{Y}(t)=\phi _{X_{1}}(t)\phi _{X_{2}}(-t)=e^{\lambda _{1}e^{it}+\lambda _{2}e^{-it}-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}

{\ displaystyle \ phi _ {Y} (t) = \ phi _ {X_ {1}} (t) \ phi _ {X_ {2}} (- t) = e ^ {\ lambda _ {1} e ^ {it} + \ lambda _ {2} e ^ {- it} - (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2})}}

{\ displaystyle \ phi _ {Y} (t) = \ phi _ {X_ {1}} (t) \ phi _ {X_ {2}} (- t) = e ^ {\ lambda _ {1} e ^ {it} + \ lambda _ {2} e ^ {- it} - (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2})}}

funcție generatoare de moment

g_{Y}(t)=g_{X_{1}}(t)g_{X_{2}}(-t)=e^{\lambda _{1}e^{t}+\lambda _{2}e^{-t}-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}

{\ displaystyle g_ {Y} (t) = g_ {X_ {1}} (t) g_ {X_ {2}} (- t) = e ^ {\ lambda _ {1} e ^ {t} + \ lambda _ {2} și ^ {- t} - (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2})}}

{\ displaystyle g_ {Y} (t) = g_ {X_ {1}} (t) g_ {X_ {2}} (- t) = e ^ {\ lambda _ {1} e ^ {t} + \ lambda _ {2} și ^ {- t} - (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2})}}

Luând

s=\lambda _{1}+\lambda _{2}

{\ displaystyle s = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}

{\ displaystyle s = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}

Și

d=\lambda _{1}+\lambda _{2}

{\ displaystyle d = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}

{\ displaystyle d = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}

,

primele momente simple sunt derivate din funcția generatoare de momente

\mu _{1}(Y)=d

{\ displaystyle \ mu _ {1} (Y) = d}

{\ displaystyle \ mu _ {1} (Y) = d}

,

\mu _{2}(Y)=d^{2}+s

{\ displaystyle \ mu _ {2} (Y) = d ^ {2} + s}

{\ displaystyle \ mu _ {2} (Y) = d ^ {2} + s}

,

\mu _{3}(Y)=d^{3}+3ds+d

{\ displaystyle \ mu _ {3} (Y) = d ^ {3} + 3ds + d}

{\ displaystyle \ mu _ {3} (Y) = d ^ {3} + 3ds + d}

,

\mu _{4}(Y)=d^{4}+6d^{2}s+4d^{2}+3s^{2}+s

{\ displaystyle \ mu _ {4} (Y) = d ^ {4} + 6d ^ {2} s + 4d ^ {2} + 3s ^ {2} + s}

{\ displaystyle \ mu _ {4} (Y) = d ^ {4} + 6d ^ {2} s + 4d ^ {2} + 3s ^ {2} + s}

și primele momente centrale

m_{2}(Y)=s

{\ displaystyle m_ {2} (Y) = s}

{\ displaystyle m_ {2} (Y) = s}

,

m_{3}(Y)=d

{\ displaystyle m_ {3} (Y) = d}

{\ displaystyle m_ {3} (Y) = d}

,

m_{4}(Y)=3s^{2}+s

{\ displaystyle m_ {4} (Y) = 3s ^ {2} + s}

{\ displaystyle m_ {4} (Y) = 3s ^ {2} + s}

;

în special găsim varianța

{\text{Var}}(Y)=m_{2}(Y)=s=\lambda _{1}+\lambda _{2}\

{\ displaystyle {\ text {Var}} (Y) = m_ {2} (Y) = s = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} \}

{\ displaystyle {\ text {Var}} (Y) = m_ {2} (Y) = s = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} \}

și indicii de asimetrie și curtoză

\gamma _{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\frac {d}{s^{3/2}}}={\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{\frac {3}{2}}}}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {m_ {3}} {m_ {2} ^ {3/2}}} = {\ frac {d} {s ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}} {(\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}}}}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {m_ {3}} {m_ {2} ^ {3/2}}} = {\ frac {d} {s ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}} {(\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}}}}

,

\gamma _{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac {3s^{2}+s}{s^{2}}}-3={\frac {1}{s}}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{-1}

{\ displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {m_ {4}} {m_ {2} ^ {2}}} - 3 = {\ frac {3s ^ {2} + s} {s ^ {2 }}} - 3 = {\ frac {1} {s}} = (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) ^ {- 1}}

{\ displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {m_ {4}} {m_ {2} ^ {2}}} - 3 = {\ frac {3s ^ {2} + s} {s ^ {2 }}} - 3 = {\ frac {1} {s}} = (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) ^ {- 1}}

.

Proprietate

Distribuția Poisson poate fi considerată un caz special al distribuției Skellam, cu parametri $(\lambda ,0)$ ${\ displaystyle (\ lambda, 0)}$ ${\ displaystyle (\ lambda, 0)}$ ; cu alte cuvinte, având în vedere distribuția degenerată ( ${P(X_{2}=0)=1}$ ${\ displaystyle {P (X_ {2} = 0) = 1}}$ ${\ displaystyle {P (X_ {2} = 0) = 1}}$ ) un caz particular de distribuție Poisson cu parametrul 0, variabila aleatorie $Y=X_{1}-X_{2}=X_{1}$ ${\ displaystyle Y = X_ {1} -X_ {2} = X_ {1}}$ ${\ displaystyle Y = X_ {1} -X_ {2} = X_ {1}}$ este diferența a două variabile aleatoare independente având distribuții Poisson.

Suma și diferența a două sau mai multe variabile aleatoare independente care urmează distribuțiilor Skellam (sau Poisson) urmează ambele o distribuție Skellam. Această proprietate rezultă din definiția distribuției Skellam și din proprietatea analogă pentru suma a două sau mai multe variabile aleatoare independente cu distribuția Poisson. Mai exact, dacă $X=X_{1}-X_{2}$ ${\ displaystyle X = X_ {1} -X_ {2}}$ ${\ displaystyle X = X_ {1} -X_ {2}}$ Și $Y=Y_{1}-Y_{2}$ ${\ displaystyle Y = Y_ {1} -Y_ {2}}$ ${\ displaystyle Y = Y_ {1} -Y_ {2}}$ Urmează distribuțiile parametrilor Skellam $(\lambda _{1},\lambda _{2})$ ${\ displaystyle (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2})}$ ${\ displaystyle (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2})}$ Și $(\mu _{1},\mu _{2})$ ${\ displaystyle (\ mu _ {1}, \ mu _ {2})}$ ${\ displaystyle (\ mu _ {1}, \ mu _ {2})}$ , asa de

-X=X_{2}-X_{1}

{\ displaystyle -X = X_ {2} -X_ {1}}

{\ displaystyle -X = X_ {2} -X_ {1}}

urmărește distribuția parametrilor Skellam

(\lambda _{2},\lambda _{1})

{\ displaystyle (\ lambda _ {2}, \ lambda _ {1})}

{\ displaystyle (\ lambda _ {2}, \ lambda _ {1})}

,

X+Y=(X_{1}+Y_{1})-(X_{2}+Y_{2})

{\ displaystyle X + Y = (X_ {1} + Y_ {1}) - (X_ {2} + Y_ {2})}

{\ displaystyle X + Y = (X_ {1} + Y_ {1}) - (X_ {2} + Y_ {2})}

urmărește distribuția parametrilor Skellam

(\lambda _{1}+\mu _{1},\lambda _{2}+\mu _{2})

{\ displaystyle (\ lambda _ {1} + \ mu _ {1}, \ lambda _ {2} + \ mu _ {2})}

{\ displaystyle (\ lambda _ {1} + \ mu _ {1}, \ lambda _ {2} + \ mu _ {2})}

,

X-Y=(X_{1}+Y_{2})-(X_{2}+Y_{1})

{\ displaystyle XY = (X_ {1} + Y_ {2}) - (X_ {2} + Y_ {1})}

{\ displaystyle X-Y = (X_ {1} + Y_ {2}) - (X_ {2} + Y_ {1})}

urmărește distribuția parametrilor Skellam

(\lambda _{1}+\mu _{2},\lambda _{2}+\mu _{1})

{\ displaystyle (\ lambda _ {1} + \ mu _ {2}, \ lambda _ {2} + \ mu _ {1})}

{\ displaystyle (\ lambda _ {1} + \ mu _ {2}, \ lambda _ {2} + \ mu _ {1})}

,

Notă

^ (EN) JG Skellam, Distribuția în frecvență a diferenței dintre două variante Poisson aparținând diferitelor populații ( rezumat ) în Jurnalul Societății Regale de Statistică, vol. 109, nr. 3, 1946, pp. 296.
^ (EN) JO Irwin, Distribuția în frecvență a diferenței dintre două variații independente Urmând aceeași distribuție Poisson ( rezumat ) în Journal of the Royal Statistical Society, vol. 100, nr. 3, 1937, pp. 415-416.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) JG Skellam, Distribuția în frecvență a diferenței dintre două variante Poisson aparținând diferitelor populații ( rezumat ) în Jurnalul Societății Regale de Statistică, vol. 109, nr. 3, 1946, pp. 296.

[2] (EN) JO Irwin, Distribuția în frecvență a diferenței dintre două variații independente Urmând aceeași distribuție Poisson ( rezumat ) în Journal of the Royal Statistical Society, vol. 100, nr. 3, 1937, pp. 415-416.

[1]

[2]