Distribuția t a studentului

distribuție $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ de Student
Funcția densității probabilității
Funcția de distribuție
Parametrii	$n>0\$ ${\ displaystyle n> 0 \}$ ${\ displaystyle n> 0 \}$ ( grade de libertate )
A sustine	$\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$
Funcția de densitate	${\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{{\sqrt {n\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-({\frac {n+1}{2}})}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}})} {{\ sqrt {n \ pi}} \ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- ({\ frac {n + 1} {2}})}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}})} {{\ sqrt {n \ pi}} \ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- ({\ frac {n + 1} {2}})}}$
Funcția de distribuție	${\frac {\mathrm {B} ({\frac {t+{\sqrt {t^{2}+n}}}{2{\sqrt {t^{2}+n}}}},{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}})}{\mathrm {B} ({\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}})}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {B} ({\ frac {t + {\ sqrt {t ^ {2} + n}}} {2 {\ sqrt {t ^ {2} + n}}}} , {\ frac {n} {2}}, {\ frac {n} {2}})} {\ mathrm {B} ({\ frac {n} {2}}, {\ frac {n} {2 }})}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {B} ({\ frac {t + {\ sqrt {t ^ {2} + n}}} {2 {\ sqrt {t ^ {2} + n}}}} , {\ frac {n} {2}}, {\ frac {n} {2}})} {\ mathrm {B} ({\ frac {n} {2}}, {\ frac {n} {2 }})}}}$ unde este $\mathrm {B}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ $\ mathrm {B}$ este funcția beta
Valorea estimata	$0\$ ${\ displaystyle 0 \}$ $0 \$ de sine $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ $n> 1$ nedefinit altfel
Median
Modă
Varianța	${\frac {n}{n-2}}\$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {n-2}} \}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {n-2}} \}$ de sine $n>2$ ${\ displaystyle n> 2}$ $n> 2$ altfel infinit
Indicele de asimetrie	$0\$ ${\ displaystyle 0 \}$ $0 \$ de sine $n>3$ ${\ displaystyle n> 3}$ $n> 3$ nedefinit altfel
Curios	${\frac {6}{n-4}}\$ ${\ displaystyle {\ frac {6} {n-4}} \}$ ${\ displaystyle {\ frac {6} {n-4}} \}$ de sine $n>4$ ${\ displaystyle n> 4}$ $n> 4$ altfel infinit
Entropie	${\tfrac {n+1}{2}}\left(\digamma ({\tfrac {1+n}{2}})-\digamma ({\tfrac {n}{2}})\right)+\log {\left({\sqrt {n}}\mathrm {B} ({\tfrac {n}{2}},{\tfrac {1}{2}})\right)}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {n + 1} {2}} \ left (\ digamma ({\ tfrac {1 + n} {2}}) - \ digamma ({\ tfrac {n} {2}}) \ dreapta) + \ log {\ left ({\ sqrt {n}} \ mathrm {B} ({\ tfrac {n} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}) \ right)}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {n + 1} {2}} \ left (\ digamma ({\ tfrac {1 + n} {2}}) - \ digamma ({\ tfrac {n} {2}}) \ dreapta) + \ log {\ left ({\ sqrt {n}} \ mathrm {B} ({\ tfrac {n} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}) \ right)}}$ unde este $\digamma$ ${\ displaystyle \ digamma}$ $\ digamma$ este funcția digamă și $\mathrm {B}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ $\ mathrm {B}$ este funcția beta
Funcția caracteristică	${\frac {K_{n/2}({\sqrt {n}}\|t\|)({\sqrt {n}}\|t\|)^{n/2}}{\Gamma (n/2)2^{n/2-1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {K_ {n / 2} ({\ sqrt {n}} \| t \|) ({\ sqrt {n}} \| t \|) ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2) 2 ^ {n / 2-1}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {K_ {n / 2} ({\ sqrt {n}} \| t \|) ({\ sqrt {n}} \| t \|) ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2) 2 ^ {n / 2-1}}}}$ ^[1] unde este $K_{n}(x)$ ${\ displaystyle K_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle K_ {n} (x)}$ este o funcție Bessel
Manual

În teoria probabilității distribuția lui Student , sau t-ul lui Student , este o distribuție continuă a probabilității care guvernează relația dintre două variabile aleatorii , prima cu o distribuție normală și a doua, pătrată, urmând o distribuție chi-pătrată .

Această distribuție intervine în estimarea mediei unei populații care urmează distribuției normale și este utilizată în testul t al Studentului omonim pentru semnificație și pentru fiecare interval de încredere al diferenței dintre două medii .

fundal

Distribuția a fost descrisă în 1908 de William Sealy Gosset , care și-a publicat rezultatul sub pseudonimul „Student” deoarece fabrica de bere Guinness unde era angajat interzicea angajaților săi să publice articole, astfel încât să nu divulge secretele producției. Numele distribuției studentului a fost introdus ulterior de Ronald Fisher . ^[2] ^[3]

Definiție

Distribuția Student cu parametru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ( grade de libertate ) guvernează variabila aleatorie

t_{n}={\frac {Z}{\sqrt {k/n}}}

{\ displaystyle t_ {n} = {\ frac {Z} {\ sqrt {k / n}}}}

{\ displaystyle t_ {n} = {\ frac {Z} {\ sqrt {k / n}}}}

unde este $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ Și $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ sunt două variabile aleatoare independente care respectă distribuția normală standard ${\mathcal {N}}(0,1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)}$ ${\ mathcal {N}} (0,1)$ și distribuția chi-pătrat $\chi ^{2}(n)$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (n)}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (n)}$ cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grade de libertate.

Estimatori

Media $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ și varianța $\sigma ^{2}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$ $\ sigma ^ {2}$ a unei populații $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ poate fi estimat printr-un eșantion de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ elemente, $X_{1},\ldots ,X_{N}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}}$ cu estimatori

{\bar {X}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}

{\ displaystyle {\ bar {X}} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} X_ {i}}

{\ displaystyle {\ bar {X}} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} X_ {i}}

S^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}.

{\ displaystyle S ^ {2} = {\ frac {1} {N-1}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} (X_ {i} - {\ bar {X}}) ^ {2 }.}

{\ displaystyle S ^ {2} = {\ frac {1} {N-1}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} (X_ {i} - {\ bar {X}}) ^ {2 }.}

Să presupunem variabilele aleatorii $X_{1},\ldots ,X_{N}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}}$ care alcătuiesc eșantionul sunt independente și distribuite în mod normal , atunci ${\bar {X}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ este o variabilă normală ${\mathcal {N}}\left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{N}}\right)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} \ left (\ mu, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {N}} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} \ left (\ mu, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {N}} \ right)}$ cu valoarea așteptată $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ și varianță ${\frac {\sigma ^{2}}{N}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma ^ {2}} {N}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma ^ {2}} {N}}}$ . Prin urmare variabila $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ atât de definit

Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sqrt {\sigma ^{2}/N}}}

{\ displaystyle Z = {\ frac {{\ bar {X}} - \ mu} {\ sqrt {\ sigma ^ {2} / N}}}}

{\ displaystyle Z = {\ frac {{\ bar {X}} - \ mu} {\ sqrt {\ sigma ^ {2} / N}}}}

va urma o distribuție normală standard, ${\mathcal {N}}(0,1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)}$ ${\ mathcal {N}} (0,1)$ . Problema este că adesea nu se știe $\sigma ^{2}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$ $\ sigma ^ {2}$ , prin urmare va trebui să avem de-a face cu un estimator al varianței cum ar fi $S^{2}$ ${\ displaystyle S ^ {2}}$ $S ^ {2}$ .

Vom demonstra că următoarea variabilă aleatorie

k={\frac {(N-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}

{\ displaystyle k = {\ frac {(N-1) S ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}}}

{\ displaystyle k = {\ frac {(N-1) S ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}}}

urmează o distribuție chi-pătrat cu $N-1$ ${\ displaystyle N-1}$ $N-1$ grade de libertate, $\chi _{(N-1)}^{2}$ ${\ displaystyle \ chi _ {(N-1)} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {(N-1)} ^ {2}}$ .

Cele două variabile aleatorii $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ Și $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ sunt independenți , conform teoremei lui Cochran .

Prin urmare, variabila aleatorie este definită

t_{N-1}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sqrt {S^{2}/N}}}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sqrt {{\frac {\sigma ^{2}}{N}}{\frac {(N-1)S^{2}}{(N-1)\sigma ^{2}}}}}}={\frac {Z}{\sqrt {k/(N-1)}}}

{\ displaystyle t_ {N-1} = {\ frac {{\ bar {X}} - \ mu} {\ sqrt {S ^ {2} / N}}} = {\ frac {{\ bar {X} } - \ mu} {\ sqrt {{\ frac {\ sigma ^ {2}} {N}} {\ frac {(N-1) S ^ {2}} {(N-1) \ sigma ^ {2 }}}}}} = {\ frac {Z} {\ sqrt {k / (N-1)}}}}

{\ displaystyle t_ {N-1} = {\ frac {{\ bar {X}} - \ mu} {\ sqrt {S ^ {2} / N}}} = {\ frac {{\ bar {X} } - \ mu} {\ sqrt {{\ frac {\ sigma ^ {2}} {N}} {\ frac {(N-1) S ^ {2}} {(N-1) \ sigma ^ {2 }}}}}} = {\ frac {Z} {\ sqrt {k / (N-1)}}}}

Această variabilă aleatorie urmează o distribuție de probabilitate numită "Student's t".

Găsiți distribuția t

Să începem prin a demonstra asta $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este o variabilă aleatorie chi-pătrat. Reamintim că o distribuție $\chi ^{2}(n)$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (n)}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (n)}$ este o anumită variabilă gamma definită după cum urmează

\chi ^{2}(n)=\mathrm {\Gamma } \left({\frac {1}{2}},{\frac {n}{2}}\right)={\frac {e^{-{\frac {x}{2}}}x^{{\frac {n}{2}}-1}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}.

{\ displaystyle \ chi ^ {2} (n) = \ mathrm {\ Gamma} \ left ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {n} {2}} \ right) = {\ frac {e ^ {- {\ frac {x} {2}}} x ^ {{\ frac {n} {2}} - 1}} {2 ^ {\ frac {n} {2}} \ Gamma ({ \ frac {n} {2}})}}.}

{\ displaystyle \ chi ^ {2} (n) = \ mathrm {\ Gamma} \ left ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {n} {2}} \ right) = {\ frac {e ^ {- {\ frac {x} {2}}} x ^ {{\ frac {n} {2}} - 1}} {2 ^ {\ frac {n} {2}} \ Gamma ({ \ frac {n} {2}})}}.}

Unde este $\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ este funcția Euler Gamma definită ca $\Gamma (x)=\int _{0}^{+\infty }{t^{x-1}e^{-t}dt}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {t ^ {x-1} e ^ {- t} dt}}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {t ^ {x-1} e ^ {- t} dt}}$ cu $Re(x)\neq -n,\forall n\in \mathbb {N} _{0}$ ${\ displaystyle Re (x) \ neq -n, \ forall n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$ ${\ displaystyle Re (x) \ neq -n, \ forall n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$

O variabilă chi-pătrat cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grade de libertate se obține prin adăugare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile normale standard ${\mathcal {N}}(0,1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)}$ ${\ mathcal {N}} (0,1)$ pătrat. Acestea fiind spuse, să începem cu definiția varianței eșantionului și să adunăm și să scădem în argumentul însumării $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , valoarea așteptată a variabilei aleatorii $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ care coincide cu cea a variabilei aleatorii ${\bar {X}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ .

S^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{i}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{i}(X_{i}+\mu -\mu -{\bar {X}})^{2}.

{\ displaystyle S ^ {2} = {\ frac {1} {N-1}} \ sum _ {i} (X_ {i} - {\ bar {X}}) ^ {2} = {\ frac { 1} {N-1}} \ sum _ {i} (X_ {i} + \ mu - \ mu - {\ bar {X}}) ^ {2}.}

{\ displaystyle S ^ {2} = {\ frac {1} {N-1}} \ sum _ {i} (X_ {i} - {\ bar {X}}) ^ {2} = {\ frac { 1} {N-1}} \ sum _ {i} (X_ {i} + \ mu - \ mu - {\ bar {X}}) ^ {2}.}

Să definim parametrii $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ca $a=X_{i}-\mu ,b={\bar {X}}-\mu$ ${\ displaystyle a = X_ {i} - \ mu, b = {\ bar {X}} - \ mu}$ ${\ displaystyle a = X_ {i} - \ mu, b = {\ bar {X}} - \ mu}$ și rescrieți formula anterioară

(N-1)S^{2}=\sum _{i}(a-b)^{2}=\sum _{i}a^{2}+\sum _{i}b^{2}-2\sum _{i}ab=\sum _{i}(X_{i}-\mu )^{2}+\sum _{i}({\bar {X}}-\mu )^{2}-2\sum _{i}({\bar {X}}-\mu )(X_{i}-\mu ).

{\ displaystyle (N-1) S ^ {2} = \ sum _ {i} (ab) ^ {2} = \ sum _ {i} a ^ {2} + \ sum _ {i} b ^ {2 } -2 \ sum _ {i} ab = \ sum _ {i} (X_ {i} - \ mu) ^ {2} + \ sum _ {i} ({\ bar {X}} - \ mu) ^ {2} -2 \ sum _ {i} ({\ bar {X}} - \ mu) (X_ {i} - \ mu).}

{\ displaystyle (N-1) S ^ {2} = \ sum _ {i} (ab) ^ {2} = \ sum _ {i} a ^ {2} + \ sum _ {i} b ^ {2 } -2 \ sum _ {i} ab = \ sum _ {i} (X_ {i} - \ mu) ^ {2} + \ sum _ {i} ({\ bar {X}} - \ mu) ^ {2} -2 \ sum _ {i} ({\ bar {X}} - \ mu) (X_ {i} - \ mu).}

Acum putem explica explicit din rezumări toți termenii care nu depind de $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , adică ${\bar {X}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$

(N-1)S^{2}=\sum _{i}(X_{i}-\mu )^{2}+N({\bar {X}}-\mu )^{2}-2({\bar {X}}-\mu )\sum _{i}(X_{i}-\mu )=\sum _{i}(X_{i}-\mu )^{2}+N({\bar {X}}-\mu )^{2}-2({\bar {X}}-\mu )\left[-N\mu +\sum _{i}X_{i}\right]

{\ displaystyle (N-1) S ^ {2} = \ sum _ {i} (X_ {i} - \ mu) ^ {2} + N ({\ bar {X}} - \ mu) ^ {2 } -2 ({\ bar {X}} - \ mu) \ sum _ {i} (X_ {i} - \ mu) = \ sum _ {i} (X_ {i} - \ mu) ^ {2} + N ({\ bar {X}} - \ mu) ^ {2} -2 ({\ bar {X}} - \ mu) \ left [-N \ mu + \ sum _ {i} X_ {i} \ dreapta]}

{\ displaystyle (N-1) S ^ {2} = \ sum _ {i} (X_ {i} - \ mu) ^ {2} + N ({\ bar {X}} - \ mu) ^ {2 } -2 ({\ bar {X}} - \ mu) \ sum _ {i} (X_ {i} - \ mu) = \ sum _ {i} (X_ {i} - \ mu) ^ {2} + N ({\ bar {X}} - \ mu) ^ {2} -2 ({\ bar {X}} - \ mu) \ left [-N \ mu + \ sum _ {i} X_ {i} \ dreapta]}

(N-1)S^{2}=\sum _{i}(X_{i}-\mu )^{2}+N({\bar {X}}-\mu )^{2}-2N({\bar {X}}-\mu )^{2}=\sum _{i}(X_{i}-\mu )^{2}-N({\bar {X}}-\mu )^{2},

{\ displaystyle (N-1) S ^ {2} = \ sum _ {i} (X_ {i} - \ mu) ^ {2} + N ({\ bar {X}} - \ mu) ^ {2 } -2N ({\ bar {X}} - \ mu) ^ {2} = \ sum _ {i} (X_ {i} - \ mu) ^ {2} -N ({\ bar {X}} - \ mu) ^ {2},}

{\ displaystyle (N-1) S ^ {2} = \ sum _ {i} (X_ {i} - \ mu) ^ {2} + N ({\ bar {X}} - \ mu) ^ {2 } -2N ({\ bar {X}} - \ mu) ^ {2} = \ sum _ {i} (X_ {i} - \ mu) ^ {2} -N ({\ bar {X}} - \ mu) ^ {2},}

știind că suma pe toate $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ este egal cu $N{\bar {X}}$ ${\ displaystyle N {\ bar {X}}}$ ${\ displaystyle N {\ bar {X}}}$ . Acum împărțind stânga și dreapta la $\sigma ^{2}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$ $\ sigma ^ {2}$ ajungem în dreapta variabilelor normale

{\frac {(N-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}=\sum _{i}^{N}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}-N\left({\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=\sum _{i}^{N}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}-\left({\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {N}}}}\right)^{2}.

{\ displaystyle {\ frac {(N-1) S ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}} = \ sum _ {i} ^ {N} \ left ({\ frac {X_ {i} - \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2} -N \ left ({\ frac {{\ bar {X}} - \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2} = \ sum _ {i} ^ {N} \ left ({\ frac {X_ {i} - \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {{\ bar {X}} - \ mu} {\ sigma / {\ sqrt {N}}}} \ right) ^ {2}.}

{\ displaystyle {\ frac {(N-1) S ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}} = \ sum _ {i} ^ {N} \ left ({\ frac {X_ {i} - \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2} -N \ left ({\ frac {{\ bar {X}} - \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2} = \ sum _ {i} ^ {N} \ left ({\ frac {X_ {i} - \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {{\ bar {X}} - \ mu} {\ sigma / {\ sqrt {N}}}} \ right) ^ {2}.}

Prin urmare, am obținut în stânga o variabilă cu care am indicat anterior $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , în timp ce în dreapta avem sume ale variabilelor normale standard pătrate, care coincid cu o variabilă chi la pătrat cu $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ grade de libertate și o altă variabilă normală, de asemenea, pătrată standard, adică o variabilă chi-pătrat cu un singur grad de libertate. Știind că sume de variabile chi-pătrate cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ grade de libertate încă corespund unei variabile chi-pătrat cu $n+m$ ${\ displaystyle n + m}$ ${\ displaystyle n + m}$ grade de libertate obținem că funcția densității probabilității de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este chi-pătrat cu $N-1$ ${\ displaystyle N-1}$ $N-1$ grade de libertate.

Prin urmare, acum să începem să spunem asta

t_{n}|k=Z{\sqrt {\frac {n}{k}}}

{\ displaystyle t_ {n} | k = Z {\ sqrt {\ frac {n} {k}}}}

{\ displaystyle t_ {n} | k = Z {\ sqrt {\ frac {n} {k}}}}

unde este $n=N-1$ ${\ displaystyle n = N-1}$ ${\ displaystyle n = N-1}$ este numărul de grade de libertate și asta

f(t_{n}|k)={\mathcal {N}}\left(0,{\frac {n}{k}}\right)={\sqrt {\frac {k}{2\pi n}}}e^{-{\frac {kt^{2}}{2n}}}.

{\ displaystyle f (t_ {n} | k) = {\ mathcal {N}} \ left (0, {\ frac {n} {k}} \ right) = {\ sqrt {\ frac {k} {2 \ pi n}}} și ^ {- {\ frac {kt ^ {2}} {2n}}}.}

{\ displaystyle f (t_ {n} | k) = {\ mathcal {N}} \ left (0, {\ frac {n} {k}} \ right) = {\ sqrt {\ frac {k} {2 \ pi n}}} și ^ {- {\ frac {kt ^ {2}} {2n}}}.}

Cunoscută variabila aleatorie $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , de fapt, este redus la un parametru multiplicativ pentru normal. Din definiția probabilității condiționale pe care o avem

f(t_{n},k)=f(t_{n}|k)f(k),

{\ displaystyle f (t_ {n}, k) = f (t_ {n} | k) f (k),}

{\ displaystyle f (t_ {n}, k) = f (t_ {n} | k) f (k),}

unde este

f(k)={\frac {e^{-{\frac {k}{2}}}k^{{\frac {n}{2}}-1}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}},

{\ displaystyle f (k) = {\ frac {e ^ {- {\ frac {k} {2}}} k ^ {{\ frac {n} {2}} - 1}} {2 ^ {\ frac {n} {2}} \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}},}

{\ displaystyle f (k) = {\ frac {e ^ {- {\ frac {k} {2}}} k ^ {{\ frac {n} {2}} - 1}} {2 ^ {\ frac {n} {2}} \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}},}

este o distribuție chi-pătrat cu $n=N-1$ ${\ displaystyle n = N-1}$ ${\ displaystyle n = N-1}$ grade de libertate. Prin urmare

f(t_{n},k)={\sqrt {\frac {k}{2\pi n}}}e^{-{\frac {kt^{2}}{2n}}}{\frac {e^{-{\frac {k}{2}}}k^{{\frac {n}{2}}-1}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}={\frac {k^{\frac {n-1}{2}}e^{-{\frac {k}{2}}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)}}{2^{\frac {n+1}{2}}{\sqrt {\pi n}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.

{\ displaystyle f (t_ {n}, k) = {\ sqrt {\ frac {k} {2 \ pi n}}} e ^ {- {\ frac {kt ^ {2}} {2n}}} { \ frac {e ^ {- {\ frac {k} {2}}} k ^ {{\ frac {n} {2}} - 1}} {2 ^ {\ frac {n} {2}} \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} = {\ frac {k ^ {\ frac {n-1} {2}} e ^ {- {\ frac {k} {2} } \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right)}} {2 ^ {\ frac {n + 1} {2}} {\ sqrt {\ pi n}} \ Interval \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}}.}

{\ displaystyle f (t_ {n}, k) = {\ sqrt {\ frac {k} {2 \ pi n}}} e ^ {- {\ frac {kt ^ {2}} {2n}}} { \ frac {e ^ {- {\ frac {k} {2}}} k ^ {{\ frac {n} {2}} - 1}} {2 ^ {\ frac {n} {2}} \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} = {\ frac {k ^ {\ frac {n-1} {2}} e ^ {- {\ frac {k} {2} } \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right)}} {2 ^ {\ frac {n + 1} {2}} {\ sqrt {\ pi n}} \ Interval \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}}.}

Observăm că funcția de distribuție dorită nu este altceva decât o funcție marginală a $f(t_{n},k)$ ${\ displaystyle f (t_ {n}, k)}$ ${\ displaystyle f (t_ {n}, k)}$ , de aceea avem

f(t_{n})=\int _{0}^{\infty }\!\!\!f(t_{n},k)dk

{\ displaystyle f (t_ {n}) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! \! f (t_ {n}, k) dk}

{\ displaystyle f (t_ {n}) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! \! f (t_ {n}, k) dk}

f(t_{n})={\frac {1}{2^{\frac {n+1}{2}}{\sqrt {\pi n}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\int _{0}^{+\infty }k^{\frac {n-1}{2}}e^{-{\frac {k}{2}}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)}dk.

{\ displaystyle f (t_ {n}) = {\ frac {1} {2 ^ {\ frac {n + 1} {2}} {\ sqrt {\ pi n}} \ Gamma \ left ({\ frac { n} {2}} \ right)}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} k ^ {\ frac {n-1} {2}} e ^ {- {\ frac {k} {2} } \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right)} dk.}

{\ displaystyle f (t_ {n}) = {\ frac {1} {2 ^ {\ frac {n + 1} {2}} {\ sqrt {\ pi n}} \ Gamma \ left ({\ frac { n} {2}} \ right)}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} k ^ {\ frac {n-1} {2}} e ^ {- {\ frac {k} {2} } \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right)} dk.}

Plasând o substituție cu argumentul exponențial, dar menținându-l negativ

y={\frac {k}{2}}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right),dk=2\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-1}dy,

{\ displaystyle y = {\ frac {k} {2}} \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right), dk = 2 \ left (1 + {\ frac { t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- 1} dy,}

{\ displaystyle y = {\ frac {k} {2}} \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right), dk = 2 \ left (1 + {\ frac { t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- 1} dy,}

noi obținem

f(t_{n})={\frac {\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-1}}{2^{\frac {n-1}{2}}{\sqrt {\pi n}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int _{0}^{+\infty }\left({\frac {2y}{1+{\frac {t^{2}}{n}}}}\right)^{\frac {n-1}{2}}e^{-y}dy={\frac {\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}}{{\sqrt {\pi n}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\int _{0}^{+\infty }y^{\frac {n-1}{2}}e^{-y}dy,

{\ displaystyle f (t_ {n}) = {\ frac {\ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- 1}} {2 ^ {\ frac { n-1} {2}} {\ sqrt {\ pi n}} \ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ left ({\ frac {2y} {1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}}}} \ right) ^ {\ frac {n-1} {2}} e ^ {- y} dy = {\ frac {\ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- {\ frac {n + 1} {2}}}} {{\ sqrt {\ pi n}} \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} y ^ {\ frac {n-1} {2}} e ^ {- y} dy,}

{\ displaystyle f (t_ {n}) = {\ frac {\ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- 1}} {2 ^ {\ frac { n-1} {2}} {\ sqrt {\ pi n}} \ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ left ({\ frac {2y} {1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}}}} \ right) ^ {\ frac {n-1} {2}} e ^ {- y} dy = {\ frac {\ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- {\ frac {n + 1} {2}}}} {{\ sqrt {\ pi n}} \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} y ^ {\ frac {n-1} {2}} e ^ {- y} dy,}

integralul definit are ca rezultat funcția Euler Gamma în sine

\int _{0}^{+\infty }y^{\frac {n-1}{2}}e^{-y}dy=\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}+1\right)=\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} y ^ {\ frac {n-1} {2}} e ^ {- y} dy = \ Gamma \ left ({\ frac {n-1} {2}} + 1 \ right) = \ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} y ^ {\ frac {n-1} {2}} e ^ {- y} dy = \ Gamma \ left ({\ frac {n-1} {2}} + 1 \ right) = \ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)}

Prin urmare, obținem rezultatul nostru în cele din urmă

f(t_{n})={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi n}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cdot \left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}

{\ displaystyle f (t_ {n}) = {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi n}} \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} \ cdot \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- {\ frac {n + 1 } {2}}}}

{\ displaystyle f (t_ {n}) = {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi n}} \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} \ cdot \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- {\ frac {n + 1 } {2}}}}

Observăm că limita acestei secvențe de funcții este pentru $n\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}$ $n \ rightarrow \ infty$ Și

\lim _{n\to \infty }f(t_{n})={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {n}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}.

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f (t_ {n}) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac { \ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)} {{\ sqrt {n}} \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- {\ frac {n + 1} {2}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} și ^ {- {\ frac {t ^ {2}} {2}}}.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f (t_ {n}) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac { \ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)} {{\ sqrt {n}} \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- {\ frac {n + 1} {2}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} și ^ {- {\ frac {t ^ {2}} {2}}}.}

Știind că prima limită are ca rezultat ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ iar al doilea tinde să $e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}$ ${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {t ^ {2}} {2}}}}$ ${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {t ^ {2}} {2}}}}$ .

În practică, luând o populație mare $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ foarte mare, variabila aleatorie t tinde să fie un standard normal.

Caracteristici

Distribuția elevului cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ gradele de libertate sunt simetrice , deoarece distribuția normală standard este, în timp ce distribuția chi-pătrat care acționează ca un „parametru aleatoriu la scară” nu produce efecte de distorsiune ale acestei simetrii.

Funcția sa de densitate a probabilității este

f(t)={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {n\pi }}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-(n+1)/2}={\frac {1}{{\sqrt {n}}\,\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {n}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-(n+1)/2}

{\ displaystyle f (t) = {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)} {{\ sqrt {n \ pi}} \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- (n + 1) / 2} = {\ frac {1} {{\ sqrt {n}} \, \ mathrm {B} \ left ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {n} {2}} \ right)}} \ left ( 1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- (n + 1) / 2}}

{\ displaystyle f (t) = {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)} {{\ sqrt {n \ pi}} \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- (n + 1) / 2} = {\ frac {1} {{\ sqrt {n}} \, \ mathrm {B} \ left ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {n} {2}} \ right)}} \ left ( 1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- (n + 1) / 2}}

,

unde este $\mathrm {B}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ $\ mathrm {B}$ funcția beta .

Funcția sa de distribuție este

F(t)=I_{x}\left({\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}}\right)

{\ displaystyle F (t) = I_ {x} \ left ({\ frac {n} {2}}, {\ frac {n} {2}} \ right)}

{\ displaystyle F (t) = I_ {x} \ left ({\ frac {n} {2}}, {\ frac {n} {2}} \ right)}

unde este $I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}$ ${\ displaystyle I_ {x} (a, b) = {\ frac {\ mathrm {B} (x, a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}}$ ${\ displaystyle I_ {x} (a, b) = {\ frac {\ mathrm {B} (x, a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}}$ este funcția beta incompletă regularizată cu

x={\frac {t+{\sqrt {t^{2}+n}}}{2{\sqrt {t^{2}+n}}}}

{\ displaystyle x = {\ frac {t + {\ sqrt {t ^ {2} + n}}} {2 {\ sqrt {t ^ {2} + n}}}}}

{\ displaystyle x = {\ frac {t + {\ sqrt {t ^ {2} + n}}} {2 {\ sqrt {t ^ {2} + n}}}}}

Pentru $k<n$ ${\ displaystyle k <n}$ $k <n$ momentele (simple sau centrale, deoarece coincid pentru un pdf simetric) de ordine $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ de distribuție sunt

\mu _{k}=0

{\ displaystyle \ mu _ {k} = 0}

{\ displaystyle \ mu _ {k} = 0}

de sine

k

{\ displaystyle k}

k

e ciudat,

\mu _{k}={\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})\Gamma ({\frac {n-k}{2}})n^{k/2}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}

{\ displaystyle \ mu _ {k} = {\ frac {\ Gamma ({\ frac {k + 1} {2}}) \ Gamma ({\ frac {nk} {2}}) n ^ {k / 2 }} {{\ sqrt {\ pi}} \ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}}

{\ displaystyle \ mu _ {k} = {\ frac {\ Gamma ({\ frac {k + 1} {2}}) \ Gamma ({\ frac {nk} {2}}) n ^ {k / 2 }} {{\ sqrt {\ pi}} \ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}}

de sine

k

{\ displaystyle k}

k

este chiar.

În special, pe lângă speranța matematică $E(t)=0$ ${\ displaystyle E (t) = 0}$ ${\ displaystyle E (t) = 0}$ și indicele de asimetrie $\gamma _{1}=0$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1} = 0}$ $\ gamma _ {1} = 0$ (pentru $n>3$ ${\ displaystyle n> 3}$ $n> 3$ ) prezis de simetria distribuției, găsim:

varianța ${\text{Var}}(t)={\frac {n}{n-2}}$ ${\ displaystyle {\ text {Var}} (t) = {\ frac {n} {n-2}}}$ ${\ displaystyle {\ text {Var}} (t) = {\ frac {n} {n-2}}}$ pentru $n>2$ ${\ displaystyle n> 2}$ $n> 2$
indicele kurtosis $\gamma _{2}={\frac {6}{n-4}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {6} {n-4}}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {6} {n-4}}}$ pentru $n>4$ ${\ displaystyle n> 4}$ $n> 4$

În cele din urmă, să luăm în considerare un ultim parametru, FWHM , care este lățimea la jumătatea înălțimii. Pentru o variabilă $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ de Student avem că vârful funcției este în valoarea sa așteptată, adică în, în care distribuția are valoare maximă ${\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{{\sqrt {\pi n}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}})} {{\ sqrt {\ pi n}} \ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} }$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}})} {{\ sqrt {\ pi n}} \ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} }$ . Deci găsim valorile $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ pentru care $f(t_{n})$ ${\ displaystyle f (t_ {n})}$ ${\ displaystyle f (t_ {n})}$ presupune înălțime egală cu jumătate din maximul absolut.

${\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2{\sqrt {\pi n}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}}{{\sqrt {\pi n}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}})} {2 {\ sqrt {\ pi n}} \ Gamma ({\ frac {n} {2}})} } = {\ frac {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}}) \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- {\ frac {n + 1} {2}}}} {{\ sqrt {\ pi n}} \ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}})} {2 {\ sqrt {\ pi n}} \ Gamma ({\ frac {n} {2}})} } = {\ frac {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}}) \ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}} \ right) ^ {- {\ frac {n + 1} {2}}}} {{\ sqrt {\ pi n}} \ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}$

Pentru care

${\textstyle {\frac {1}{2}}=(1+{\frac {t^{2}}{n}})^{-{\frac {n+1}{2}}}}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} = (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}}) ^ {- {\ frac {n + 1} {2}}}}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} = (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}}) ^ {- {\ frac {n + 1} {2}}}}$ care echivalează cu ${\textstyle 2=(1+{\frac {t^{2}}{n}})^{\frac {n+1}{2}}}$ ${\ textstyle 2 = (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}}) ^ {\ frac {n + 1} {2}}}$ ${\ textstyle 2 = (1 + {\ frac {t ^ {2}} {n}}) ^ {\ frac {n + 1} {2}}}$ unde este $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ are două soluții, așa cum ne-am așteptat de la simetria funcției, coincizând a

$t_{\pm }=\pm {\sqrt {n\left(2^{\frac {2}{n+1}}-1\right)}}$ ${\ displaystyle t _ {\ pm} = \ pm {\ sqrt {n \ left (2 ^ {\ frac {2} {n + 1}} - 1 \ right)}}}$ ${\ displaystyle t _ {\ pm} = \ pm {\ sqrt {n \ left (2 ^ {\ frac {2} {n + 1}} - 1 \ right)}}}$

Deci lățimea la jumătate de înălțime a funcției este dată de $t_{+}-t_{-}=2{\sqrt {n\left(2^{\frac {2}{n+1}}-1\right)}}$ ${\ displaystyle t _ {+} - t _ {-} = 2 {\ sqrt {n \ left (2 ^ {\ frac {2} {n + 1}} - 1 \ right)}}}$ ${\ displaystyle t _ {+} - t _ {-} = 2 {\ sqrt {n \ left (2 ^ {\ frac {2} {n + 1}} - 1 \ right)}}}$

Rularea limitei pentru $n\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}$ $n \ rightarrow \ infty$ găsim o expresie convergentă a

$\lim _{n\to \infty }t_{+}-t_{-}=2{\sqrt {ln4}}={\sqrt {8ln2}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} t _ {+} - t _ {-} = 2 {\ sqrt {ln4}} = {\ sqrt {8ln2}}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} t _ {+} - t _ {-} = 2 {\ sqrt {ln4}} = {\ sqrt {8ln2}}}$

care este echivalentul FWHM al standardului normal. Viceversa pt $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ obținem un FWHM = 2. De fapt pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ distribuția Student t coincide cu o distribuție a parametrilor Lorentz-Cauchy $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ ${\ displaystyle (0,1)}$ unde FWHM este exact egal cu $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

Statistici

Interval de încredere

Distribuția Student este utilizată pentru a defini intervalele de încredere pentru media unei populații, pe baza estimatorilor de puncte ${\bar {X}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ Și $S_{n}^{2}$ ${\ displaystyle S_ {n} ^ {2}}$ ${\ displaystyle S_ {n} ^ {2}}$ media și varianța acestuia. Din ecuație

T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sqrt {S_{n}^{2}/n}}}

{\ displaystyle T = {\ frac {{\ bar {X}} - \ mu} {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}}}}

{\ displaystyle T = {\ frac {{\ bar {X}} - \ mu} {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}}}}

intr-adevar

P(a\leqslant T\leqslant b)=P\left({\bar {X}}-b{\sqrt {S_{n}^{2}/n}}\leqslant \mu \leqslant {\bar {X}}-a{\sqrt {S_{n}^{2}/n}}\right)

{\ displaystyle P (a \ leqslant T \ leqslant b) = P \ left ({\ bar {X}} - b {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \ leqslant \ mu \ leqslant { \ bar {X}} - a {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \ right)}

{\ displaystyle P (a \ leqslant T \ leqslant b) = P \ left ({\ bar {X}} - b {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \ leqslant \ mu \ leqslant { \ bar {X}} - a {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \ right)}

.

Prin urmare, alegerea cuantilelor $q_{\alpha }<q_{\beta }$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha} <q _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha} <q _ {\ beta}}$ pentru distribuirea elevilor cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grade de libertate, da

\beta -\alpha =P(q_{\alpha }\leqslant T\leqslant q_{\beta })=P\left({\bar {X}}-q_{\beta }{\sqrt {S_{n}^{2}/n}}\leqslant \mu \leqslant {\bar {X}}-q_{\alpha }{\sqrt {S_{n}^{2}/n}}\right)

{\ displaystyle \ beta - \ alpha = P (q _ {\ alpha} \ leqslant T \ leqslant q _ {\ beta}) = P \ left ({\ bar {X}} - q _ {\ beta} {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \ leqslant \ mu \ leqslant {\ bar {X}} - q _ {\ alpha} {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ beta - \ alpha = P (q _ {\ alpha} \ leqslant T \ leqslant q _ {\ beta}) = P \ left ({\ bar {X}} - q _ {\ beta} {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \ leqslant \ mu \ leqslant {\ bar {X}} - q _ {\ alpha} {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \ dreapta)}

,

adică un interval de încredere pentru medie $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ cu nivel de încredere $\beta -\alpha$ ${\ displaystyle \ beta - \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta - \ alpha}$ Și:

\left[\ {\bar {X}}-q_{\beta }{\sqrt {S_{n}^{2}/n}}\ ,\ {\bar {X}}-q_{\alpha }{\sqrt {S_{n}^{2}/n}}\ \right]

{\ displaystyle \ left [\ {\ bar {X}} - q _ {\ beta} {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \, \ {\ bar {X}} - q _ {\ alpha} {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \ \ right]}

{\ displaystyle \ left [\ {\ bar {X}} - q _ {\ beta} {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \, \ {\ bar {X}} - q _ {\ alpha} {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \ \ right]}

.

Dacă sunt luate în considerare intervale simetrice, se poate utiliza indicele $z_{\alpha }$ ${\ displaystyle z _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle z _ {\ alpha}}$ definit de

\alpha =P(|T|\leqslant z_{\alpha })=P(-z_{\alpha }\leqslant T\leqslant z_{\alpha })=2F(z_{\alpha })-1

{\ displaystyle \ alpha = P (| T | \ leqslant z _ {\ alpha}) = P (-z _ {\ alpha} \ leqslant T \ leqslant z _ {\ alpha}) = 2F (z _ {\ alpha }) - 1}

{\ displaystyle \ alpha = P (| T | \ leqslant z _ {\ alpha}) = P (-z _ {\ alpha} \ leqslant T \ leqslant z _ {\ alpha}) = 2F (z _ {\ alpha }) - 1}

,

adică

z_{\alpha }=q_{1-{\frac {\alpha }{2}}}

{\ displaystyle z _ {\ alpha} = q_ {1 - {\ frac {\ alpha} {2}}}}

{\ displaystyle z _ {\ alpha} = q_ {1 - {\ frac {\ alpha} {2}}}}

,

și obținem intervalul de încredere pentru $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ cu nivel de încredere $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$

\left[\ {\bar {X}}-z_{\alpha }{\sqrt {S_{n}^{2}/n}}\ ,\ {\bar {X}}+z_{\alpha }{\sqrt {S_{n}^{2}/n}}\ \right]

{\ displaystyle \ left [\ {\ bar {X}} - z _ {\ alpha} {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \, \ {\ bar {X}} + z _ {\ alpha} {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \ \ right]}

{\ displaystyle \ left [\ {\ bar {X}} - z _ {\ alpha} {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \, \ {\ bar {X}} + z _ {\ alpha} {\ sqrt {S_ {n} ^ {2} / n}} \ \ right]}

.

Alte distribuții

Distribuția Student cu parametru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ corespunde distribuției Cauchy a parametrilor $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ : ambele reglează raportul $X/Y$ ${\ displaystyle X / Y}$ $X Y$ între două variabile aleatoare independente cu distribuție normală standard.

Deoarece n tinde spre infinit, distribuția Student cu n grade de libertate converge la distribuția normală standard ${\mathcal {N}}(0,1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)}$ ${\ mathcal {N}} (0,1)$ .

De sine $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este o variabilă aleatorie cu distribuția t Student ca parametru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , asa de $F=T^{2}$ ${\ displaystyle F = T ^ {2}}$ ${\ displaystyle F = T ^ {2}}$ urmează distribuția parametrilor Fisher-Snedecor $(1,n)$ ${\ displaystyle (1, n)}$ ${\ displaystyle (1, n)}$ .

Masa cuantilă

Următorul tabel ^[4] exprimă, în funcție de parametrul n (rând) și valorile particulare ale $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ (coloană), cuantilele $q_{\alpha }$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha}}$ pentru distribuția Student a parametrului n :

P(T\leqslant q_{\alpha })=F(q_{\alpha })=\alpha

{\ displaystyle P (T \ leqslant q _ {\ alpha}) = F (q _ {\ alpha}) = \ alpha}

{\ displaystyle P (T \ leqslant q _ {\ alpha}) = F (q _ {\ alpha}) = \ alpha}

.

Ultima linie, notată cu „∞”, se referă la o distribuție normală standard.

n \ α	0,90	0,95	0,975	0,99	0,995	0,9975	0,999	0,9995
1	3,078	6.314	12.706	31,821	63.657	127,321	318.309	636.619
2	1,886	2.920	4.303	6,965	9,925	14.089	22.327	31.599
3	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.215	12.924
4	1,533	2.132	2,776	3,747	4.604	5.598	7.173	8.610
5	1,476	2.015	2.571	3.365	4.032	4.773	5.893	6,869
6	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	4.317	5.208	5.959
7	1.415	1,895	2.365	2.998	3.499	4.029	4.785	5.408
8	1,397	1,860	2.306	2.896	3.355	3.833	4.501	5.041
9	1,383	1,833	2.262	2.821	3.250	3,690	4.297	4.781
10	1,372	1.812	2.228	2.764	3.169	3,581	4.144	4.587
11	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	3,497	4.025	4.437
12	1,356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.428	3.930	4.318
13	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3,372	3,852	4.221
14	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.326	3,787	4.140
15	1,341	1,753	2.131	2.602	2.947	3.286	3.733	4.073
16	1.337	1.746	2.120	2,583	2.921	3.252	3,686	4.015
17	1.333	1.740	2.110	2,567	2.898	3.222	3,646	3,965
18	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.197	3.610	3,922
19	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.174	3,579	3,883
20	1.325	1,725	2.086	2.528	2.845	3.153	3,552	3.850
21	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.135	3,527	3.819
22	1.321	1.717	2,074	2.508	2.819	3.119	3.505	3,792
23	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.104	3,485	3,768
24	1.318	1.711	2.064	2.492	2,797	3.091	3.467	3,745
25	1.316	1,708	2.060	2.485	2,787	3,078	3.450	3,725
26	1.315	1,706	2.056	2,479	2,779	3,067	3.435	3.707
27	1.314	1,703	2.052	2.473	2,771	3.057	3.421	3,690
28	1.313	1,701	2.048	2.467	2.763	3.047	3.408	3,674
29	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.038	3,396	3.659
30	1.310	1,697	2.042	2.457	2.750	3.030	3,385	3,646
40	1.303	1,684	2.021	2.423	2.704	2.971	3.307	3,551
50	1.299	1,676	2.009	2.403	2,678	2.937	3.261	3,496
60	1.296	1,671	2.000	2.390	2.660	2,915	3.232	3.460
100	1.290	1.660	1.984	2,364	2.626	2.871	3.174	3.390
∞	1.282	1.645	1.960	2.326	2,576	2.807	3.090	3.291

Notă

^ ( EN ) Simon Hurst, The Characteristic Function of the Student-t Distribution , in Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95 (archiviato dall' url originale il 18 febbraio 2010) .
^ ( EN ) Student ( William Sealy Gosset ), The probable error of a mean ( PDF ), in Biometrika , vol. 6, n. 1, marzo 1908, pp. 1–-25, DOI : 10.1093/biomet/6.1.1 .
^ ( EN ) Ronald Fisher , Applications of "Student's" distribution ( PDF ), in Metron , vol. 5, 1925, pp. 90-–104 (archiviato dall' url originale il 13 aprile 2011) .
^ Valori critici calcolati con la funzione qt(p,g) di R .