Distribuție Fisher-Snedecor

Distribuție Fisher-Snedecor
Funcția densității probabilității parametrii m și n sunt indicați ca d1 și d2
Funcția de distribuție parametrii m și n sunt indicați ca d1 și d2
Parametrii	$d_{1},d_{2}>0$ ${\ displaystyle d_ {1}, d_ {2}> 0}$ ${\ displaystyle d_ {1}, d_ {2}> 0}$ ( grade de libertate )
A sustine	$\mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ $\ mathbb {R} ^ {+}$
Funcția de densitate	${\frac {1}{\mathrm {B} ({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}})}}{\frac {1}{x}}\left({\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\ d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}\right)^{\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ mathrm {B} ({\ tfrac {d_ {1}} {2}}, {\ tfrac {d_ {2}} {2}})}} {\ frac { 1} {x}} \ left ({\ frac {(d_ {1} x) ^ {d_ {1}} \ d_ {2} ^ {d_ {2}}} {(d_ {1} x + d_ { 2}) ^ {d_ {1} + d_ {2}}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ mathrm {B} ({\ tfrac {d_ {1}} {2}}, {\ tfrac {d_ {2}} {2}})}} {\ frac { 1} {x}} \ left ({\ frac {(d_ {1} x) ^ {d_ {1}} \ d_ {2} ^ {d_ {2}}} {(d_ {1} x + d_ { 2}) ^ {d_ {1} + d_ {2}}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}$ cu $\mathrm {B}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ $\ mathrm {B}$ funcția beta )
Funcția de distribuție	$I_{\tfrac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}})$ ${\ displaystyle I _ {\ tfrac {d_ {1} x} {d_ {1} x + d_ {2}}} ({\ tfrac {d_ {1}} {2}}, {\ tfrac {d_ {2 }} {2}})}$ ${\ displaystyle I _ {\ tfrac {d_ {1} x} {d_ {1} x + d_ {2}}} ({\ tfrac {d_ {1}} {2}}, {\ tfrac {d_ {2 }} {2}})}$ (cu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ funcția beta incompletă regularizată )
Valorea estimata	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d_ {2}} {d_ {2} -2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d_ {2}} {d_ {2} -2}}}$ de sine $d_{2}>2$ ${\ displaystyle d_ {2}> 2}$ ${\ displaystyle d_ {2}> 2}$ altfel infinit
Modă	$0\$ ${\ displaystyle 0 \}$ $0 \$ de sine $m\leqslant 2$ ${\ displaystyle m \ leqslant 2}$ ${\ displaystyle m \ leqslant 2}$ ${\frac {m-2}{m}}{\frac {n}{n+2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {m-2} {m}} {\ frac {n} {n + 2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {m-2} {m}} {\ frac {n} {n + 2}}}$ de sine $m\geqslant 2$ ${\ displaystyle m \ geqslant 2}$ ${\ displaystyle m \ geqslant 2}$
Varianța	${\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2n ^ {2} (m + n-2)} {m (n-2) ^ {2} (n-4)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2n ^ {2} (m + n-2)} {m (n-2) ^ {2} (n-4)}}}$ pentru $n>4$ ${\ displaystyle n> 4}$ $n> 4$ nedefinit altfel
Manual

În teoria probabilității, distribuția Fisher-Snedecor (sau F-ul lui Snedecor sau Z-ul lui Fisher ^[1] ) este o distribuție continuă a probabilității care reglează raportul „redimensionat” între două variabile aleatorii după două distribuții $\chi ^{2}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2}}$ $\ cine ^ {2}$ .

Este utilizat în analiza varianței și, în general, pentru testul omonim F.

Acesta poartă numele matematicienilor George W. Snedecor ( american ) și Ronald Fisher ( britanic ).

Definiție

Distribuția Fisher-Snedecor cu parametrii numerelor naturale $(m,n)$ ${\ displaystyle (m, n)}$ ${\ displaystyle (m, n)}$ guvernează variabila aleatorie

F={\frac {X/m}{Y/n}}

{\ displaystyle F = {\ frac {X / m} {Y / n}}}

{\ displaystyle F = {\ frac {X / m} {Y / n}}}

,

unde este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt variabile aleatoare independente cu distribuții chi pătrate respective $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grade de libertate , $\chi ^{2}(m)$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (m)}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (m)}$ Și $\chi ^{2}(n)$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (n)}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (n)}$ .

Caracteristici

Distribuția parametrilor Fisher-Snedecor $(m,n)$ ${\ displaystyle (m, n)}$ ${\ displaystyle (m, n)}$ are funcție de densitate de probabilitate

f(x)={\frac {1}{\mathrm {B} ({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}}{\frac {1}{x}}\left({\frac {m^{m}n^{n}x^{m}}{(mx+n)^{m+n}}}\right)^{\frac {1}{2}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ mathrm {B} ({\ tfrac {m} {2}}, {\ tfrac {n} {2}})}} {\ frac {1 } {x}} \ left ({\ frac {m ^ {m} n ^ {n} x ^ {m}} {(mx + n) ^ {m + n}}} \ right) ^ {\ frac { 1} {2}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ mathrm {B} ({\ tfrac {m} {2}}, {\ tfrac {n} {2}})}} {\ frac {1 } {x}} \ left ({\ frac {m ^ {m} n ^ {n} x ^ {m}} {(mx + n) ^ {m + n}}} \ right) ^ {\ frac { 1} {2}}}

,

unde este $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}$ este funcția beta .

Funcția sa de distribuție este dată de funcția beta incompletă regularizată ,

F(x)=I_{\tfrac {mx}{mx+n}}({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})

{\ displaystyle F (x) = I _ {\ tfrac {mx} {mx + n}} ({\ tfrac {m} {2}}, {\ tfrac {n} {2}})}

{\ displaystyle F (x) = I _ {\ tfrac {mx} {mx + n}} ({\ tfrac {m} {2}}, {\ tfrac {n} {2}})}

.

Distribuția are momente simple de comandă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ infinit pentru $k>n/2$ ${\ displaystyle k> n / 2}$ ${\ displaystyle k> n / 2}$ , altfel egal cu

\mu _{k}={\frac {n^{k}}{m^{k}}}\cdot {\frac {m(m+2)(m+4)\cdots (m+2k-2)}{(n-2)(n-4)(n-6)\cdots (n-2k)}}

{\ displaystyle \ mu _ {k} = {\ frac {n ^ {k}} {m ^ {k}}} \ cdot {\ frac {m (m + 2) (m + 4) \ cdots (m + 2k-2)} {(n-2) (n-4) (n-6) \ cdots (n-2k)}}}

{\ displaystyle \ mu _ {k} = {\ frac {n ^ {k}} {m ^ {k}}} \ cdot {\ frac {m (m + 2) (m + 4) \ cdots (m + 2k-2)} {(n-2) (n-4) (n-6) \ cdots (n-2k)}}}

.

Mai ales

speranță matematică egală cu
$E[F]={\frac {n}{n-2}}{\mbox{ per }}n>2;$ ${\ displaystyle E [F] = {\ frac {n} {n-2}} {\ mbox {per}} n> 2;}$ ${\ displaystyle E [F] = {\ frac {n} {n-2}} {\ mbox {per}} n> 2;}$
varianță egală cu
${\text{Var}}(X)={\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}{\mbox{ per }}n>4;$ ${\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = {\ frac {2n ^ {2} (m + n-2)} {m (n-2) ^ {2} (n-4)}} { \ mbox {for}} n> 4;}$ ${\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = {\ frac {2n ^ {2} (m + n-2)} {m (n-2) ^ {2} (n-4)}} { \ mbox {for}} n> 4;}$
indice de asimetrie egal cu
$\gamma _{1}=2{\sqrt {\tfrac {2(n-4)}{m(m+n-2)}}}{\tfrac {2m+n-2}{n-6}}{\mbox{ per }}n>6;$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1} = 2 {\ sqrt {\ tfrac {2 (n-4)} {m (m + n-2)}}} {\ tfrac {2m + n-2} {n- 6}} {\ mbox {for}} n> 6;}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1} = 2 {\ sqrt {\ tfrac {2 (n-4)} {m (m + n-2)}}} {\ tfrac {2m + n-2} {n- 6}} {\ mbox {for}} n> 6;}$
indicele kurtozei egal cu
$\gamma _{2}=12\cdot {\frac {n^{3}+5mn^{2}+5m^{2}n-8n^{2}-32mn+22m^{2}+20n+44m-16}{m(m+n-2)(n-6)(n-8)}}{\mbox{ per }}n>8.$ ${\ displaystyle \ gamma _ {2} = 12 \ cdot {\ frac {n ^ {3} + 5mn ^ {2} + 5m ^ {2} n-8n ^ {2} -32mn + 22m ^ {2} + 20n + 44m-16} {m (m + n-2) (n-6) (n-8)}} {\ mbox {for}} n> 8.}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {2} = 12 \ cdot {\ frac {n ^ {3} + 5mn ^ {2} + 5m ^ {2} n-8n ^ {2} -32mn + 22m ^ {2} + 20n + 44m-16} {m (m + n-2) (n-6) (n-8)}} {\ mbox {for}} n> 8.}$

Moda lui este dacă $m\leqslant 2$ ${\ displaystyle m \ leqslant 2}$ ${\ displaystyle m \ leqslant 2}$ Și

{\frac {m-2}{m}}{\frac {n}{n+2}}

{\ displaystyle {\ frac {m-2} {m}} {\ frac {n} {n + 2}}}

{\ displaystyle {\ frac {m-2} {m}} {\ frac {n} {n + 2}}}

de sine

m\geqslant 2

{\ displaystyle m \ geqslant 2}

{\ displaystyle m \ geqslant 2}

.

Alte distribuții

Prin definiție, dacă este o variabilă aleatorie $F={\tfrac {X/m}{Y/n}}$ ${\ displaystyle F = {\ tfrac {X / m} {Y / n}}}$ ${\ displaystyle F = {\ tfrac {X / m} {Y / n}}}$ urmează distribuția parametrilor Fisher-Snedecor $(m,n)$ ${\ displaystyle (m, n)}$ ${\ displaystyle (m, n)}$ , apoi inversul său $F^{-1}={\tfrac {Y/n}{X/m}}$ ${\ displaystyle F ^ {- 1} = {\ tfrac {Y / n} {X / m}}}$ ${\ displaystyle F ^ {- 1} = {\ tfrac {Y / n} {X / m}}}$ urmează distribuția parametrilor Fisher-Snedecor $(n,m)$ ${\ displaystyle (n, m)}$ ${\ displaystyle (n, m)}$ . Această relație permite exprimarea cuantilelor unei distribuții în termeni ale cuantilelor celeilalte:

P(F^{-1}\leqslant q)=P(F\geqslant q^{-1})=1-P(F\leqslant q^{-1})

{\ displaystyle P (F ^ {- 1} \ leqslant q) = P (F \ geqslant q ^ {- 1}) = 1-P (F \ leqslant q ^ {- 1})}

{\ displaystyle P (F ^ {- 1} \ leqslant q) = P (F \ geqslant q ^ {- 1}) = 1-P (F \ leqslant q ^ {- 1})}

.

O generalizare a acestei distribuții este distribuția non-centrală Fisher-Snedecor , pentru care variabila aleatorie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în definiția lui $F={\tfrac {X/m}{Y/n}}$ ${\ displaystyle F = {\ tfrac {X / m} {Y / n}}}$ ${\ displaystyle F = {\ tfrac {X / m} {Y / n}}}$ poate urma o distribuție chi-pătrată necentrală .

De sine $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este o variabilă aleatorie cu distribuția t Student ca parametru $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ , asa de $F=T^{2}$ ${\ displaystyle F = T ^ {2}}$ ${\ displaystyle F = T ^ {2}}$ urmează distribuția parametrilor Fisher-Snedecor $(1,\nu )$ ${\ displaystyle (1, \ nu)}$ ${\ displaystyle (1, \ nu)}$ .

De sine $T^{2}$ ${\ displaystyle T ^ {2}}$ ${\ displaystyle T ^ {2}}$ este o variabilă aleatorie cu distribuția Hotelling a parametrilor $(p,m)$ ${\ displaystyle (p, m)}$ ${\ displaystyle (p, m)}$ , asa de $F={\tfrac {m-p+1}{mp}}T^{2}$ ${\ displaystyle F = {\ tfrac {m-p + 1} {mp}} T ^ {2}}$ ${\ displaystyle F = {\ tfrac {m-p + 1} {mp}} T ^ {2}}$ urmează distribuția parametrilor Fisher-Snedecor $(p,m-p+1)$ ${\ displaystyle (p, m-p + 1)}$ ${\ displaystyle (p, m-p + 1)}$ .

Dacă variabila aleatorie $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ urmează distribuția parametrilor Fisher-Snedecor $(m,n)$ ${\ displaystyle (m, n)}$ ${\ displaystyle (m, n)}$ , asa de $B={\frac {mF}{mF+n}}$ ${\ displaystyle B = {\ frac {mF} {mF + n}}}$ ${\ displaystyle B = {\ frac {mF} {mF + n}}}$ Urmează distribuția beta $\mathrm {B} ({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} ({\ tfrac {m} {2}}, {\ tfrac {n} {2}})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} ({\ tfrac {m} {2}}, {\ tfrac {n} {2}})}$ .

Notă

^ Ross , p. 195.

Bibliografie

Sheldon M. Ross, Probabilitate și statistici pentru inginerie și știință , Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, distribuție F , în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) AV Prokhorov, Fisher-F-distribution , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Distribuție F , în PlanetMath .

Portalul de matematică

Portalul de statistici

[1] Ross , p. 195.

[1]