Moment (probabilitate)

Probabil , momentul simplu sau teoretic de origine $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ și ordine $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ a unei variabile aleatorii este definită ca valoarea așteptată a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -a puterea valorilor

\mu _{m},_{k}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-m)^{k}p_{i},

{\ displaystyle \ mu _ {m}, _ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -m) ^ {k} p_ {i},}

{\ displaystyle \ mu _ {m}, _ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -m) ^ {k} p_ {i},}

unde este $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ denotă funcția de probabilitate a masei variabilei aleatorii. Sau, în cazul unei distribuții continue ,

\mu _{m},_{k}=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-m)^{k}p_{X}(x)dx

{\ displaystyle \ mu _ {m}, _ {k} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} (xm) ^ {k} p_ {X} (x) dx}

{\ displaystyle \ mu _ {m}, _ {k} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} (x-m) ^ {k} p_ {X} (x) dx}

unde este $p_{X}(x)$ ${\ displaystyle p_ {X} (x)}$ $p_ {X} (x)$ denotă funcția de densitate a variabilei aleatorii.

Un moment central este definit ca un moment simplu cu origine ${E}(X)$ ${\ displaystyle {E} (X)}$ ${\ displaystyle {E} (X)}$ și ordine $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ca speranța matematică a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -a puterea de aruncare din ${E}(X)$ ${\ displaystyle {E} (X)}$ ${\ displaystyle {E} (X)}$ ( $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ = $\mu _{0},_{1}$ ${\ displaystyle \ mu _ {0}, _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {0}, _ {1}}$ )

m_{k}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{k}p_{i},

{\ displaystyle m_ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - \ mu) ^ {k} p_ {i},}

{\ displaystyle m_ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - \ mu) ^ {k} p_ {i},}

sau, în cazul unei variabile aleatoare continue ,

m_{k}=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}p_{X}(x)dx

{\ displaystyle m_ {k} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} (x- \ mu) ^ {k} p_ {X} (x) dx}

{\ displaystyle m_ {k} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} (x- \ mu) ^ {k} p_ {X} (x) dx}

unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ denotă cu precizie valoarea așteptată a variabilei aleatorii.

Caracteristicile unor astfel de momente simple și centrale sunt:

$\mu _{0}$ ${\ displaystyle \ mu _ {0}}$ $\ mu_0$ Și $m_{0}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ sunt întotdeauna egali cu unitatea
$m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ este întotdeauna nul
$\mu _{1}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1}}$ $\ mu_1$ este valoarea așteptată , indicată în mod tradițional cu $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$
$m_{2}=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}$ ${\ displaystyle m_ {2} = \ mu _ {2} - \ mu _ {1} ^ {2}}$ ${\ displaystyle m_ {2} = \ mu _ {2} - \ mu _ {1} ^ {2}}$ este varianța , indicată în mod tradițional cu $\sigma ^{2}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$ $\ sigma ^ {2}$

În general, relația dintre momentul central $m_{k}$ ${\ displaystyle m_ {k}}$ $m_ {k}$ și momente simple $\mu _{j}$ ${\ displaystyle \ mu _ {j}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {j}}$ este dat de:

m_{k}=\sum _{r=0}^{k}{k \choose r}\mu _{k-r}(-\mu )^{r},

{\ displaystyle m_ {k} = \ sum _ {r = 0} ^ {k} {k \ alege r} \ mu _ {kr} (- \ mu) ^ {r},}

{\ displaystyle m_ {k} = \ sum _ {r = 0} ^ {k} {k \ choose r} \ mu _ {k-r} (- \ mu) ^ {r},}

unde este ${k \choose r}$ ${\ displaystyle {k \ choose r}}$ ${\ displaystyle {k \ choose r}}$ este coeficientul binomial . Prin urmare, pe lângă cele de mai sus, avem:

$m_{3}=\mu _{3}-3\mu _{2}\mu +2\mu ^{3}$ ${\ displaystyle m_ {3} = \ mu _ {3} -3 \ mu _ {2} \ mu +2 \ mu ^ {3}}$ ${\ displaystyle m_ {3} = \ mu _ {3} -3 \ mu _ {2} \ mu +2 \ mu ^ {3}}$ este asimetria sau asimetria
$m_{4}=\mu _{4}-4\mu _{3}\mu +6\mu _{2}\mu ^{2}-3\mu ^{4}$ ${\ displaystyle m_ {4} = \ mu _ {4} -4 \ mu _ {3} \ mu +6 \ mu _ {2} \ mu ^ {2} -3 \ mu ^ {4}}$ ${\ displaystyle m_ {4} = \ mu _ {4} -4 \ mu _ {3} \ mu +6 \ mu _ {2} \ mu ^ {2} -3 \ mu ^ {4}}$ este curtoză

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în acest moment

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică