Distribuție cauchy

Distribuție cauchy
Funcția densității probabilității
Funcția de distribuție
Parametrii	$(x_{0},\gamma )\in \mathbb {R} \times \mathbb {R^{+}}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, \ gamma) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R ^ {+}}}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, \ gamma) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R ^ {+}}}$
A sustine	$\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$
Funcția de densitate	${\frac {1}{\pi }}{\frac {\gamma }{(x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} {\ frac {\ gamma} {(x-x_ {0}) ^ {2} + \ gamma ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} {\ frac {\ gamma} {(x-x_ {0}) ^ {2} + \ gamma ^ {2}}}}$
Funcția de distribuție	${\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} \ arctan \ left ({\ frac {x-x_ {0}} {\ gamma}} \ right) + {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} \ arctan \ left ({\ frac {x-x_ {0}} {\ gamma}} \ right) + {\ frac {1} {2}}}$
Valorea estimata	NU
Median	$x_{0}\$ ${\ displaystyle x_ {0} \}$ $x_ {0} \$
Modă	$x_{0}\$ ${\ displaystyle x_ {0} \}$ $x_ {0} \$
Varianța	NU
Indicele de asimetrie	NU
Curios	NU
Entropie	$\log(4\pi \gamma )\$ ${\ displaystyle \ log (4 \ pi \ gamma) \}$ ${\ displaystyle \ log (4 \ pi \ gamma) \}$
Funcție generatoare de momente	NU
Funcția caracteristică	$e^{ix_{0}t-\gamma \|t\|}$ ${\ displaystyle e ^ {ix_ {0} t- \ gamma \| t \|}}$ ${\ displaystyle e ^ {ix_ {0} t- \ gamma \| t \|}}$
Manual

În teoria probabilității, distribuția Cauchy , cunoscută și sub numele de distribuția Lorentz , este o distribuție a probabilității care descrie în planul euclidian intersecția dintre axa abscisei și o linie dreaptă care trece printr-un punct fix și înclinat la un unghi care urmează uniforma continuă distribuție .

Acesta poartă numele atât al matematicianului francez Augustin-Louis Cauchy, cât și al fizicianului olandez Hendrik Antoon Lorentz .

Această distribuție a fost studiată în 1824 de Siméon-Denis Poisson ^{[ necesită} citare ^]

Definiție

Distribuția Cauchy a parametrilor $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ guvernează o variabilă aleatorie $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ astfel încât pe plan cartezian unghiul $\Theta$ ${\ displaystyle \ Theta}$ $\ Theta$ de înclinare a liniilor pentru puncte $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ Și $(T,0)$ ${\ displaystyle (T, 0)}$ $(T, 0)$ urmați o distribuție continuă uniformă ${\mathcal {U}}(0,\pi )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} (0, \ pi)}$ ${\ mathcal {U}} (0, \ pi)$ . (Cu alte cuvinte, $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este distanța de la origine la care axa absciselor este intersectată de o linie dreaptă care trece prin $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ și înclinat cu un unghi $\Theta$ ${\ displaystyle \ Theta}$ $\ Theta$ .)

Funcția densității probabilității distribuției Cauchy a parametrilor $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ Și

f_{(x_{0},y_{0})}(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y_{0}}{(x-x_{0})^{2}+y_{0}^{2}}}

{\ displaystyle f _ {(x_ {0}, y_ {0})} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} {\ frac {y_ {0}} {(x-x_ {0} ) ^ {2} + y_ {0} ^ {2}}}}

f _ {{(x_ {0}, y_ {0})}} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} {\ frac {y_ {0}} {(x-x_ {0}) ^ {2} + y_ {0} ^ {2}}}

al cărui grafic este un vers .

Caracteristici

Este ușor să calculăm cuantilele unei distribuții Cauchy și din acestea derivă funcția de distribuție și densitatea de probabilitate a distribuției.

În ceea ce privește distribuția Cauchy a parametrilor $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ la liniile drepte care formează un unghi mai mic decât a cu axa abscisei $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ potriviți valori mai mici de $x=x_{0}-y_{0}\tan(\pi (\theta -1/2))$ ${\ displaystyle x = x_ {0} -y_ {0} \ tan (\ pi (\ theta -1/2))}$ $x = x_ {0} -y_ {0} \ tan (\ pi (\ theta -1/2))$ , cuantilele pot fi exprimate ca

q_{\alpha }=x_{0}-y_{0}\tan(\pi (\alpha -1/2))

{\ displaystyle q _ {\ alpha} = x_ {0} -y_ {0} \ tan (\ pi (\ alpha -1/2))}

q _ {\ alpha} = x_ {0} -y_ {0} \ tan (\ pi (\ alpha -1/2))

.

Funcția de distribuție $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este obținut ca inversul funcției care definește cuantilele, $q_{\alpha }=F^{-1}(\alpha )$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha} = F ^ {- 1} (\ alpha)}$ $q _ {\ alpha} = F ^ {{- 1}} (\ alpha)$ :

F(x)={\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {x-x_{0}}{y_{0}}}+1/2

{\ displaystyle F (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ arctan {\ frac {x-x_ {0}} {y_ {0}}} + 1/2}

{\ displaystyle F (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ arctan {\ frac {x-x_ {0}} {y_ {0}}} + 1/2}

.

Din aceasta funcția densității probabilității poate fi obținută prin derivare

f(x)=F'(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y_{0}}{(x-x_{0})^{2}+y_{0}^{2}}}

{\ displaystyle f (x) = F '(x) = {\ frac {1} {\ pi}} {\ frac {y_ {0}} {(x-x_ {0}) ^ {2} + y_ { 0} ^ {2}}}}

f (x) = F '(x) = {\ frac {1} {\ pi}} {\ frac {y_ {0}} {(x-x_ {0}) ^ {2} + y_ {0} ^ {2}}}

.

Momentele unei distribuții Cauchy nu sunt definite ca funcții $|x^{n}f(x)|$ ${\ displaystyle | x ^ {n} f (x) |}$ $| x ^ {n} f (x) |$ nu au terminat integral $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . În special, nici speranța matematică, nici varianța distribuției nu sunt definite.

Distribuția Cauchy a parametrilor $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ este simetric în raport cu $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , unde densitatea probabilității este maximă. În special, modul și mediana sunt ambele egale cu $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Funcția caracteristică a distribuției este

\phi _{T}(t)=E[e^{tTi}]=e^{ix_{0}t-y_{0}|t|}

{\ displaystyle \ phi _ {T} (t) = E [e ^ {tTi}] = e ^ {ix_ {0} t-y_ {0} | t |}}

\ phi _ {T} (t) = E [e ^ {{tTi}}] = e ^ {{ix_ {0} t-y_ {0} | t |}}

.

Proprietate

In medie $T=(T_{1}+...+T_{n})/n$ ${\ displaystyle T = (T_ {1} + ... + T_ {n}) / n}$ $T = (T_ {1} + ... + T_ {n}) / n$ a n variabile aleatoare independente având distribuții Cauchy ale parametrilor $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), ..., (x_ {n}, y_ {n})}$ $(x_ {1}, y_ {1}), ..., (x_ {n}, y_ {n})$ urmărește distribuția Cauchy a parametrilor $((x_{1}+...+x_{n})/n,(y_{1},...,y_{n})/n)$ ${\ displaystyle ((x_ {1} + ... + x_ {n}) / n, (y_ {1}, ..., y_ {n}) / n)}$ $((x_ {1} + ... + x_ {n}) / n, (y_ {1}, ..., y_ {n}) / n)$ . În special, dacă $T_{1},...,T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {1}, ..., T_ {n}}$ $T_ {1}, ..., T_ {n}$ au aceiași parametri, aceștia sunt și parametrii pentru medie $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ .

Acest lucru ilustrează faptul că nu toate distribuțiile oferă medii pe eșantioane care converg către distribuția normală ; în special în teorema limitei centrale sunt necesare condițiile privind speranța și varianța matematică .

Cazuri speciale

Raportul $X/Y$ ${\ displaystyle X / Y}$ $X Y$ între două variabile aleatoare independente cu distribuție normală standard ${\mathcal {N}}(0,1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)}$ ${\ mathcal {N}} (0,1)$ urmărește distribuția Cauchy a parametrilor $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ : vectorul aleatoriu $(X,Y)$ ${\ displaystyle (X, Y)}$ $(X Y)$ este izotrop , de unde și unghiul $\Theta =-\operatorname {arccot} {\tfrac {X}{Y}}$ ${\ displaystyle \ Theta = - \ operatorname {arccot} {\ tfrac {X} {Y}}}$ ${\ displaystyle \ Theta = - \ operatorname {arccot} {\ tfrac {X} {Y}}}$ urmează o distribuție uniformă.

Aceeași distribuție poate fi considerată un caz special de distribuție a studenților , cu un singur grad de libertate.

Distribuția Cauchy a parametrilor $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ poate fi folosit pentru a defini toate celelalte distribuții Cauchy: dacă variabila aleatorie $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ atunci variabila aleatorie urmează această distribuție $x_{0}+y_{0}T$ ${\ displaystyle x_ {0} + y_ {0} T}$ $x_ {0} + y_ {0} T$ urmărește distribuția Cauchy a parametrilor $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ .