Distribuție non-centrală chi-pătrat

distribuție $\chi ^{2}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2}}$ $\ cine ^ {2}$ nu central
Funcția densității probabilității
Funcția de distribuție
Parametrii	$k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}\$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \} \}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \} \}$ ( grade de libertate ) $\lambda \geqslant 0\$ ${\ displaystyle \ lambda \ geqslant 0 \}$ ${\ displaystyle \ lambda \ geqslant 0 \}$ non-centralitate
A sustine	$x\in [0,\infty [$ ${\ displaystyle x \ in [0, \ infty [}$ ${\ displaystyle x \ in [0, \ infty [}$
Funcția de densitate	${\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} e ^ {- (x + \ lambda) / 2} \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {k / 4-1 / 2} I_ {k / 2-1} ({\ sqrt {\ lambda x}})}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} e ^ {- (x + \ lambda) / 2} \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {k / 4-1 / 2} I_ {k / 2-1} ({\ sqrt {\ lambda x}})}$
Funcția de distribuție	$\sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}{\frac {\gamma (j+k/2,x/2)}{\Gamma (j+k/2)}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} e ^ {- \ lambda / 2} {\ frac {(\ lambda / 2) ^ {j}} {j!}} {\ frac {\ gamma (j + k / 2, x / 2)} {\ Gamma (j + k / 2)}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} e ^ {- \ lambda / 2} {\ frac {(\ lambda / 2) ^ {j}} {j!}} {\ frac {\ gamma (j + k / 2, x / 2)} {\ Gamma (j + k / 2)}}}$
Valorea estimata	$k+\lambda$ ${\ displaystyle k + \ lambda}$ ${\ displaystyle k + \ lambda}$
Varianța	$2(k+2\lambda )$ ${\ displaystyle 2 (k + 2 \ lambda)}$ ${\ displaystyle 2 (k + 2 \ lambda)}$
Indicele de asimetrie	${\frac {2^{3/2}(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{3/2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {3/2} (k + 3 \ lambda)} {(k + 2 \ lambda) ^ {3/2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {3/2} (k + 3 \ lambda)} {(k + 2 \ lambda) ^ {3/2}}}}$
Curios	${\frac {12(k+4\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {12 (k + 4 \ lambda)} {(k + 2 \ lambda) ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {12 (k + 4 \ lambda)} {(k + 2 \ lambda) ^ {2}}}}$
Funcție generatoare de momente	${\frac {e^{\lambda t/(1-2t)}}{(1-2t)^{k/2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {\ lambda t / (1-2t)}} {(1-2t) ^ {k / 2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {\ lambda t / (1-2t)}} {(1-2t) ^ {k / 2}}}}$ pentru $2t<1$ ${\ displaystyle 2t <1}$ ${\ displaystyle 2t <1}$
Funcția caracteristică	${\frac {e^{i\lambda t/(1-2it)}}{(1-2it)^{k/2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {i \ lambda t / (1-2it)}} {(1-2it) ^ {k / 2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {i \ lambda t / (1-2it)}} {(1-2it) ^ {k / 2}}}}$
Manual

În teoria probabilității o distribuție $\chi ^{2}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2}}$ $\ cine ^ {2}$ non-central ( chi- pătrat sau chi-pătrat), este o distribuție de probabilitate care generalizează distribuția $\chi ^{2}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2}}$ $\ cine ^ {2}$ , descriind suma pătratelor variabilelor aleatorii cu distribuții normale reduse, dar nu centrate.

În statistici este utilizat pentru analiza varianței și pentru unele teste de testare a ipotezelor .

Definiție

Distributia $\chi ^{2}(k,\lambda )$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (k, \ lambda)}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (k, \ lambda)}$ descrie variabila aleatorie

\textstyle X^{2}=\sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}=X_{1}^{2}+\ldots +X_{k}^{2}

{\ displaystyle \ textstyle X ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} X_ {i} ^ {2} = X_ {1} ^ {2} + \ ldots + X_ {k} ^ { 2}}

{\ displaystyle \ textstyle X ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} X_ {i} ^ {2} = X_ {1} ^ {2} + \ ldots + X_ {k} ^ { 2}}

,

unde este $X_{1},...,X_{k}$ ${\ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {k}}$ ${\ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {k}}$ sunt variabile aleatoare variabile independente cu distribuții normale reduse (dar nu neapărat centrate ) ${\mathcal {N}}(\mu _{1},1),...,{\mathcal {N}}(\mu _{k},1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu _ {1}, 1), ..., {\ mathcal {N}} (\ mu _ {k}, 1)}$ ${\ mathcal {N}} (\ mu _ {1}, 1), ..., {\ mathcal {N}} (\ mu _ {k}, 1)$ , ale căror valori așteptate satisfac

\textstyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}^{2}

{\ displaystyle \ textstyle \ lambda = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ mu _ {i} ^ {2}}

{\ displaystyle \ textstyle \ lambda = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ mu _ {i} ^ {2}}

.

Parametrul k se numește numărul de grade de libertate e $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este parametrul necentralității . (Notația pentru $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ nu este uniformă: unii autori iau $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ egală cu jumătate sau rădăcina pătrată a acestei sume.)

În special pentru $\lambda =0$ ${\ displaystyle \ lambda = 0}$ $\ lambda = 0$ variabilele $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ sunt centrate și obținem din ^nou distribuția χ ² :

\chi ^{2}(k,0)=\chi ^{2}(k)\

{\ displaystyle \ chi ^ {2} (k, 0) = \ chi ^ {2} (k) \}

{\ displaystyle \ chi ^ {2} (k, 0) = \ chi ^ {2} (k) \}

Este posibil să se definească distribuția non-centrală χ ² și prin intermediul variabilelor aleatoare independente $Y_{1},...,Y_{i}$ ${\ displaystyle Y_ {1}, ..., Y_ {i}}$ ${\ displaystyle Y_ {1}, ..., Y_ {i}}$ de distribuție normală standard ${\mathcal {N}}(0,1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)}$ ${\ mathcal {N}} (0,1)$ , luând $X_{i}=Y_{i}+\mu _{i}$ ${\ displaystyle X_ {i} = Y_ {i} + \ mu _ {i}}$ ${\ displaystyle X_ {i} = Y_ {i} + \ mu _ {i}}$ , adică

\textstyle X^{2}=\sum _{i=1}^{k}(Y_{i}+\mu _{i})^{2}\

{\ displaystyle \ textstyle X ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} (Y_ {i} + \ mu _ {i}) ^ {2} \}

{\ displaystyle \ textstyle X ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} (Y_ {i} + \ mu _ {i}) ^ {2} \}

.

Independența lui λ

Distributia $\chi ^{2}(k,\lambda )$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (k, \ lambda)}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (k, \ lambda)}$ depinde de λ și nu de valorile unice μ _i .

De fapt, pe spațiul euclidian de dimensiune k , putem considera vectorii

{\bar {X}}=(X_{1},\ \ldots ,\ X_{k})=(Y_{1},\ \ldots ,\ Y_{k})+(\mu _{1},\ldots ,\ \mu _{k})={\bar {Y}}+{\bar {\mu }}

{\ displaystyle {\ bar {X}} = (X_ {1}, \ \ ldots, \ X_ {k}) = (Y_ {1}, \ \ ldots, \ Y_ {k}) + (\ mu _ { 1}, \ ldots, \ \ mu _ {k}) = {\ bar {Y}} + {\ bar {\ mu}}}

{\ displaystyle {\ bar {X}} = (X_ {1}, \ \ ldots, \ X_ {k}) = (Y_ {1}, \ \ ldots, \ Y_ {k}) + (\ mu _ { 1}, \ ldots, \ \ mu _ {k}) = {\ bar {Y}} + {\ bar {\ mu}}}

;

distribuția probabilității vectorului normal multivariat ${\bar {Y}}$ ${\ displaystyle {\ bar {Y}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {Y}}}$ este izotrop , adică invariant prin izometrie . În special variabila aleatorie $X^{2}$ ${\ displaystyle X ^ {2}}$ ${\ displaystyle X ^ {2}}$ , care este pătratul normei din ${\bar {X}}={\bar {Y}}+{\bar {\mu }}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}} = {\ bar {Y}} + {\ bar {\ mu}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}} = {\ bar {Y}} + {\ bar {\ mu}}}$ , depinde de $\mu _{i}$ ${\ displaystyle \ mu _ {i}}$ $\ mu_i$ numai în ceea ce privește norma de $(\mu _{1},...,\mu _{k})$ ${\ displaystyle (\ mu _ {1}, ..., \ mu _ {k})}$ ${\ displaystyle (\ mu _ {1}, ..., \ mu _ {k})}$ , adică ${\sqrt {\lambda }}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ lambda}}}$ .

Proprietate

Sumă

Prin definiție, suma variabilelor aleatorii non-centrale ale distribuțiilor χ ² este încă o variabilă aleatorie non-centrală a distribuției χ ² (suma pătratelor variabilelor normale reduse).

Mai exact, suma a două variabile aleatorii cu distribuții $\chi ^{2}(k',\lambda ')$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (k ', \ lambda')}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (k ', \ lambda')}$ Și $\chi ^{2}(k'',\lambda '')$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (k '', \ lambda '')}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (k '', \ lambda '')}$ este o variabilă aleatorie cu distribuție $\chi ^{2}(k,\lambda )$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (k, \ lambda)}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (k, \ lambda)}$ , cu $k=k'+k''$ ${\ displaystyle k = k '+ k' '}$ ${\ displaystyle k = k '+ k' '}$ Și $\lambda ^{2}=\lambda '^{2}+\lambda ''^{2}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {2} = \ lambda '^ {2} + \ lambda' '^ {2}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {2} = \ lambda '^ {2} + \ lambda' '^ {2}}$ .

Amestec de distribuții χ ²

Distribuția central ² necentrală poate fi exprimată ca un amestec de distribuții χ ² , ponderate în funcție de distribuția Poisson .

Cu alte cuvinte, este distribuția unei variabile aleatoare Z , dependentă de o variabilă aleatoare J a legii lui Poisson ${\mathcal {P}}(\lambda /2)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ lambda / 2)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ lambda / 2)}$ , cu distribuție condiționată a lui Z față de J dată de $\chi ^{2}(k+2J)$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (k + 2J)}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (k + 2J)}$ .

În special, se poate descrie χ ² ( k , λ)

densitatea probabilității

f_{k,\lambda }=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{j}}{j!}}f_{k+2j,0}(x),

{\ displaystyle f_ {k, \ lambda} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- \ lambda / 2} (\ lambda / 2) ^ {j}} {j !}} f_ {k + 2j, 0} (x),}

{\ displaystyle f_ {k, \ lambda} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- \ lambda / 2} (\ lambda / 2) ^ {j}} {j !}} f_ {k + 2j, 0} (x),}

și funcția de distribuție

F_{k,\lambda }=\sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}F_{k+2j,0}

{\ displaystyle F_ {k, \ lambda} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} e ^ {- \ lambda / 2} {\ frac {(\ lambda / 2) ^ {j}} {j !}} F_ {k + 2j, 0}}

{\ displaystyle F_ {k, \ lambda} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} e ^ {- \ lambda / 2} {\ frac {(\ lambda / 2) ^ {j}} {j !}} F_ {k + 2j, 0}}

prin densitatea probabilității $f_{k+2j,0}$ ${\ displaystyle f_ {k + 2j, 0}}$ ${\ displaystyle f_ {k + 2j, 0}}$ și funcția de distribuție $F_{k+2j,0}$ ${\ displaystyle F_ {k + 2j, 0}}$ ${\ displaystyle F_ {k + 2j, 0}}$ a distribuțiilor χ ² ( k +2 j ).

Caracteristici

Funcția generatoare de moment a distribuției necentrale χ ² ( k , λ) este

g(t)=E[e^{t}Z]={\frac {e^{\lambda t/(1-2t)}}{(1-2t)^{k/2}}}

{\ displaystyle g (t) = E [e ^ {t} Z] = {\ frac {e ^ {\ lambda t / (1-2t)}} {(1-2t) ^ {k / 2}}} }

{\ displaystyle g (t) = E [e ^ {t} Z] = {\ frac {e ^ {\ lambda t / (1-2t)}} {(1-2t) ^ {k / 2}}} }

Primele momente simple de distribuție sunt

\mu '_{1}=k+\lambda

{\ displaystyle \ mu '_ {1} = k + \ lambda}

{\ displaystyle \ mu '_ {1} = k + \ lambda}

\mu '_{2}=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda )

{\ displaystyle \ mu '_ {2} = (k + \ lambda) ^ {2} +2 (k + 2 \ lambda)}

{\ displaystyle \ mu '_ {2} = (k + \ lambda) ^ {2} +2 (k + 2 \ lambda)}

\mu '_{3}=(k+\lambda )^{3}+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )

{\ displaystyle \ mu '_ {3} = (k + \ lambda) ^ {3} +6 (k + \ lambda) (k + 2 \ lambda) +8 (k + 3 \ lambda)}

{\ displaystyle \ mu '_ {3} = (k + \ lambda) ^ {3} +6 (k + \ lambda) (k + 2 \ lambda) +8 (k + 3 \ lambda)}

\mu '_{4}=(k+\lambda )^{4}+12(k+\lambda )^{2}(k+2\lambda )+4(11k^{2}+44k\lambda +36\lambda ^{2})+48(k+4\lambda )

{\ displaystyle \ mu '_ {4} = (k + \ lambda) ^ {4} +12 (k + \ lambda) ^ {2} (k + 2 \ lambda) +4 (11k ^ {2} + 44k \ lambda +36 \ lambda ^ {2}) + 48 (k + 4 \ lambda)}

{\ displaystyle \ mu '_ {4} = (k + \ lambda) ^ {4} +12 (k + \ lambda) ^ {2} (k + 2 \ lambda) +4 (11k ^ {2} + 44k \ lambda +36 \ lambda ^ {2}) + 48 (k + 4 \ lambda)}

iar primele sale momente centrale sunt

\mu _{2}=2(k+2\lambda )

{\ displaystyle \ mu _ {2} = 2 (k + 2 \ lambda)}

{\ displaystyle \ mu _ {2} = 2 (k + 2 \ lambda)}

\mu _{3}=8(k+3\lambda )

{\ displaystyle \ mu _ {3} = 8 (k + 3 \ lambda)}

{\ displaystyle \ mu _ {3} = 8 (k + 3 \ lambda)}

\mu _{4}=12(k+2\lambda )^{2}+48(k+4\lambda )

{\ displaystyle \ mu _ {4} = 12 (k + 2 \ lambda) ^ {2} +48 (k + 4 \ lambda)}

{\ displaystyle \ mu _ {4} = 12 (k + 2 \ lambda) ^ {2} +48 (k + 4 \ lambda)}

Funcția caracteristică a lui χ ² ( k , λ) este ^[1]

\phi (t)={\frac {e^{it\lambda /(1-i2t)}}{(1-i2t)^{k/2}}}

{\ displaystyle \ phi (t) = {\ frac {e ^ {it \ lambda / (1-i2t)}} {(1-i2t) ^ {k / 2}}}}

{\ displaystyle \ phi (t) = {\ frac {e ^ {it \ lambda / (1-i2t)}} {(1-i2t) ^ {k / 2}}}}

.

Formule alternative

Probabilitate densitate

Densitatea probabilității $f_{k,\lambda }$ ${\ displaystyle f_ {k, \ lambda}}$ ${\ displaystyle f_ {k, \ lambda}}$ a distribuției necentrale χ ² ( k , λ) poate fi descrisă prin alte formule.

O formulă alternativă este

f_{k,\lambda }={\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})

{\ displaystyle f_ {k, \ lambda} = {\ frac {1} {2}} e ^ {- (x + \ lambda) / 2} \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right ) ^ {k / 4-1 / 2} I_ {k / 2-1} ({\ sqrt {\ lambda x}})}

{\ displaystyle f_ {k, \ lambda} = {\ frac {1} {2}} e ^ {- (x + \ lambda) / 2} \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right ) ^ {k / 4-1 / 2} I_ {k / 2-1} ({\ sqrt {\ lambda x}})}

unde este

I_{a}(y):=(y/2)^{a}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{j}}{j!\Gamma (a+j+1)}}

{\ displaystyle I_ {a} (y): = (y / 2) ^ {a} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(y ^ {2} / 4) ^ {j }} {j! \ Gamma (a + j + 1)}}}

{\ displaystyle I_ {a} (y): = (y / 2) ^ {a} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(y ^ {2} / 4) ^ {j }} {j! \ Gamma (a + j + 1)}}}

este o funcție Bessel modificată de primul fel.

O a treia formulă este ^[2]

f(x)=e^{-{\frac {\lambda }{2}}}\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {({\frac {\lambda }{2}})^{r}\ e^{-{\frac {x}{2}}}\ x^{{\frac {n}{2}}+r-1}}{2^{{\frac {n}{2}}+r}\ r!\ \Gamma ({\frac {n}{2}}+r)}}={\frac {e^{-{\frac {x+\lambda }{2}}}}{x}}({\frac {x}{2}})^{\frac {n}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {({\frac {\lambda }{2}})^{r}\ x^{r}}{2^{r}\ r!\ \Gamma ({\frac {n}{2}}+r)}}

{\ displaystyle f (x) = e ^ {- {\ frac {\ lambda} {2}}} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} {\ frac {({\ frac {\ lambda} { 2}}) ^ {r} \ e ^ {- {\ frac {x} {2}}} \ x ^ {{\ frac {n} {2}} + r-1}} {2 ^ {{\ frac {n} {2}} + r} \ r! \ \ Gamma ({\ frac {n} {2}} + r)}} = {\ frac {e ^ {- {\ frac {x + \ lambda } {2}}}} {x}} ({\ frac {x} {2}}) ^ {\ frac {n} {2}} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} {\ frac {({\ frac {\ lambda} {2}}) ^ {r} \ x ^ {r}} {2 ^ {r} \ r! \ \ Gamma ({\ frac {n} {2}} + r )}}}

{\ displaystyle f (x) = e ^ {- {\ frac {\ lambda} {2}}} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} {\ frac {({\ frac {\ lambda} { 2}}) ^ {r} \ e ^ {- {\ frac {x} {2}}} \ x ^ {{\ frac {n} {2}} + r-1}} {2 ^ {{\ frac {n} {2}} + r} \ r! \ \ Gamma ({\ frac {n} {2}} + r)}} = {\ frac {e ^ {- {\ frac {x + \ lambda } {2}}}} {x}} ({\ frac {x} {2}}) ^ {\ frac {n} {2}} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} {\ frac {({\ frac {\ lambda} {2}}) ^ {r} \ x ^ {r}} {2 ^ {r} \ r! \ \ Gamma ({\ frac {n} {2}} + r )}}}

pentru

x>0

{\ displaystyle x> 0}

x> 0

Funcția de distribuție

De asemenea, funcția de distribuție $F_{k,\lambda }$ ${\ displaystyle F_ {k, \ lambda}}$ ${\ displaystyle F_ {k, \ lambda}}$ a distribuției necentrale χ ² ( k , λ) poate fi descrisă prin alte formule. În special, în statistici au fost propuse unele metode pentru a încerca să calculeze unele valori $F_{k,\lambda }(x_{0})$ ${\ displaystyle F_ {k, \ lambda} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle F_ {k, \ lambda} (x_ {0})}$ .

O formulă recursivă , bazată pe funcția de distribuție a distribuției χ ² (centrală) este ^[3]

\textstyle F_{k,\lambda }(x)=F_{{\frac {n}{2}},0}(x)+\sum _{r>0}P_{r}({\frac {x}{2}})\

{\ displaystyle \ textstyle F_ {k, \ lambda} (x) = F _ {{\ frac {n} {2}}, 0} (x) + \ sum _ {r> 0} P_ {r} ({ \ frac {x} {2}}) \}

{\ displaystyle \ textstyle F_ {k, \ lambda} (x) = F _ {{\ frac {n} {2}}, 0} (x) + \ sum _ {r> 0} P_ {r} ({ \ frac {x} {2}}) \}

unde este

\textstyle P_{0}(x)=0\qquad P_{1}(x)={\frac {\lambda }{2}}{\frac {e^{-x}x^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}}

{\ displaystyle \ textstyle P_ {0} (x) = 0 \ qquad P_ {1} (x) = {\ frac {\ lambda} {2}} {\ frac {e ^ {- x} x ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2 + 1)}}}

{\ displaystyle \ textstyle P_ {0} (x) = 0 \ qquad P_ {1} (x) = {\ frac {\ lambda} {2}} {\ frac {e ^ {- x} x ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2 + 1)}}}

\textstyle P_{r}(x)={\frac {\lambda ^{2}}{4}}{\frac {2(r-2)}{r(r-1)(n/2+r-1)}}P_{r-2}(x)-{\frac {\lambda }{2}}{\frac {n/2+2r-3-x}{r(n/2+r-1)}}P_{r-1}(x)

{\ displaystyle \ textstyle P_ {r} (x) = {\ frac {\ lambda ^ {2}} {4}} {\ frac {2 (r-2)} {r (r-1) (n / 2 + r-1)}} P_ {r-2} (x) - {\ frac {\ lambda} {2}} {\ frac {n / 2 + 2r-3-x} {r (n / 2 + r -1)}} P_ {r-1} (x)}

{\ displaystyle \ textstyle P_ {r} (x) = {\ frac {\ lambda ^ {2}} {4}} {\ frac {2 (r-2)} {r (r-1) (n / 2 + r-1)}} P_ {r-2} (x) - {\ frac {\ lambda} {2}} {\ frac {n / 2 + 2r-3-x} {r (n / 2 + r -1)}} P_ {r-1} (x)}

În schimb, valorile aproximative pot fi obținute prin distribuția Gamma și primele două ^[4] sau trei ^[5] momente sau prindistribuția normală . ^[6]

Distribuții necentrale

Folosind distribuția non-centrale χ ² ca o generalizare a ² distribuției χ (central), este posibil să se definească versiunile non-centrale ale t Student , F Fisher-Snedecor și Beta distribuțiile .

Notă

^ (EN) MA Sanders, Funcția caracteristică a distribuției non-centrale chi-pătrate (PDF) pe planetmathematics.com. Adus la 7 martie 2009 (arhivat din original la 15 iulie 2011) .
^ D. Kerridge, Oferă o derivare probabilistică foarte interesantă , în Aust. J. Statistică. , 1965.
^ ML Tiku, folosește polinomii Laguerre pentru a reprezenta distribuția non-centrală chi-quare , în Biometrika , 1965.
^ PB Patnaik, subliniază câteva trăsături geometrice interesante , în Biometrika , 1949.
^ E. Pearson, Studiază acuratețea aproximării chi-pătrate în trei momente , în Biometrika , 1959.
^ S. Abdel-Aty, oferă diverse aproximări de tip Cornish-Fisher , în Biometrika , 1954.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) MA Sanders, Funcția caracteristică a distribuției non-centrale chi-pătrate (PDF) pe planetmathematics.com. Adus la 7 martie 2009 (arhivat din original la 15 iulie 2011) .

[2] D. Kerridge, Oferă o derivare probabilistică foarte interesantă , în Aust. J. Statistică. , 1965.

[3] ML Tiku, folosește polinomii Laguerre pentru a reprezenta distribuția non-centrală chi-quare , în Biometrika , 1965.

[4] PB Patnaik, subliniază câteva trăsături geometrice interesante , în Biometrika , 1949.

[5] E. Pearson, Studiază acuratețea aproximării chi-pătrate în trei momente , în Biometrika , 1959.

[6] S. Abdel-Aty, oferă diverse aproximări de tip Cornish-Fisher , în Biometrika , 1954.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]