Distribuția Poisson
Distribuția Poisson | |
---|---|
Funcție de distribuție discretă | |
Funcția de distribuție | |
Parametrii | |
A sustine | |
Funcția de densitate | |
Funcția de distribuție | (unde este este funcția gamma incompletă ) |
Valorea estimata | |
Median | aproximativ |
Modă | este acea de sine |
Varianța | |
Indicele de asimetrie | |
Curios | |
Entropie | |
Funcție generatoare de momente | |
Funcția caracteristică | |
În teoria probabilității, distribuția Poisson (sau Poissonian ) este o distribuție discretă de probabilitate care exprimă probabilitățile pentru numărul de evenimente care apar succesiv și independent într-un interval de timp dat, știind că în medie apare un număr . De exemplu, o distribuție Poisson este utilizată pentru a măsura numărul de apeluri primite într-un centru de apel pe o anumită perioadă de timp, cum ar fi o dimineață de lucru. Această distribuție este, de asemenea, cunoscută sub numele de legea evenimentelor rare .
Este numit după matematicianul francez Siméon-Denis Poisson .
Definiție
Distribuția Poisson este o distribuție discretă de probabilitate dată de
- pentru fiecare ,
unde este este numărul mediu de evenimente pe interval de timp, în timp ce este numărul de evenimente pe interval de timp (același cu care este măsurat ) de care doriți probabilitatea.
Din dezvoltarea în serie a exponențialei este situat .
Convergenţă
Distribuția Poisson poate fi obținută ca limită a distribuțiilor binomiale , cu , adică există o convergență în legea la . Pentru această convergență, distribuția Poisson este cunoscută și ca legea (probabilității) evenimentelor rare .
În statistici , aproximarea distribuției binomiale este adoptată prin distribuția Poisson când n> 20 și p <1/20, sau de preferință când n> 100 și np <10.
Caracteristici
O variabilă aleatorie Y de distribuție Poisson are
- (Rescriem ca )
- ,
care are o tendință
Proprietate
De sine Și sunt două variabile aleatoare independente cu distribuții de parametri Poisson Și respectiv, atunci
- suma lor urmează din nou o distribuție Poisson, a parametrului ;
- distribuirea de condiționat de este distribuția binomială a parametrilor Și .
Mai general, suma a n variabile aleatoare independente cu distribuții de parametri Poisson urmează un parametru distribuție Poisson , în timp ce distribuția de condiționat de este distribuția binomială a parametrilor Și .
Distribuții legate
Dacă distribuția Poisson a parametrului descrie numărul de evenimente într-un interval de timp, timpul de așteptare între două evenimente succesive este descris de distribuția exponențială a parametrului .
Distribuția Skellam este definită ca distribuția diferenței dintre două variabile aleatoare independente, ambele având distribuții Poisson.
Amestecul de distribuții între distribuția Poisson și distribuția Gamma (care guvernează parametrul ) este distribuția Pascal , care este uneori numită și Gamma-Poisson .
Distribuția Panjer , definită prin recursivitate, generalizează distribuția Poisson: .
Statistici
Aproximări
Pentru o variabilă aleatorie cu distribuție Poisson este de obicei aproximat cu distribuția normală ; pentru parametri mai mici ( ) în schimb, sunt necesare corecții de continuitate , legate de diferitele domenii ale celor două distribuții (una discretă, una continuă).
Rădăcina pătrată a unei variabile aleatorii cu o distribuție Poisson este mai bine aproximată printr-o distribuție normală decât variabila în sine.
Parametrul poate fi estimat ca media observațiilor făcute. Acest estimator este fără părtiniri , adică are o valoare așteptată la fel.
Inferența bayesiană
Dacă parametrul a unei distribuții Poisson este distribuită a priori în funcție de distribuția Gamma , deci este și a posteriori de observare .
Interval de încredere pentru medie
Un criteriu rapid pentru calculul aproximativ al intervalului de încredere al eșantionului mediu este furnizat în Warrior (2012) . Având în vedere un număr de evenimente k (cel puțin 15-20 pentru o aproximare satisfăcătoare) înregistrate într-un anumit interval de timp - sau de lungime, volum etc. -, limitele intervalului de încredere pentru parametrul λ sunt date de:
Istorie
Această distribuție a fost introdusă de Siméon-Denis Poisson în 1838 în articolul său Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile [1] [2] . Potrivit unor istorici, această variabilă aleatorie ar trebui să poarte numele lui Ladislaus Bortkevič având în vedere studiile făcute de aceasta în 1898 . [3]
În realitate, Poissonianul ca o aproximare a binomului fusese deja introdus în 1718 de Abraham de Moivre în Doctrine des chances . [4]
Tabelele de valori ale funcției de probabilitate
λ = 0,1; 0,2; ... 1.0
k | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1.0 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0,9048 | 0,8187 | 0,7408 | 0,6703 | 0,6065 | 0,5488 | 0,4966 | 0,4493 | 0,4066 | 0,3679 |
1 | 0,0905 | 0,1637 | 0,2222 | 0,2681 | 0,3033 | 0,3293 | 0,3476 | 0,3595 | 0,3659 | 0,3679 |
2 | 0,0045 | 0,0164 | 0,0333 | 0,0536 | 0,0758 | 0,0988 | 0,1217 | 0.1438 | 0,1667 | 0,1839 |
3 | 0,0002 | 0,0011 | 0,0033 | 0,0072 | 0,0126 | 0,0198 | 0,0254 | 0,0383 | 0,0494 | 0,0613 |
4 | 0,0001 | 0,0003 | 0,0007 | 0,0016 | 0,0030 | 0,0050 | 0,0077 | 0,0111 | 0,0153 | |
5 | 0,0001 | 0,0002 | 0,0004 | 0,0007 | 0,0012 | 0,0020 | 0,0031 | |||
6 | 0,0001 | 0,0002 | 0,0003 | 0,0005 | ||||||
7 | 0,0001 |
λ = 1,2; 1.4; ... 3.0
k | 1.2 | 1.4 | 1.6 | 1.8 | 2.0 | 2.2 | 2.4 | 2.6 | 2.8 | 3.0 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0,3012 | 0,2466 | 0,2019 | 0,1665 | 0.1353 | 0,1108 | 0,0907 | 0,0743 | 0,0608 | 0,0498 |
1 | 0,3614 | 0,3452 | 0,3230 | 0,2975 | 0,2707 | 0,2438 | 0,2177 | 0,1931 | 0.1703 | 0,1494 |
2 | 0,2169 | 0,2417 | 0,2584 | 0,2678 | 0,2707 | 0,2681 | 0,2613 | 0,2510 | 0,2384 | 0,2240 |
3 | 0,0867 | 0,1128 | 0,1378 | 0.1607 | 0.1804 | 0,1966 | 0,2090 | 0,2176 | 0,2225 | 0,2240 |
4 | 0,0260 | 0,0395 | 0,0551 | 0,0723 | 0,0902 | 0,1082 | 0,1254 | 0,1414 | 0,1557 | 0,1680 |
5 | 0,0062 | 0,0111 | 0,0176 | 0,0260 | 0,0361 | 0,0476 | 0,0602 | 0,0735 | 0,0872 | 0,1008 |
6 | 0,0012 | 0,0026 | 0,0047 | 0,0078 | 0,0120 | 0,0174 | 0,0241 | 0,0319 | 0,0407 | 0,0504 |
7 | 0,0002 | 0,0005 | 0,0011 | 0,0020 | 0,0034 | 0,0055 | 0,0083 | 0,0118 | 0,0163 | 0,0216 |
8 | 0,0001 | 0,0002 | 0,0005 | 0,0009 | 0,0015 | 0,0025 | 0,0038 | 0,0057 | 0,0081 | |
9 | 0,0001 | 0,0002 | 0,0004 | 0,0007 | 0,0011 | 0,0018 | 0,0027 | |||
10 | 0,0001 | 0,0002 | 0,0003 | 0,0005 | 0,0008 | |||||
11 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0002 | |||||||
12 | 0,0002 |
λ = 3,5; 4.0; ... 8.0
k | 3.5 | 4.0 | 4.5 | 5.0 | 5.5 | 6.0 | 6.5 | 7.0 | 7.5 | 8.0 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0,0302 | 0,0183 | 0,0111 | 0,0067 | 0,0041 | 0,0025 | 0,0015 | 0,0009 | 0,0006 | 0,0003 |
1 | 0,1057 | 0,0733 | 0,0500 | 0,0337 | 0,0225 | 0,0149 | 0,0098 | 0,0064 | 0,0041 | 0,0027 |
2 | 0,1850 | 0,1465 | 0,1125 | 0,0842 | 0,0618 | 0,0446 | 0,0318 | 0,0223 | 0,0156 | 0,0107 |
3 | 0,2158 | 0,1954 | 0.1687 | 0.1404 | 0.1133 | 0,0892 | 0,0688 | 0,0521 | 0,0389 | 0,0286 |
4 | 0,1888 | 0,1954 | 0,1898 | 0,1755 | 0,1558 | 0,1339 | 0,1118 | 0,0912 | 0,0729 | 0,0573 |
5 | 0,1322 | 0,1563 | 0.1708 | 0,1755 | 0,1714 | 0.1606 | 0.1454 | 0,1227 | 0,1094 | 0,0916 |
6 | 0,0771 | 0,1042 | 0,1281 | 0,1646 | 0,1571 | 0.1606 | 0,1575 | 0,1490 | 0.1367 | 0,1222 |
7 | 0,0385 | 0,0595 | 0,0824 | 0,1044 | 0,1234 | 0,1337 | 0,1646 | 0,1490 | 0,1465 | 0.1396 |
8 | 0,0169 | 0,0298 | 0,0463 | 0,0653 | 0,0849 | 0,1033 | 0.1188 | 0.1304 | 0,1373 | 0.1396 |
9 | 0,0066 | 0,0132 | 0,0232 | 0,0363 | 0,0519 | 0,0688 | 0,0858 | 0,1014 | 0.1144 | 0,1241 |
10 | 0,0023 | 0,0053 | 0,0104 | 0,0181 | 0,0285 | 0,0413 | 0,0558 | 0,0710 | 0,0858 | 0,0993 |
11 | 0,0007 | 0,0019 | 0,0043 | 0,0082 | 0,0143 | 0,0225 | 0,0330 | 0,0452 | 0,0585 | 0,0722 |
12 | 0,0002 | 0,0006 | 0,0016 | 0,0034 | 0,0065 | 0,0113 | 0,0179 | 0,0263 | 0,0366 | 0,0481 |
13 | 0,0001 | 0,0002 | 0,0006 | 0,0013 | 0,0028 | 0,0052 | 0,0089 | 0,0142 | 0,0211 | 0,0296 |
14 | 0,0001 | 0,0002 | 0,0005 | 0,0011 | 0,0022 | 0,0041 | 0,0071 | 0,0113 | 0,0169 | |
15 | 0,0001 | 0,0002 | 0,0004 | 0,0009 | 0,0018 | 0,0033 | 0,0057 | 0,0090 | ||
16 | 0,0001 | 0,0003 | 0,0007 | 0,0014 | 0,0026 | 0,0045 | ||||
17 | 0,0001 | 0,0003 | 0,0006 | 0,0012 | 0,0021 | |||||
18 | 0,0001 | 0,0002 | 0,0005 | 0,0009 | ||||||
19 | 0,0001 | 0,0002 | 0,0004 | |||||||
20 | 0,0001 | 0,0002 | ||||||||
21 | 0,0001 |
Notă
- ^ (EN) Jan Gullberg, Matematica de la nașterea numerelor, WW Norton & Company, pp. 963-965, ISBN 978-0-393-04002-9 .
- ^ Filippo Siriani, Encyclopedia of Elementary Mathematics and Complements , vol. III, Milano, Hoepli Editore, 1954, p. 214.
- ^ ( DE ) Ladislaus von Bortkevič, Das Gesetz der kleinen Zahlen , Leipzig, BG Teubner, 1898, p. 1.
( EN ) Bortkiewicz prezintă celebra sa analiză a „4. Beispiel: Die durch Schlag eines Pferdes im preussischen Heere Getöteten.” (4. Exemplu: cei uciși în armata prusiană printr-o lovitură de cal , la books.google.com , pp. 23-25. - ^ (EN) Johnson, NL, Kotz, S. și Kemp, AW, Distribuții discrete univariate, ediția a II-a, Wiley, 1993, p. 157, ISBN 0-471-54897-9 .
Bibliografie
- (EN) Donald E. Knuth , Seminumerical Algorithms, The Art of Computer Programming, Volumul 2, Addison-Wesley , 1969.
- (EN) Ronald J. Evans, J. Boersma, NM Blachman, AA Jagers, The Entropy of a Poisson Distribution: Problem 87-6 , în SIAM Review, vol. 30, n. 2, 1988, pp. 314-317, DOI : 10.1137 / 1030059 .
- Sheldon M. Ross, Probabilitate și statistici pentru inginerie și știință , Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2 .
- Vincenzo Guerriero, Distribuția legii puterii: metodă de statistici inferențiale pe mai multe scări , în J. Mod. Math. Pr. , 2012, pp. 21-28.
Elemente conexe
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere distribuite de Poisson
linkuri externe
- ( RO ) IUPAC Gold Book, „Poisson distribution” , pe goldbook.iupac.org .
- (EN) Eric W. Weisstein, distribuția Poisson , în MathWorld Wolfram Research.
Controlul autorității | LCCN (EN) sh85103956 · GND (DE) 4253010-6 · NDL (EN, JA) 00.569.122 |
---|