Distribuție Panjer

Posibilele alegeri ale parametrilor

(a,b)

{\ displaystyle (a, b)}

(a, b)

și distribuțiile corespunzătoare

În teoria probabilității cu distribuția Panjer indicăm o clasă de patru distribuții de probabilitate discrete , compuse din distribuțiile degenerate , binomiale , Pascal și Poisson .

Origine

Distribuțiile Panjer au fost introduse de statisticianul canadian Harry H. Panjer ca clase particulare de distribuții care permit găsirea soluțiilor „în formă închisă” la o anumită problemă de evaluare a riscurilor .

Pentru a descrie distribuția probabilității sumei $S=X_{1}+...+X_{N}$ ${\ displaystyle S = X_ {1} + ... + X_ {N}}$ ${\ displaystyle S = X_ {1} + ... + X_ {N}}$ a unui număr aleatoriu $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ a variabilelor aleatoare independente $X_{1},...,X_{N}$ ${\ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {N}}$ ${\ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {N}}$ ( solicitări ) având aceeași distribuție, este necesar să se calculeze produsul de convoluție al acestor distribuții de mai multe ori și nu poate fi întotdeauna explicit.

Panjer a descris o clasă de distribuții de probabilitate posibile pentru $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ pentru care distribuția probabilității de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ poate fi descris într-o formă mai simplă; când variabilele $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ urmează o distribuție discretă apoi distribuția de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ poate fi calculat explicit. ^[1]

Definiție

O distribuție Panjer cu parametri $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ este o distribuție discretă de probabilitate cu suport pentru numere naturale și ale cărei probabilități $P(n)=p_{k}$ ${\ displaystyle P (n) = p_ {k}}$ ${\ displaystyle P (n) = p_ {k}}$ sunt definite prin recursivitate ca

p_{k}={\big (}a+{\frac {b}{k}}{\big )}p_{k-1}

{\ displaystyle p_ {k} = {\ big (} a + {\ frac {b} {k}} {\ big)} p_ {k-1}}

{\ displaystyle p_ {k} = {\ big (} a + {\ frac {b} {k}} {\ big)} p_ {k-1}}

.

Nu toate cuplurile $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ definiți o distribuție de probabilitate: fiecare termen al secvenței trebuie să fie pozitiv și seria trebuie să convergă. În special primul factor $a+b/n$ ${\ displaystyle a + b / n}$ ${\ displaystyle a + b / n}$ nu strict pozitiv trebuie să fie nul (în acest caz distribuția va avea suport pe $\{0,1,...,n-1\}$ ${\ displaystyle \ {0,1, ..., n-1 \}}$ ${\ displaystyle \ {0,1, ..., n-1 \}}$ .

În aceste condiții, distribuția este determinată în mod unic de termen $p_{0}$ ${\ displaystyle p_ {0}}$ $p_ {0}$ , care este derivat printr-o transformare liniară din condiție $P(\mathbb {N} )=1$ ${\ displaystyle P (\ mathbb {N}) = 1}$ $P ({\ mathbb {N}}) = 1$ :

1=p_{0}(1+{\tfrac {p_{1}}{p_{0}}}+{\tfrac {p_{2}}{p_{1}}}{\tfrac {p_{1}}{p_{0}}}+...)

{\ displaystyle 1 = p_ {0} (1 + {\ tfrac {p_ {1}} {p_ {0}}} + {\ tfrac {p_ {2}} {p_ {1}}} {\ tfrac {p_ {1}} {p_ {0}}} + ...)}

{\ displaystyle 1 = p_ {0} (1 + {\ tfrac {p_ {1}} {p_ {0}}} + {\ tfrac {p_ {2}} {p_ {1}}} {\ tfrac {p_ {1}} {p_ {0}}} + ...)}

.

Clasificare

În funcție de valorile asumate de parametri $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ , distribuția Panjer poate fi degenerată, binomială, Pascal sau Poisson. ^[2]

Distribuție degenerată
Distribuții binomiale
Distribuții Poisson
Distribuții Pascal

Distribuție degenerată

De sine $a+b=0$ ${\ displaystyle a + b = 0}$ ${\ displaystyle a + b = 0}$ avem distribuția degenerată (cu $P(0)=1$ ${\ displaystyle P (0) = 1}$ ${\ displaystyle P (0) = 1}$ ):

Panjer

(a,-a)={\mathcal {U}}(\{0\})

{\ displaystyle (a, -a) = {\ mathcal {U}} (\ {0 \})}

{\ displaystyle (a, -a) = {\ mathcal {U}} (\ {0 \})}

.

Distribuție binomială

Funcția de probabilitate a variabilei aleatorii Panjer ca un caz general al unei variabile aleatoare binomiale și cazuri intermediare.

De sine $a+b>0$ ${\ displaystyle a + b> 0}$ ${\ displaystyle a + b> 0}$ Și $a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ $a <0$ avem distribuția binomială :

Panjer

(-{\tfrac {p}{q}},(n+1){\tfrac {p}{q}})={\mathcal {B}}(p,n)

{\ displaystyle (- {\ tfrac {p} {q}}, (n + 1) {\ tfrac {p} {q}}) = {\ mathcal {B}} (p, n)}

{\ displaystyle (- {\ tfrac {p} {q}}, (n + 1) {\ tfrac {p} {q}}) = {\ mathcal {B}} (p, n)}

, adică

Panjer

(a,b)={\mathcal {B}}({\tfrac {-a}{1-a}},{\tfrac {b}{-a}}-1)

{\ displaystyle (a, b) = {\ mathcal {B}} ({\ tfrac {-a} {1-a}}, {\ tfrac {b} {- a}} - 1)}

{\ displaystyle (a, b) = {\ mathcal {B}} ({\ tfrac {-a} {1-a}}, {\ tfrac {b} {- a}} - 1)}

.

Raportul dintre a și b trebuie să fie un număr întreg, deoarece a este negativ și pe măsură ce k crește, termenul b / k devine din ce în ce mai mic; termenii a + b / k vor deveni negativi și, prin urmare, unul dintre ei trebuie să fie nul.

Distribuția Poisson

De sine $a+b>0$ ${\ displaystyle a + b> 0}$ ${\ displaystyle a + b> 0}$ Și $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ avem distribuția Poisson :

Panjer

(0,\lambda )={\mathcal {P}}(\lambda )

{\ displaystyle (0, \ lambda) = {\ mathcal {P}} (\ lambda)}

{\ displaystyle (0, \ lambda) = {\ mathcal {P}} (\ lambda)}

, adică

Panjer

(0,b)={\mathcal {P}}(b)

{\ displaystyle (0, b) = {\ mathcal {P}} (b)}

{\ displaystyle (0, b) = {\ mathcal {P}} (b)}

.

Distribuția Pascal

De sine $a+b>0$ ${\ displaystyle a + b> 0}$ ${\ displaystyle a + b> 0}$ Și $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ avem distribuția Pascal (sau binomul negativ ):

Panjer

(q,(r-1)q)={\mathcal {NB}}(p,r)

{\ displaystyle (q, (r-1) q) = {\ mathcal {NB}} (p, r)}

{\ displaystyle (q, (r-1) q) = {\ mathcal {NB}} (p, r)}

, adică

Panjer

(a,b)={\mathcal {NB}}(1-a,{\tfrac {b}{a}}+1)

{\ displaystyle (a, b) = {\ mathcal {NB}} (1-a, {\ tfrac {b} {a}} + 1)}

{\ displaystyle (a, b) = {\ mathcal {NB}} (1-a, {\ tfrac {b} {a}} + 1)}

.

În acest caz trebuie să aveți $a<1$ ${\ displaystyle a <1}$ ${\ displaystyle a <1}$ : astfel încât seria de $p_{k}$ ${\ displaystyle p_ {k}}$ $p_ {k}$ converga cere ca secvența să scadă definitiv , adică raportul a + b / k între doi termeni consecutivi este mai mic de 1 pentru fiecare k suficient de mare .

Distribuția geometrică

Distribuția geometrică ${\mathcal {G}}(q)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (q)}$ ${\ mathcal {G}} (q)$ , care este un caz special al distribuției Pascal, ${\mathcal {NB}}(p,1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {NB}} (p, 1)}$ ${\ mathcal {NB}} (p, 1)$ , se obține din distribuția Panjer cu parametri $(q,0)$ ${\ displaystyle (q, 0)}$ ${\ displaystyle (q, 0)}$ .

Proprietate

Deși cele patru clase de distribuții au proprietăți diferite, unele dintre proprietățile lor pot fi exprimate sub formă de distribuții Panjer. O variabilă aleatorie X cu distribuția Panjer a parametrilor $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ are

speranță matematică $E[X]={\frac {a+b}{1-a}}$ ${\ displaystyle E [X] = {\ frac {a + b} {1-a}}}$ ${\ displaystyle E [X] = {\ frac {a + b} {1-a}}}$ ;
varianță ${\text{Var}}(X)={\frac {a+b}{(1-a)^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = {\ frac {a + b} {(1-a) ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = {\ frac {a + b} {(1-a) ^ {2}}}}$ .

Acestea pot fi obținute prin momentele centrale $\mu _{n}=E[X^{n}]$ ${\ displaystyle \ mu _ {n} = E [X ^ {n}]}$ ${\ displaystyle \ mu _ {n} = E [X ^ {n}]}$ , care poate fi exprimat prin recursivitate începând de la $\mu _{0}=1$ ${\ displaystyle \ mu _ {0} = 1}$ ${\ displaystyle \ mu _ {0} = 1}$ și relații

\textstyle \mu _{n}=\sum _{k\geqslant 0}k^{n}p_{k}=\sum _{k\geqslant 0}(k+1)^{n}(a+{\tfrac {b}{k+1}})p_{k}

{\ displaystyle \ textstyle \ mu _ {n} = \ sum _ {k \ geqslant 0} k ^ {n} p_ {k} = \ sum _ {k \ geqslant 0} (k + 1) ^ {n} ( a + {\ tfrac {b} {k + 1}}) p_ {k}}

{\ displaystyle \ textstyle \ mu _ {n} = \ sum _ {k \ geqslant 0} k ^ {n} p_ {k} = \ sum _ {k \ geqslant 0} (k + 1) ^ {n} ( a + {\ tfrac {b} {k + 1}}) p_ {k}}

;

din care sunt derivate

\mu _{1}=a\mu _{1}+(a+b)

{\ displaystyle \ mu _ {1} = a \ mu _ {1} + (a + b)}

{\ displaystyle \ mu _ {1} = a \ mu _ {1} + (a + b)}

, Ceea ce implică

E[X]=\mu _{1}={\tfrac {a+b}{1-a}}

{\ displaystyle E [X] = \ mu _ {1} = {\ tfrac {a + b} {1-a}}}

{\ displaystyle E [X] = \ mu _ {1} = {\ tfrac {a + b} {1-a}}}

, Și

\mu _{2}=a\mu _{2}+(2a+b)\mu _{1}+(a+b)\mu _{0}

{\ displaystyle \ mu _ {2} = a \ mu _ {2} + (2a + b) \ mu _ {1} + (a + b) \ mu _ {0}}

{\ displaystyle \ mu _ {2} = a \ mu _ {2} + (2a + b) \ mu _ {1} + (a + b) \ mu _ {0}}

, Ceea ce implică

E[X^{2}]=\mu _{2}={\tfrac {(a+b)(a+b+1)}{(1-a)^{2}}}

{\ displaystyle E [X ^ {2}] = \ mu _ {2} = {\ tfrac {(a + b) (a + b + 1)} {(1-a) ^ {2}}}}

{\ displaystyle E [X ^ {2}] = \ mu _ {2} = {\ tfrac {(a + b) (a + b + 1)} {(1-a) ^ {2}}}}

.

Generalizări

Formula de distribuție recursivă Panjer poate fi utilizată pentru a defini alte distribuții, dar în acest caz suportul de distribuție este ales în mod arbitrar și distribuțiile rezultate nu mai sunt legate de problema de evaluare a riscului studiată de Panjer.

De exemplu distribuția logaritmică , definită pe numere naturale pozitive (fără zero) ca

P(k)=-{\frac {1}{\log(q)}}{\frac {p^{k}}{k}}

{\ displaystyle P (k) = - {\ frac {1} {\ log (q)}} {\ frac {p ^ {k}} {k}}}

{\ displaystyle P (k) = - {\ frac {1} {\ log (q)}} {\ frac {p ^ {k}} {k}}}

satisface relația

P(k)=(p-{\tfrac {p}{k}})P(k-1)

{\ displaystyle P (k) = (p - {\ tfrac {p} {k}}) P (k-1)}

{\ displaystyle P (k) = (p - {\ tfrac {p} {k}}) P (k-1)}

.

Mai general, putem considera distribuții definite pe numere întregi mai mari decât un număr fix n , adică cu suport $S=\mathbb {N} \setminus \{0,1,...,n\}=\{n+1,n+2,...\}$ ${\ displaystyle S = \ mathbb {N} \ setminus \ {0,1, ..., n \} = \ {n + 1, n + 2, ... \}}$ ${\ displaystyle S = \ mathbb {N} \ setminus \ {0,1, ..., n \} = \ {n + 1, n + 2, ... \}}$ .

O altă alegere este de a trunchia suportul la un întreg $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ , sau mai bine zis a impune

P(N)=0

{\ displaystyle P (N) = 0}

{\ displaystyle P (N) = 0}

Și

p_{k}={\big (}a+{\frac {b}{k}}{\big )}p_{k-1}

{\ displaystyle p_ {k} = {\ big (} a + {\ frac {b} {k}} {\ big)} p_ {k-1}}

{\ displaystyle p_ {k} = {\ big (} a + {\ frac {b} {k}} {\ big)} p_ {k-1}}

pentru

k\neq N

{\ displaystyle k \ neq N}

{\ displaystyle k \ neq N}

.

Pentru fiecare alegere de parametri $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ este întotdeauna posibil să alegeți subseturi $S\subset \mathbb {N}$ ${\ displaystyle S \ subset \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle S \ subset \ mathbb {N}}$ astfel încât termenii $\{p_{s}\}_{s\in S}$ ${\ displaystyle \ {p_ {s} \} _ {s \ în S}}$ ${\ displaystyle \ {p_ {s} \} _ {s \ în S}}$ au același semn și că seria $\textstyle \sum _{s\in S}p_{s}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {s \ in S} p_ {s}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {s \ in S} p_ {s}}$ converge (de exemplu prin alegerea unui singur element, $S=\{s_{0}\}$ ${\ displaystyle S = \ {s_ {0} \}}$ ${\ displaystyle S = \ {s_ {0} \}}$ ). Scalând termenii astfel încât suma lor să fie 1, obținem o distribuție de probabilitate definită la $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ; în orice caz, niciuna dintre aceste distribuții, cu excepția eventuală a celei cu suport $S=\mathbb {N}$ ${\ displaystyle S = \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle S = \ mathbb {N}}$ , este o distribuție Panjer.