Funcția gamma incompletă

Funcțiile gamma incomplete sunt funcții speciale definite de integrale.

Cu notațiile lui Abramowitz și Stegun:

$\Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{a-1}dt,$ ${\ displaystyle \ Gamma (a, x) = \ int _ {x} ^ {\ infty} e ^ {- t} t ^ {a-1} dt,}$ ${\ displaystyle \ Gamma (a, x) = \ int _ {x} ^ {\ infty} e ^ {- t} t ^ {a-1} dt,}$

$\gamma (a,x)=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{a-1}dt,$ ${\ displaystyle \ gamma (a, x) = \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t} t ^ {a-1} dt,}$ ${\ displaystyle \ gamma (a, x) = \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t} t ^ {a-1} dt,}$

$P(a,x)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{x}e^{-t}t^{a-1}dt,$ ${\ displaystyle P (a, x) = {\ frac {1} {\ Gamma (a)}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t} t ^ {a-1} dt,}$ ${\ displaystyle P (a, x) = {\ frac {1} {\ Gamma (a)}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t} t ^ {a-1} dt,}$

unde este $\Gamma (a)$ ${\ displaystyle \ Gamma (a)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (a)}$ este funcția gamma a lui Euler .

Cu notația lui Nielsen:

$P_{x}(a)=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{a-1}dt=\gamma (a,x),$ ${\ displaystyle P_ {x} (a) = \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t} t ^ {a-1} dt = \ gamma (a, x),}$ ${\ displaystyle P_ {x} (a) = \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t} t ^ {a-1} dt = \ gamma (a, x),}$

$Q_{x}(a)=\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{a-1}dt=\Gamma (a,x),$ ${\ displaystyle Q_ {x} (a) = \ int _ {x} ^ {\ infty} e ^ {- t} t ^ {a-1} dt = \ Gamma (a, x),}$ ${\ displaystyle Q_ {x} (a) = \ int _ {x} ^ {\ infty} e ^ {- t} t ^ {a-1} dt = \ Gamma (a, x),}$

Proprietate

$\Gamma (a,x)+\gamma (a,x)=\Gamma (a)$ ${\ displaystyle \ Gamma (a, x) + \ gamma (a, x) = \ Gamma (a)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (a, x) + \ gamma (a, x) = \ Gamma (a)}$

$\Gamma (a,0)=\Gamma (a)$ ${\ displaystyle \ Gamma (a, 0) = \ Gamma (a)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (a, 0) = \ Gamma (a)}$

Relația cu alte funcții speciale

Funcția de eroare este o funcție gamma incompletă:

\gamma (1/2,x^{2})={\sqrt {\pi }}\mathrm {erf} (x)

{\ displaystyle \ gamma (1/2, x ^ {2}) = {\ sqrt {\ pi}} \ mathrm {erf} (x)}

{\ displaystyle \ gamma (1/2, x ^ {2}) = {\ sqrt {\ pi}} \ mathrm {erf} (x)}

Funcția integrală exponențială este o funcție gamma incompletă:

\Gamma (0,x)=E_{1}(x)

{\ displaystyle \ Gamma (0, x) = E_ {1} (x)}

{\ displaystyle \ Gamma (0, x) = E_ {1} (x)}

Este posibil să se exprime funcția $\gamma (a,x)$ ${\ displaystyle \ gamma (a, x)}$ ${\ displaystyle \ gamma (a, x)}$ cu funcția hipergeometrică confluentă sau funcția Whittaker :

\gamma (a,x)=a^{-1}x^{a}e^{-x}M(1,1+a,x)

{\ displaystyle \ gamma (a, x) = a ^ {- 1} x ^ {a} e ^ {- x} M (1,1 + a, x)}

{\ displaystyle \ gamma (a, x) = a ^ {- 1} x ^ {a} e ^ {- x} M (1,1 + a, x)}

Este posibil să se reducă suma reciprocelor factorialelor de la 0 la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ la exprimare

\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {e\Gamma (n+1,1)}{\Gamma (n+1)}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} = {\ frac {e \ Gamma (n + 1,1)} {\ Gamma (n + 1) }}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} = {\ frac {e \ Gamma (n + 1,1)} {\ Gamma (n + 1) }}}

Derivatele

Derivata funcției $\Gamma (a,x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (a, x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (a, x)}$ superior și incomplet în raport cu variabila x este bine cunoscut. Este dat pur și simplu de integrandul funcției integrale prezent în definiția sa, adică:

{\frac {\partial \Gamma (a,x)}{\partial x}}=-x^{a-1}e^{-x}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Gamma (a, x)} {\ partial x}} = - x ^ {a-1} e ^ {- x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Gamma (a, x)} {\ partial x}} = - x ^ {a-1} e ^ {- x}}

Derivata față de prima variabilă este dată de ^[1]

{\frac {\partial \Gamma (a,x)}{\partial a}}=\ln(x)\Gamma (a,x)+x~T(3,a,x)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Gamma (a, x)} {\ partial a}} = \ ln (x) \ Gamma (a, x) + x ~ T (3, a, x)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Gamma (a, x)} {\ partial a}} = \ ln (x) \ Gamma (a, x) + x ~ T (3, a, x)}

în timp ce a doua derivată este dată de

{\frac {\partial ^{2}\Gamma (a,x)}{\partial a^{2}}}=\ln ^{2}(x)\Gamma (a,x)+2x~(\ln(x)~T(3,a,x)+T(4,a,x))

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ Gamma (a, x)} {\ partial a ^ {2}}} = \ ln ^ {2} (x) \ Gamma (a, x) + 2x ~ (\ ln (x) ~ T (3, a, x) + T (4, a, x))}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ Gamma (a, x)} {\ partial a ^ {2}}} = \ ln ^ {2} (x) \ Gamma (a, x) + 2x ~ (\ ln (x) ~ T (3, a, x) + T (4, a, x))}

unde funcția $T(m,a,x)$ ${\ displaystyle T (m, a, x)}$ ${\ displaystyle T (m, a, x)}$ Este un caz special al funcției G Meijer :

T(m,a,z)=G_{m-1,m}^{~m,~0}\left(x\left|{\begin{array}{c}0,0,\ldots 0\\-1,-1,\ldots ,a-1,-1\end{array}}\right.\right)~.

{\ displaystyle T (m, a, z) = G_ {m-1, m} ^ {~ m, ~ 0} \ left (x \ left | {\ begin {array} {c} 0,0, \ ldots 0 \\ - 1, -1, \ ldots, a-1, -1 \ end {array}} \ right. \ Right) ~.}

{\ displaystyle T (m, a, z) = G_ {m-1, m} ^ {~ m, ~ 0} \ left (x \ left | {\ begin {array} {c} 0,0, \ ldots 0 \\ - 1, -1, \ ldots, a-1, -1 \ end {array}} \ right. \ Right) ~.}

Acest caz special special are proprietatea de a fi închis intern, adică poate fi folosit pentru a exprima toate derivatele ulterioare. În general, avem asta

{\frac {\partial ^{m}\Gamma (a,x)}{\partial a^{m}}}=\ln ^{m}(x)\Gamma (a,x)+mx~\sum _{i=0}^{m-1}P_{i}^{m-1}\ln ^{m-i-1}(x)~T(3+i,a,x)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {m} \ Gamma (a, x)} {\ partial a ^ {m}}} = \ ln ^ {m} (x) \ Gamma (a, x) + mx ~ \ sum _ {i = 0} ^ {m-1} P_ {i} ^ {m-1} \ ln ^ {mi-1} (x) ~ T (3 + i, a, x)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {m} \ Gamma (a, x)} {\ partial a ^ {m}}} = \ ln ^ {m} (x) \ Gamma (a, x) + mx ~ \ sum _ {i = 0} ^ {m-1} P_ {i} ^ {m-1} \ ln ^ {mi-1} (x) ~ T (3 + i, a, x)}

unde este $P_{j}^{i}$ ${\ displaystyle P_ {j} ^ {i}}$ ${\ displaystyle P_ {j} ^ {i}}$ este permutația definită de simbolul Pochhammer sau

P_{j}^{i}=\left({\begin{array}{l}i\\j\end{array}}\right)j!={\frac {i!}{(i-j)!}}~.

{\ displaystyle P_ {j} ^ {i} = \ left ({\ begin {array} {l} i \\ j \ end {array}} \ right) j! = {\ frac {i!} {(ij )!}} ~.}

{\ displaystyle P_ {j} ^ {i} = \ left ({\ begin {array} {l} i \\ j \ end {array}} \ right) j! = {\ frac {i!} {(ij )!}} ~.}

Toate derivatele pot fi obținute succesiv începând cu

{\frac {\partial T(m,a,x)}{\partial a}}=\ln(x)~T(m,a,x)+(m-1)T(m+1,a,x)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T (m, a, x)} {\ partial a}} = \ ln (x) ~ T (m, a, x) + (m-1) T (m + 1 , a, x)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T (m, a, x)} {\ partial a}} = \ ln (x) ~ T (m, a, x) + (m-1) T (m + 1 , a, x)}

Și

{\frac {\partial T(m,a,x)}{\partial x}}=-{\frac {1}{x}}(T(m-1,a,x)+T(m,a,x))

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T (m, a, x)} {\ partial x}} = - {\ frac {1} {x}} (T (m-1, a, x) + T ( m, a, x))}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T (m, a, x)} {\ partial x}} = - {\ frac {1} {x}} (T (m-1, a, x) + T ( m, a, x))}

Funcția T (m, a, x) poate fi calculată folosind reprezentarea sa în serii care par a fi valabile când $|z|<1$ ${\ displaystyle | z | <1}$ ${\ displaystyle | z | <1}$ , adică

T(m,a,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left.(\Gamma (a-t)z^{t-1})\right]_{t=0}+\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}z^{a-1+i}}{i!(-a-i)^{m-1}}}

{\ displaystyle T (m, a, z) = - {\ frac {(-1) ^ {m-1}} {(m-2)!}} {\ frac {d ^ {m-2}} { dt ^ {m-2}}} \ left. (\ Gamma (at) z ^ {t-1}) \ right] _ {t = 0} + \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} { \ frac {(-1) ^ {i} z ^ {a-1 + i}} {i! (- ai) ^ {m-1}}}}

{\ displaystyle T (m, a, z) = - {\ frac {(-1) ^ {m-1}} {(m-2)!}} {\ frac {d ^ {m-2}} { dt ^ {m-2}}} \ left. (\ Gamma (at) z ^ {t-1}) \ right] _ {t = 0} + \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} { \ frac {(-1) ^ {i} z ^ {a-1 + i}} {i! (- ai) ^ {m-1}}}}

În expresia de mai sus, s se presupune a fi un număr întreg negativ sau zero și valoarea sa necesită calcularea unei limite. Cazul $|z|\geq 1$ ${\ displaystyle | z | \ geq 1}$ ${\ displaystyle | z | \ geq 1}$ Poate fi analizat folosind „ extensia analitică a funcției. Unele cazuri speciale ale acestei caracteristici sunt

T(2,a,x)={\frac {\Gamma (a,x)}{x}}

{\ displaystyle T (2, a, x) = {\ frac {\ Gamma (a, x)} {x}}}

{\ displaystyle T (2, a, x) = {\ frac {\ Gamma (a, x)} {x}}}

Și

x~T(3,1,x)=E_{1}(x)

{\ displaystyle x ~ T (3,1, x) = E_ {1} (x)}

{\ displaystyle x ~ T (3,1, x) = E_ {1} (x)}

unde este $E_{1}(x)$ ${\ displaystyle E_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle E_ {1} (x)}$ Este funcția integrală exponențială . Aceste derivate și funcția T (m, a, x) pot fi utilizate pentru a oferi soluții exacte la un număr de integrale prin derivarea repetată a definiției integrale a funcției gamma superioare și incomplete. De exemplu,

\int _{x}^{\infty }t^{a-1}\ln ^{m}(t)~e^{-t}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial a^{m}}}\int _{x}^{\infty }t^{a-1}e^{-t}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial a^{m}}}\Gamma (a,x)

{\ displaystyle \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {a-1} \ ln ^ {m} (t) ~ e ^ {- t} dt = {\ frac {\ partial ^ {m}} {\ partial a ^ {m}}} \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {a-1} e ^ {- t} dt = {\ frac {\ partial ^ {m}} {\ partial a ^ {m}}} \ Gamma (a, x)}

{\ displaystyle \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {a-1} \ ln ^ {m} (t) ~ e ^ {- t} dt = {\ frac {\ partial ^ {m}} {\ partial a ^ {m}}} \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {a-1} e ^ {- t} dt = {\ frac {\ partial ^ {m}} {\ partial a ^ {m}}} \ Gamma (a, x)}

Această formulă poate fi extinsă sau generalizată în continuare la o clasă mare de transformate Laplace și Mellin . Atunci când este combinat cu un sistem algebric computerizat , studiul funcțiilor speciale oferă un instrument puternic pentru soluția integralelor definite, în special a celor utilizate în aplicații de inginerie ^[2] (a se vedea și integrarea simbolică pentru mai multe detalii).

Notă

^ KO Geddes, ML Glasser, RA Moore și TC Scott, Evaluarea claselor de integrale definite care implică funcții elementare prin diferențierea funcțiilor speciale, AAECC (Algebra aplicabilă în inginerie, comunicare și calcul), vol. 1, (1990), pp.149-165, [1]
^ KO Geddes și TC Scott, Rețete pentru clase de integrale definite care implică exponențiale și logaritmi , Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (MIT 12 iunie 1989), editat de E. Kaltofen și SM Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), pp. 192-201. [2]

Bibliografie

M. Abramowitz și I. Stegun Manual de funcții matematice (Dover, New York, 1972) p. 260
N. Nielsen Handbuch der theorie der Gammafunktionen (Teubner, Leipzig, 1906) (Capitolul II și Capitolul XV).

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pentru a funcționa într-un interval incomplet

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] KO Geddes, ML Glasser, RA Moore și TC Scott, Evaluarea claselor de integrale definite care implică funcții elementare prin diferențierea funcțiilor speciale, AAECC (Algebra aplicabilă în inginerie, comunicare și calcul), vol. 1, (1990), pp.149-165, [1]

[2] KO Geddes și TC Scott, Rețete pentru clase de integrale definite care implică exponențiale și logaritmi , Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (MIT 12 iunie 1989), editat de E. Kaltofen și SM Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), pp. 192-201. [2]

[1]

[2]