Transformarea Laplace

În analiza funcțională , transformata Laplace - numele se datorează lui Pierre Simon Laplace - este un operator funcțional liniar care asociază o funcție a unei variabile complexe cu o funcție a unei variabile reale . Se încadrează în categoria transformărilor integrale .

Descriere

Definiție

O funcție este dată $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ definit pe numere reale . Transformata Laplace este funcția definită pe setul continuu $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ dat de

{\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s){\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\text{e}}^{-st}f(t)\,{\text{d}}t

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (s) {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ text {e}} ^ {- st} f (t) \, {\ text {d}} t}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (s) {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ text {e}} ^ {- st} f (t) \, {\ text {d}} t}

fiind ${\text{e}}$ ${\ displaystyle {\ text {e}}}$ ${\ displaystyle {\ text {e}}}$ numărul lui Napier (sau Euler) și parametrul $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ un număr complex

s{\stackrel {\text{def}}{=}}\sigma +{\text{i}}\omega

{\ displaystyle s {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ sigma + {\ text {i}} \ omega}

{\ displaystyle s {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ sigma + {\ text {i}} \ omega}

cu $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ Și $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ numere reale e ${\text{i}}$ ${\ displaystyle {\ text {i}}}$ ${\ displaystyle {\ text {i}}}$ unitatea imaginară. Uneori transformarea este indicată, mai puțin strict, în formă ${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {f (t) \ right \}}$ ${\ mathcal {L}} \ left \ {f (t) \ right \}$ .

Putem defini transformata Laplace a unei măsuri Borel finite $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ prin integrala Lebesgue :

({\mathcal {L}}\mu )(s){\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{[0,+\infty )}{\text{e}}^{-st}\,{\text{d}}\mu (t)

{\ displaystyle ({\ mathcal {L}} \ mu) (s) {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ int _ {[0, + \ infty)} {\ text {e}} ^ {- st} \, {\ text {d}} \ mu (t)}

{\ displaystyle ({\ mathcal {L}} \ mu) (s) {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ int _ {[0, + \ infty)} {\ text {e}} ^ {- st} \, {\ text {d}} \ mu (t)}

Un caz special important apare dacă $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este o măsură a probabilității .

Transformarea Laplace unilaterală este definită pentru $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ $t> 0$ ca:

{\mathcal {L}}_{u}\left\{f\right\}(s){\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{0}^{+\infty }{\text{e}}^{-st}f(t)\,{\text{d}}t

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {u} \ left \ {f \ right \} (s) {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ text {e}} ^ {- st} f (t) \, {\ text {d}} t}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {u} \ left \ {f \ right \} (s) {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ text {e}} ^ {- st} f (t) \, {\ text {d}} t}

Transformarea Laplace există de obicei pentru toate numerele reale $\mathrm {Re} (s)>a$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (s)> a}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (s)> a}$ , unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este o constantă (numită abscisă de convergență ) care depinde de funcția originală și care constituie regiunea de convergență .

Este o transformare integrală care are numeroase proprietăți, care o fac utilă pentru analiza sistemelor dinamice liniare . Cel mai semnificativ avantaj este că integrala și derivata unei funcții devin o înmulțire și, respectiv, o divizare prin variabila complexă, similar modului în care logaritmii modifică înmulțirea numerelor în adunarea lor. Vă permite să transformați ecuații integrale și ecuații diferențiale în ecuații polinomiale , care sunt mai imediate de rezolvat. Răspunsul (ieșirea) unui sistem dinamic liniar poate fi, de asemenea, calculat ca produs de convoluție al răspunsului său de impuls unitar cu semnalul de intrare. Dezvoltând acest calcul în spațiul Laplace, convoluția devine o multiplicare , ceea ce simplifică adesea problema. În special în ingineria sistemelor, transformata Laplace a răspunsului impulsiv al sistemului este funcția sa de transfer care caracterizează comportamentul sistemului în cauză:

H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}\{h(t)\}\ =\ \int _{-\infty }^{+\infty }h(t){\text{e}}^{-st}\,{\text{d}}t

{\ displaystyle H (s) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ {\ mathcal {L}} \ {h (t) \} \ = \ \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} h (t) {\ text {e}} ^ {- st} \, {\ text {d}} t}

{\ displaystyle H (s) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ {\ mathcal {L}} \ {h (t) \} \ = \ \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} h (t) {\ text {e}} ^ {- st} \, {\ text {d}} t}

Teoria probabilității

În teoria probabilității, transformata Laplace este definită ca o valoare așteptată . De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o variabilă aleatorie cu funcție de densitate de probabilitate $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , apoi transformarea lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este dat de valoarea de așteptare:

({\mathcal {L}}f)(s)=E\left[{\text{e}}^{-sX}\right]

{\ displaystyle ({\ mathcal {L}} f) (s) = E \ left [{\ text {e}} ^ {- sX} \ right]}

{\ displaystyle ({\ mathcal {L}} f) (s) = E \ left [{\ text {e}} ^ {- sX} \ right]}

Utilizând greșit notația , el se referă la această integrală ca transformare Laplace a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ același și înlocuitor $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ cu $-t$ ${\ displaystyle -t}$ $-t$ avem funcția generatoare a momentelor de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Un interes deosebit este practica obținerii funcției de distribuție a probabilității cumulative a unei variabile aleatorii $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ prin transformarea Laplace după cum urmează:

F_{X}(x)={\mathcal {L}}_{s}^{-1}\left\lbrace {\frac {E\left[{\text{e}}^{-sX}\right]}{s}}\right\rbrace (x)={\mathcal {L}}_{s}^{-1}\left\lbrace {\frac {\left({\mathcal {L}}f\right)(s)}{s}}\right\rbrace (x)

{\ displaystyle F_ {X} (x) = {\ mathcal {L}} _ {s} ^ {- 1} \ left \ lbrace {\ frac {E \ left [{\ text {e}} ^ {- sX } \ right]} {s}} \ right \ rbrace (x) = {\ mathcal {L}} _ {s} ^ {- 1} \ left \ lbrace {\ frac {\ left ({\ mathcal {L} } f \ right) (s)} {s}} \ right \ rbrace (x)}

{\ displaystyle F_ {X} (x) = {\ mathcal {L}} _ {s} ^ {- 1} \ left \ lbrace {\ frac {E \ left [{\ text {e}} ^ {- sX } \ right]} {s}} \ right \ rbrace (x) = {\ mathcal {L}} _ {s} ^ {- 1} \ left \ lbrace {\ frac {\ left ({\ mathcal {L} } f \ right) (s)} {s}} \ right \ rbrace (x)}

Transformarea inversă

Același subiect în detaliu: transformarea inversă Laplace .

Inversa transformatei Laplace este dată de integralul lui Bromwich , numit și integralul Fourier-Mellin sau formula inversă a lui Mellin , o integrală complexă dată de

f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi {\text{i}}}}\,\lim _{T\to {+\infty }}\int _{\gamma -{\text{i}}T}^{\gamma +{\text{i}}T}{\text{e}}^{st}F(s)\,{\text{d}}s

{\ displaystyle f (t) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ {F (s) \} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ text {i}}}} \, \ lim _ {T \ to {+ \ infty}} \ int _ {\ gamma - {\ text {i}} T} ^ {\ gamma + {\ text {i}} T} {\ text {e}} ^ {st} F (s) \, {\ text {d}} s}

{\ displaystyle f (t) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ {F (s) \} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ text {i}}}} \, \ lim _ {T \ to {+ \ infty}} \ int _ {\ gamma - {\ text {i}} T} ^ {\ gamma + {\ text {i}} T} {\ text {e}} ^ {st} F (s) \, {\ text {d}} s}

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este un număr real astfel încât granița căii de integrare este conținută în regiunea de convergență a $F(s)$ ${\ displaystyle F (s)}$ $F (e)$ .

Dovedește că dacă o funcție $G(s)$ ${\ displaystyle G (s)}$ ${\ displaystyle G (s)}$ are transformarea inversă $g(t)$ ${\ displaystyle g (t)}$ $g (t)$ , adică $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este o funcție continuă bucată, care îndeplinește condiția

{\mathcal {L}}\{g\}(s)=G(s)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {g \} (s) = G (s)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {g \} (s) = G (s)}

asa de $g(t)$ ${\ displaystyle g (t)}$ $g (t)$ este determinată în mod unic.

Regiunea de convergență

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție integrabilă local , sau mai general o măsură Borel suficient de regulată, apoi transformata Laplace $F(s)$ ${\ displaystyle F (s)}$ $F (e)$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ converge dacă există limita

\lim _{R\to {+\infty }}\int _{0}^{R}f(t){\text{e}}^{-ts}\,{\text{d}}t

{\ displaystyle \ lim _ {R \ to {+ \ infty}} \ int _ {0} ^ {R} f (t) {\ text {e}} ^ {- ts} \, {\ text {d} } t}

{\ displaystyle \ lim _ {R \ to {+ \ infty}} \ int _ {0} ^ {R} f (t) {\ text {e}} ^ {- ts} \, {\ text {d} } t}

și converge absolut dacă integrala Lebesgue există

\int _{0}^{+\infty }|f(t){\text{e}}^{-ts}|\,{\text{d}}t

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} | f (t) {\ text {e}} ^ {- ts} | \, {\ text {d}} t}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} | f (t) {\ text {e}} ^ {- ts} | \, {\ text {d}} t}

Dacă apare doar convergența de primul tip, transforma Laplace converge condiționat.

Din teorema convergenței dominată rezultă că valorile astfel pentru care $F(s)$ ${\ displaystyle F (s)}$ $F (e)$ convergentele absolut sunt de așa natură încât $\Re (s)>a$ ${\ displaystyle \ Re (s)> a}$ $\ Re (s)> a$ sau $\Re (s)\geq a$ ${\ displaystyle \ Re (s) \ geq a}$ $\ Re (s) \ geq a$ , unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ aparține liniei reale extinse. Această constantă se numește abscisă a convergenței absolute și depinde de comportamentul de creștere al funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . În regiunea convergenței absolute transformarea este o funcție analitică .

Ansamblul valorilor în care $F(s)$ ${\ displaystyle F (s)}$ $F (e)$ converge, condiționat sau absolut, este regiunea de convergență (ROC). Dacă transformarea Laplace converge condiționat în $s=s_{0}$ ${\ displaystyle s = s_ {0}}$ $s = s_ {0}$ apoi converge pentru fiecare $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ astfel încât $\Re (s)>\Re (s_{0})$ ${\ displaystyle \ Re (s)> \ Re (s_ {0})}$ $\ Re (s)> \ Re (s_ {0})$ și, în consecință, regiunea de convergență este jumătatea planului $\Re (s)>a$ ${\ displaystyle \ Re (s)> a}$ $\ Re (s)> a$ și în cele din urmă punctele de pe linia de frontieră $\Re (s)=a$ ${\ displaystyle \ Re (s) = a}$ $\ Re (s) = a$ . În regiunea de convergență $\Re (s)>\Re (s_{0})$ ${\ displaystyle \ Re (s)> \ Re (s_ {0})}$ $\ Re (s)> \ Re (s_ {0})$ transformata Laplace poate fi exprimată prin integrarea prin părți:

F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{+\infty }{\text{e}}^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,{\text{d}}t\qquad \beta (u)=\int _{0}^{u}{\text{e}}^{-s_{0}t}f(t)\,{\text{d}}t

{\ displaystyle F (s) = (s-s_ {0}) \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ text {e}} ^ {- (s-s_ {0}) t} \ beta (t) \, {\ text {d}} t \ qquad \ beta (u) = \ int _ {0} ^ {u} {\ text {e}} ^ {- s_ {0} t} f (t ) \, {\ text {d}} t}

{\ displaystyle F (s) = (s-s_ {0}) \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ text {e}} ^ {- (s-s_ {0}) t} \ beta (t) \, {\ text {d}} t \ qquad \ beta (u) = \ int _ {0} ^ {u} {\ text {e}} ^ {- s_ {0} t} f (t ) \, {\ text {d}} t}

evidențiind astfel faptul că în regiunea de convergență funcția $F(s)$ ${\ displaystyle F (s)}$ $F (e)$ poate fi exprimată ca transformarea Laplace absolut convergentă a unei alte funcții și, în special, este analitică.

Proprietate

Liniaritate :

{\mathcal {L}}{\Biggl [}\sum _{i=1}^{n}K_{i}\cdot f_{i}(t){\Biggr ]}=\sum _{i=1}^{n}K_{i}\cdot {\mathcal {L}}{\bigl [}f_{i}(t){\bigr ]}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} {\ Biggl [} \ sum _ {i = 1} ^ {n} K_ {i} \ cdot f_ {i} (t) {\ Biggr]} = \ sum _ { i = 1} ^ {n} K_ {i} \ cdot {\ mathcal {L}} {\ bigl [} f_ {i} (t) {\ bigr]}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} {\ Biggl [} \ sum _ {i = 1} ^ {n} K_ {i} \ cdot f_ {i} (t) {\ Biggr]} = \ sum _ { i = 1} ^ {n} K_ {i} \ cdot {\ mathcal {L}} {\ bigl [} f_ {i} (t) {\ bigr]}}

Derivare :

{\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0^{-})\qquad {\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0^{-})-f'(0^{-})

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f '\} = s {\ mathcal {L}} \ {f \} - f (0 ^ {-}) \ qquad {\ mathcal {L}} \ { f '' \} = s ^ {2} {\ mathcal {L}} \ {f \} - sf (0 ^ {-}) - f '(0 ^ {-})}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f '\} = s {\ mathcal {L}} \ {f \} - f (0 ^ {-}) \ qquad {\ mathcal {L}} \ { f '' \} = s ^ {2} {\ mathcal {L}} \ {f \} - sf (0 ^ {-}) - f '(0 ^ {-})}

{\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})=s^{n}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}{\frac {d^{k-1}f(0)}{dt^{k-1}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {f ^ {(n)} \ right \} = s ^ {n} {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} - s ^ {n-1} f (0 ^ {-}) - \ cdots -f ^ {(n-1)} (0 ^ {-}) = s ^ {n} {\ mathcal {L}} \ left \ { f \ right \} - \ sum _ {k = 1} ^ {n} s ^ {nk} {\ frac {d ^ {k-1} f (0)} {dt ^ {k-1}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {f ^ {(n)} \ right \} = s ^ {n} {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} - s ^ {n-1} f (0 ^ {-}) - \ cdots -f ^ {(n-1)} (0 ^ {-}) = s ^ {n} {\ mathcal {L}} \ left \ { f \ right \} - \ sum _ {k = 1} ^ {n} s ^ {nk} {\ frac {d ^ {k-1} f (0)} {dt ^ {k-1}}}}

{\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-{\mathcal {L}}\left\{f\right\}'(s)\qquad {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }{\mathcal {L}}\left\{f\right\}(\sigma )\,{\text{d}}\sigma

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {tf (t) \} = - {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} '(s) \ qquad {\ mathcal {L}} \ left \ {{\ frac {f (t)} {t}} \ right \} = \ int _ {s} ^ {\ infty} {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (\ sigma) \, {\ text {d}} \ sigma}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {tf (t) \} = - {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} '(s) \ qquad {\ mathcal {L}} \ left \ {{\ frac {f (t)} {t}} \ right \} = \ int _ {s} ^ {\ infty} {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (\ sigma) \, {\ text {d}} \ sigma}

Integrare :

{\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,{\text{d}}\tau \right\}={1 \over s}{\mathcal {L}}\{f(t)\}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \, {\ text {d}} \ tau \ right \} = {1 \ over s } {\ mathcal {L}} \ {f (t) \}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \, {\ text {d}} \ tau \ right \} = {1 \ over s } {\ mathcal {L}} \ {f (t) \}}

Traducere complexă:

{\mathcal {L}}\left\{{\text{e}}^{at}f(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s-a)\qquad {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s-a)\right\}={\text{e}}^{at}f(t)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {{\ text {e}} ^ {at} f (t) \ right \} = {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (sa) \ qquad {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left \ {{\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (sa) \ right \} = {\ text {e }} ^ {la} f (t)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {{\ text {e}} ^ {at} f (t) \ right \} = {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (sa) \ qquad {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left \ {{\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (sa) \ right \} = {\ text {e }} ^ {la} f (t)}

Traducere în timp:

{\mathcal {L}}\left\{f(t-a)\Theta (t-a)\right\}={\text{e}}^{-as}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)\qquad {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\text{e}}^{-as}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}\right\}=f(t-a)\Theta (t-a)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {f (ta) \ Theta (ta) \ right \} = {\ text {e}} ^ {- ca} {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (s) \ qquad {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left \ {{\ text {e}} ^ {- as} {\ mathcal {L}} \ left \ { f \ right \} \ right \} = f (ta) \ Theta (ta)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {f (ta) \ Theta (ta) \ right \} = {\ text {e}} ^ {- ca} {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (s) \ qquad {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left \ {{\ text {e}} ^ {- as} {\ mathcal {L}} \ left \ { f \ right \} \ right \} = f (ta) \ Theta (ta)}

unde este

\Theta (t)

{\ displaystyle \ Theta (t)}

\ Theta (t)

este pasul Heaviside .

Înmulțirea cu $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -a putere:

{\mathcal {(}}-1)^{n}\ {\mathcal {L}}\{\,t^{n}f(t)\}={\frac {{\text{d}}^{n}}{{\text{d}}s^{n}}}[{\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)]

{\ displaystyle {\ mathcal {(}} - 1) ^ {n} \ {\ mathcal {L}} \ {\, t ^ {n} f (t) \} = {\ frac {{\ text {d }} ^ {n}} {{\ text {d}} s ^ {n}}} [{\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (s)]}

{\ displaystyle {\ mathcal {(}} - 1) ^ {n} \ {\ mathcal {L}} \ {\, t ^ {n} f (t) \} = {\ frac {{\ text {d }} ^ {n}} {{\ text {d}} s ^ {n}}} [{\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (s)]}

Produs de convoluție :

{\mathcal {L}}\{f*g\}={\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f * g \} = {\ mathcal {L}} \ {f \} {\ mathcal {L}} \ {g \}}

{\ mathcal {L}} \ {f * g \} = {\ mathcal {L}} \ {f \} {\ mathcal {L}} \ {g \}

Funcția perioadei periodice $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ :

{\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-{\text{e}}^{-ps}}\int _{0}^{p}{\text{e}}^{-st}f(t)\,{\text{d}}t

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} = {1 \ peste 1 - {\ text {e}} ^ {- ps}} \ int _ {0} ^ {p} {\ text {e }} ^ {- st} f (t) \, {\ text {d}} t}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} = {1 \ peste 1 - {\ text {e}} ^ {- ps}} \ int _ {0} ^ {p} {\ text {e }} ^ {- st} f (t) \, {\ text {d}} t}

Valoarea inițială și teorema valorii finale

Același subiect în detaliu: Teorema limitelor .

Pot fi enunțate două teoreme care permit să se cunoască valoarea inițială și valoarea finală a funcției începând de la transformarea ei. Se păstrează pentru funcții de clasă $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ , cauzal (adică nul pentru $t<0$ ${\ displaystyle t <0}$ $t <0$ ) și cu abscisă de convergență $a<+\infty$ ${\ displaystyle a <+ \ infty}$ ${\ displaystyle a <+ \ infty}$ . Teorema valorii inițiale afirmă că:

f(0)=\lim _{t\to 0}f(t)=\lim _{s\to \infty }s\,\,{\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)

{\ displaystyle f (0) = \ lim _ {t \ to 0} f (t) = \ lim _ {s \ to \ infty} s \, \, {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ dreapta \} (s)}

{\ displaystyle f (0) = \ lim _ {t \ to 0} f (t) = \ lim _ {s \ to \ infty} s \, \, {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ dreapta \} (s)}

în timp ce teorema valorii finale stabilește că dacă este finită și există $f(+\infty )$ ${\ displaystyle f (+ \ infty)}$ ${\ displaystyle f (+ \ infty)}$ , asa de:

f(+\infty )=\lim _{t\to +\infty }f(t)=\lim _{s\to 0}s\,\,{\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)

{\ displaystyle f (+ \ infty) = \ lim _ {t \ to + \ infty} f (t) = \ lim _ {s \ to 0} s \, \, {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (s)}

{\ displaystyle f (+ \ infty) = \ lim _ {t \ to + \ infty} f (t) = \ lim _ {s \ to 0} s \, \, {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (s)}

Am transformat câteva funcții notabile

Delta Dirac :

{\mathcal {L}}\{\delta (t)\}=1

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ delta (t) \} = 1}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ delta (t) \} = 1}

Funcția pasului Heaviside :

{\mathcal {L}}\{\Theta (t)\}={\frac {1}{s}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ Theta (t) \} = {\ frac {1} {s}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ Theta (t) \} = {\ frac {1} {s}}}

Funcția de rampă :

{\mathcal {L}}\{R(t)\}={\frac {1}{s^{2}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {R (t) \} = {\ frac {1} {s ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {R (t) \} = {\ frac {1} {s ^ {2}}}}

Funcție exponențială :

{\mathcal {L}}\{{{\text{e}}^{\alpha t}}\}={\frac {1}{s-\alpha }}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {{{\ text {e}} ^ {\ alpha t}} \} = {\ frac {1} {s- \ alpha}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {{{\ text {e}} ^ {\ alpha t}} \} = {\ frac {1} {s- \ alpha}}}

Sân :

{\mathcal {L}}\{\mathrm {sin} (\alpha t)\}={\frac {\alpha }{s^{2}+\alpha ^{2}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ mathrm {sin} (\ alpha t) \} = {\ frac {\ alpha} {s ^ {2} + \ alpha ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ mathrm {sin} (\ alpha t) \} = {\ frac {\ alpha} {s ^ {2} + \ alpha ^ {2}}}}

{\mathcal {L}}\{{{\text{e}}^{\beta t}\sin(\alpha t)}\}={\frac {\alpha }{(s-\beta )^{2}+\alpha ^{2}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {{{\ text {e}} ^ {\ beta t} \ sin (\ alpha t)} \} = {\ frac {\ alpha} {(s- \ beta ) ^ {2} + \ alpha ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {{{\ text {e}} ^ {\ beta t} \ sin (\ alpha t)} \} = {\ frac {\ alpha} {(s- \ beta ) ^ {2} + \ alpha ^ {2}}}}

Cosinus :

{\mathcal {L}}\{\cos(\alpha t)\}={\frac {s}{s^{2}+\alpha ^{2}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ cos (\ alpha t) \} = {\ frac {s} {s ^ {2} + \ alpha ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ cos (\ alpha t) \} = {\ frac {s} {s ^ {2} + \ alpha ^ {2}}}}

{\mathcal {L}}\{{{\text{e}}^{\beta t}\cos(\alpha t)}\}={\frac {s-\beta }{(s-\beta )^{2}+\alpha ^{2}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {{{\ text {e}} ^ {\ beta t} \ cos (\ alpha t)} \} = {\ frac {s- \ beta} {(s- \ beta) ^ {2} + \ alpha ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {{{\ text {e}} ^ {\ beta t} \ cos (\ alpha t)} \} = {\ frac {s- \ beta} {(s- \ beta) ^ {2} + \ alpha ^ {2}}}}

Sinus hiperbolic :

{\mathcal {L}}\{\sinh(\alpha t)\}={\frac {\alpha }{s^{2}-\alpha ^{2}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ sinh (\ alpha t) \} = {\ frac {\ alpha} {s ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ sinh (\ alpha t) \} = {\ frac {\ alpha} {s ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}

Cosinus hiperbolic :

{\mathcal {L}}\{\cosh(\alpha t)\}={\frac {s}{s^{2}-\alpha ^{2}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ cosh (\ alpha t) \} = {\ frac {s} {s ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ cosh (\ alpha t) \} = {\ frac {s} {s ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}

Logaritm natural :

{\mathcal {L}}\{\ln(t)\}=-{\frac {\ln(s)+\gamma }{s}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ ln (t) \} = - {\ frac {\ ln (s) + \ gamma} {s}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ ln (t) \} = - {\ frac {\ ln (s) + \ gamma} {s}}}

Rădăcină $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ -alea (numită gama Euler ):

{\mathcal {L}}\{{\sqrt[{\alpha }]{t}}\}=s^{-{\frac {\alpha +1}{\alpha }}}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {{\ sqrt [{\ alpha}] {t}} \} = s ^ {- {\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}}} \ cdot \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {\ alpha}} \ right)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {{\ sqrt [{\ alpha}] {t}} \} = s ^ {- {\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}}} \ cdot \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {\ alpha}} \ right)}

Funcții obișnuite Bessel :

{\mathcal {L}}\{J_{\alpha }(t)\}={\frac {\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{-\alpha }}{\sqrt {1+s^{2}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {J _ {\ alpha} (t) \} = {\ frac {\ left (s + {\ sqrt {1 + s ^ {2}}} \ right) ^ {- \ alpha}} {\ sqrt {1 + s ^ {2}}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {J _ {\ alpha} (t) \} = {\ frac {\ left (s + {\ sqrt {1 + s ^ {2}}} \ right) ^ {- \ alpha}} {\ sqrt {1 + s ^ {2}}}}}

Funcții Bessel modificate:

{\mathcal {L}}\{I_{\alpha }(t)\}={\frac {\left(s+{\sqrt {-1+s^{2}}}\right)^{-\alpha }}{\sqrt {-1+s^{2}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {I _ {\ alpha} (t) \} = {\ frac {\ left (s + {\ sqrt {-1 + s ^ {2}}} \ right) ^ {- \ alpha}} {\ sqrt {-1 + s ^ {2}}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {I _ {\ alpha} (t) \} = {\ frac {\ left (s + {\ sqrt {-1 + s ^ {2}}} \ right) ^ {- \ alpha}} {\ sqrt {-1 + s ^ {2}}}}}

Funcția de eroare :

{\mathcal {L}}\{\operatorname {erf} (t)\}={{\text{e}}^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ operatorname {erf} (t) \} = {{\ text {e}} ^ {s ^ {2} / 4} \ operatorname {erfc} \ left (s / 2 \ dreapta) \ peste s}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ operatorname {erf} (t) \} = {{\ text {e}} ^ {s ^ {2} / 4} \ operatorname {erfc} \ left (s / 2 \ dreapta) \ peste s}}

Relația cu celelalte se transformă

Laplace - Stieltjes transform

Același subiect în detaliu: transformarea Laplace-Stieltjes .

Transformarea Laplace-Stieltjes a unei funcții cu variație mărginită $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}$ este integralul Lebesgue-Stieltjes dat de:

\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{+\infty }{\text{e}}^{-st}{\text{d}}g(t)

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {L}} ^ {*} g \} (s) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ text {e}} ^ {- st} {\ text {d}} g (t)}

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {L}} ^ {*} g \} (s) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ text {e}} ^ {- st} {\ text {d}} g (t)}

De sine $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este primitivul din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ :

g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,{\text{d}}t

{\ displaystyle g (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (t) \, {\ text {d}} t}

{\ displaystyle g (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (t) \, {\ text {d}} t}

apoi transformarea Laplace - Stieltjes a $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ coincide cu transformata Laplace a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . În general, transformata Laplace - Stieltjes este transformata Laplace a măsurii Stieltjes asociată cu $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ .

Transformarea Mellin

Același subiect în detaliu: transformarea lui Mellin .

Transformata Mellin și inversul acesteia sunt obținute din transformata Laplace cu o schimbare de coordonate. Dacă în transformarea Mellin:

G(s)={\mathcal {M}}\left\{g(\theta )\right\}=\int _{0}^{+\infty }\theta ^{s}g(\theta ){\frac {d\theta }{\theta }}

{\ displaystyle G (s) = {\ mathcal {M}} \ left \ {g (\ theta) \ right \} = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ theta ^ {s} g (\ theta) {\ frac {d \ theta} {\ theta}}}

{\ displaystyle G (s) = {\ mathcal {M}} \ left \ {g (\ theta) \ right \} = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ theta ^ {s} g (\ theta) {\ frac {d \ theta} {\ theta}}}

apare $\theta ={\text{e}}^{-t}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ text {e}} ^ {- t}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ text {e}} ^ {- t}}$ , avem transformata Laplace.

Transformată Fourier

Același subiect în detaliu: Transformata Fourier .

Transformata Fourier este echivalentă cu evaluarea transformatei Laplace bilaterale cu un argument imaginar $s={\text{i}}\omega ={\text{i}}2\pi f$ ${\ displaystyle s = {\ text {i}} \ omega = {\ text {i}} 2 \ pi f}$ ${\ displaystyle s = {\ text {i}} \ omega = {\ text {i}} 2 \ pi f}$ :

{\hat {f}}(\omega )={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s={\text{i}}\omega }=F(s)|_{s={\text{i}}\omega }=\int _{-\infty }^{+\infty }{\text{e}}^{-{\text{i}}\omega t}f(t)\,{\text{d}}t

{\ displaystyle {\ hat {f}} (\ omega) = {\ mathcal {F}} \ left \ {f (t) \ right \} = {\ mathcal {L}} \ left \ {f (t) \ right \} | _ {s = {\ text {i}} \ omega} = F (s) | _ {s = {\ text {i}} \ omega} = \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} {\ text {e}} ^ {- {\ text {i}} \ omega t} f (t) \, {\ text {d}} t}

{\ displaystyle {\ hat {f}} (\ omega) = {\ mathcal {F}} \ left \ {f (t) \ right \} = {\ mathcal {L}} \ left \ {f (t) \ right \} | _ {s = {\ text {i}} \ omega} = F (s) | _ {s = {\ text {i}} \ omega} = \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} {\ text {e}} ^ {- {\ text {i}} \ omega t} f (t) \, {\ text {d}} t}

iar această definiție este valabilă dacă și numai dacă regiunea de convergență a $F(s)$ ${\ displaystyle F (s)}$ $F (e)$ conține axa imaginară. De asemenea, necesită prezența factorului $1/{2\pi }$ ${\ displaystyle 1 / {2 \ pi}}$ $1 / {2 \ pi}$ în transforma Fourier inversă. O relație de genul:

\lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +{\text{i}}\omega )={\hat {f}}(\omega )

{\ displaystyle \ lim _ {\ sigma \ to 0 ^ {+}} F (\ sigma + {\ text {i}} \ omega) = {\ hat {f}} (\ omega)}

{\ displaystyle \ lim _ {\ sigma \ to 0 ^ {+}} F (\ sigma + {\ text {i}} \ omega) = {\ hat {f}} (\ omega)}

totuși, acesta se menține în condiții mai puțin restrictive, iar condițiile generale referitoare la limita transformării Laplace a unei funcții de margine la transformata Fourier sunt date de teorema Paley-Wiener .

Zeta s-a transformat

Același subiect în detaliu: transformarea Zeta .

Transformarea zeta unilaterală este transformata Laplace a unui semnal eșantionat ideal cu substituția:

z={\text{e}}^{sT}

{\ displaystyle z = {\ text {e}} ^ {sT}}

{\ displaystyle z = {\ text {e}} ^ {sT}}

unde este $T=1/f_{s}$ ${\ displaystyle T = 1 / f_ {s}}$ ${\ displaystyle T = 1 / f_ {s}}$ este perioada de eșantionare, cu $f_{s}$ ${\ displaystyle f_ {s}}$ $f_s$ rata de eșantionare (măsurată în eșantioane pe secundă sau în hertz ).

Este

\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{+\infty }\delta (t-nT)

{\ displaystyle \ Delta _ {T} (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ delta (t-nT)}

{\ displaystyle \ Delta _ {T} (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ delta (t-nT)}

un tren de impulsuri și fie el

{\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}x(t)\Delta _{T}(t)\\&=x(t)\sum _{n=0}^{+\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{+\infty }x(nT)\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{+\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {q} (t) & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} x (t) \ Delta _ {T} (t) \\ & = x ( t) \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ delta (t-nT) \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} x (nT) \ delta (t- nT) \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} x [n] \ delta (t-nT) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {q} (t) & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} x (t) \ Delta _ {T} (t) \\ & = x ( t) \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ delta (t-nT) \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} x (nT) \ delta (t- nT) \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} x [n] \ delta (t-nT) \ end {align}}}

reprezentarea în timp continuă a semnalului $x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}x(nT)$ ${\ displaystyle x [n] {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} x (nT)}$ ${\ displaystyle x [n] {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} x (nT)}$ obținute prin eșantionare $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ . Transformarea Laplace a $x_{q}(t)$ ${\ displaystyle x_ {q} (t)}$ ${\ displaystyle x_ {q} (t)}$ este dat de:

{\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t){\text{e}}^{-st}\,{\text{d}}t\\&=\int _{0^{-}}^{+\infty }\sum _{n=0}^{+\infty }x[n]\delta (t-nT){\text{e}}^{-st}\,{\text{d}}t\\&=\sum _{n=0}^{+\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{+\infty }\delta (t-nT){\text{e}}^{-st}\,{\text{d}}t\\&=\sum _{n=0}^{+\infty }x[n]{\text{e}}^{-nsT}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} X_ {q} (s) & = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} x_ {q} (t) {\ text {e}} ^ {- st} \, {\ text {d}} t \\ & = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {+ \ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} x [n] \ delta (t-nT) {\ text {e}} ^ {- st} \, {\ text {d}} t \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} x [n ] \ int _ {0 ^ {-}} ^ {+ \ infty} \ delta (t-nT) {\ text {e}} ^ {- st} \, {\ text {d}} t \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} x [n] {\ text {e}} ^ {- nsT} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} X_ {q} (s) & = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} x_ {q} (t) {\ text {e}} ^ {- st} \, {\ text {d}} t \\ & = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {+ \ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} x [n] \ delta (t-nT) {\ text {e}} ^ {- st} \, {\ text {d}} t \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} x [n ] \ int _ {0 ^ {-}} ^ {+ \ infty} \ delta (t-nT) {\ text {e}} ^ {- st} \, {\ text {d}} t \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} x [n] {\ text {e}} ^ {- nsT} \ end {align}}}

Aceasta este definiția transformării zeta unilaterale a funcției timp discret $x[n]$ ${\ displaystyle x [n]}$ ${\ displaystyle x [n]}$ , adică

X(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }x[n]z^{-n}

{\ displaystyle X (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} x [n] z ^ {- n}}

{\ displaystyle X (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} x [n] z ^ {- n}}

cu înlocuire $z\leftarrow {\text{e}}^{sT}$ ${\ displaystyle z \ leftarrow {\ text {e}} ^ {sT}}$ ${\ displaystyle z \ leftarrow {\ text {e}} ^ {sT}}$ . Prin compararea ultimelor două relații, se obține relația dintre transformarea zeta unilaterală și transformata Laplace a semnalului eșantionat

X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z={\text{e}}^{sT}}

{\ displaystyle X_ {q} (s) = X (z) {\ Big |} _ {z = {\ text {e}} ^ {sT}}}

{\ displaystyle X_ {q} (s) = X (z) {\ Big |} _ {z = {\ text {e}} ^ {sT}}}

Aplicarea la ecuații diferențiale

Același subiect în detaliu: ecuația diferențială liniară .

În cadrul ecuațiilor diferențiale liniare cu valori inițiale date, proprietățile transformatei Laplace, în special liniaritatea și formula pentru derivatele funcțiilor , pot fi utilizate ca o soluție puternică. Având în vedere proprietatea transformării:

{\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)\qquad {\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f '\} = s {\ mathcal {L}} \ {f \} - f (0) \ qquad {\ mathcal {L}} \ {f' '\ } = s ^ {2} {\ mathcal {L}} \ {f \} - sf (0) -f '(0)}

{\ mathcal {L}} \ {f '\} = s {\ mathcal {L}} \ {f \} - f (0) \ qquad {\ mathcal {L}} \ {f' '\} = s ^ {2} {\ mathcal {L}} \ {f \} - sf (0) -f '(0)

se poate demonstra cu ușurință prin inducție că:

{\mathcal {L}}\{f^{(n)}\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-\sum _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f ^ {(n)} \} = s ^ {n} {\ mathcal {L}} \ {f \} - \ sum _ {i = 1} ^ { n} s ^ {ni} f ^ {(i-1)} (0)}

{\ mathcal {L}} \ {f ^ {{(n)}} \} = s ^ {n} {\ mathcal {L}} \ {f \} - \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} s ^ {{ni}} f ^ {{(i-1)}} (0)

Acum ia în considerare următoarea ecuație diferențială:

\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=\phi (t)

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} f ^ {(i)} (t) = \ phi (t)}

\ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} a_ {i} f ^ {{(i)}} (t) = \ phi (t)

cu valorile inițiale date:

f^{(i)}(0)=c_{i}

{\ displaystyle f ^ {(i)} (0) = c_ {i}}

f ^ {{(i)}} (0) = c_ {i}

Folosind liniaritatea transformatei Laplace este echivalent să rescrieți ecuația ca:

\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\mathcal {L}}\{f^{(i)}(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} {\ mathcal {L}} \ {f ^ {(i)} (t) \} = {\ mathcal {L}} \ { \ phi (t) \}}

\ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} a_ {i} {\ mathcal {L}} \ {f ^ {{(i)}} (t) \} = {\ mathcal {L} } \ {\ phi (t) \}

obținerea:

{\mathcal {L}}\{f(t)\}\sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}a_{i}s^{i-j}f^{(j-1)}(0)={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f (t) \} \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} s ^ {i} - \ sum _ {i = 1} ^ { n} \ sum _ {j = 1} ^ {i} a_ {i} s ^ {ij} f ^ {(j-1)} (0) = {\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \}}

{\ mathcal {L}} \ {f (t) \} \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} a_ {i} s ^ {i} - \ sum _ {{i = 1} } ^ {{n}} \ sum _ {{j = 1}} ^ {{i}} a_ {i} s ^ {{ij}} f ^ {{(j-1)}} (0) = { \ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \}

Rezolvarea ecuației pentru ${\mathcal {L}}\{f(t)\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f (t) \}}$ ${\ mathcal {L}} \ {f (t) \}$ și înlocuirea $f^{(i)}(0)$ ${\ displaystyle f ^ {(i)} (0)}$ $f ^ {{(i)}} (0)$ cu $c_{i}$ ${\ displaystyle c_ {i}}$ $Acolo}$ primesti:

{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {{\mathcal {L}}\{\phi (t)\}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}a_{i}s^{i-j}c_{j-1}}{\sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f (t) \} = {\ frac {{\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \} + \ sum _ {i = 1} ^ { n} \ sum _ {j = 1} ^ {i} a_ {i} s ^ {ij} c_ {j-1}} {\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} s ^ { }}}}

{\ mathcal {L}} \ {f (t) \} = {\ frac {{\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \} + \ sum _ {{i = 1}} ^ {{ n}} \ sum _ {{j = 1}} ^ {{i}} a_ {i} s ^ {{ij}} c _ {{j-1}}} {\ sum _ {{i = 0} } ^ {{n}} a_ {i} s ^ {i}}}

Soluția pentru $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ se obține prin aplicarea transformatei Laplace inversă la ${\mathcal {L}}\{f(t)\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f (t) \}}$ ${\ mathcal {L}} \ {f (t) \}$ .

Rețineți că, dacă toate valorile inițiale sunt zero, adică:

f^{(i)}(0)=c_{i}=0\quad \forall i\in \{0,1,2,\dots \ n\}

{\ displaystyle f ^ {(i)} (0) = c_ {i} = 0 \ quad \ forall i \ in \ {0,1,2, \ dots \ n \}}

f ^ {{(i)}} (0) = c_ {i} = 0 \ quad \ forall i \ in \ {0,1,2, \ dots \ n \}

atunci formula se simplifică la:

f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{{\mathcal {L}}\{\phi (t)\} \over \sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}\right\}

{\ displaystyle f (t) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left \ {{{\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \} \ over \ sum _ {i = 0 } ^ {n} a_ {i} s ^ {i}} \ right \}}

f (t) = {\ mathcal {L}} ^ {{- 1}} \ left \ {{{\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \} \ over \ sum _ {{i = 0 }} ^ {{n}} a_ {i} s ^ {i}} \ right \}

Exemplul 1

Vrem să rezolvăm:

f''(t)+4f(t)=\sin(2t)

{\ displaystyle f '' (t) + 4f (t) = \ sin (2t)}

f '' (t) + 4f (t) = \ sin (2t)

cu valori inițiale $f(0)=0$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ $f (0) = 0$ Și $f'(0)=0$ ${\ displaystyle f '(0) = 0}$ $f '(0) = 0$ .

Am notat asta:

\phi (t)=\sin(2t)

{\ displaystyle \ phi (t) = \ sin (2t)}

\ phi (t) = \ sin (2t)

obținerea:

{\mathcal {L}}\{\phi (t)\}={\frac {2}{s^{2}+4}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \} = {\ frac {2} {s ^ {2} +4}}}

{\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \} = {\ frac {2} {s ^ {2} +4}}

Ecuația este deci echivalentă cu:

s^{2}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)+4{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}

{\ displaystyle s ^ {2} {\ mathcal {L}} \ {f (t) \} - sf (0) -f '(0) +4 {\ mathcal {L}} \ {f (t) \ } = {\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \}}

s ^ {2} {\ mathcal {L}} \ {f (t) \} - sf (0) -f '(0) +4 {\ mathcal {L}} \ {f (t) \} = { \ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \}

Prin urmare, se deduce că:

{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {2}{(s^{2}+4)^{2}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f (t) \} = {\ frac {2} {(s ^ {2} +4) ^ {2}}}}

{\ mathcal {L}} \ {f (t) \} = {\ frac {2} {(s ^ {2} +4) ^ {2}}}

Aplicând transforma Laplace inversă obținem:

f(t)={\frac {1}{8}}\sin(2t)-{\frac {t}{4}}\cos(2t)

{\ displaystyle f (t) = {\ frac {1} {8}} \ sin (2t) - {\ frac {t} {4}} \ cos (2t)}

f (t) = {\ frac {1} {8}} \ sin (2t) - {\ frac {t} {4}} \ cos (2t)

Exemplul 2

Luați în considerare ecuația:

{\dot {N}}=-\lambda N

{\ displaystyle {\ dot {N}} = - \ lambda N}

{\ dot N} = - \ lambda N

questa equazione è la relazione fondamentale che descrive il decadimento radioattivo , dove:

N\ =\ N(t)

N\ =\ N(t)

N\ =\ N(t)

rappresenta il numero di atomi non decaduti in un campione di isotopi radioattivi al tempo $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ , e $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ è la costante di decadimento . Si può usare la trasformata di Laplace per risolvere questa equazione. Riscrivendo l'equazione da una parte si ha:

{\dot {N}}+\lambda N=0

{\dot {N}}+\lambda N=0

{\dot N}+\lambda N=0

trasformando entrambi i membri:

(s{N}(s)-N_{o})+\lambda {N}(s)\ =\ 0

(s{N}(s)-N_{o})+\lambda {N}(s)\ =\ 0

(s{N}(s)-N_{o})+\lambda {N}(s)\ =\ 0

dove:

{N}(s)={\mathcal {L}}{\{N(t)\}}\qquad N_{o}\ =\ N(0)

{N}(s)={\mathcal {L}}{\{N(t)\}}\qquad N_{o}\ =\ N(0)

{N}(s)={\mathcal {L}}{\{N(t)\}}\qquad N_{o}\ =\ N(0)

Risolvendo si trova:

{N}(s)={N_{o} \over s+\lambda }

{N}(s)={N_{o} \over s+\lambda }

{N}(s)={N_{o} \over s+\lambda }

Alla fine, si antitrasforma per trovare la soluzione generale:

N(t)\ =\ N_{o}{\text{e}}^{-\lambda t}

N(t)\ =\ N_{o}{\text{e}}^{-\lambda t}

N(t)\ =\ N_{o}{\text{e}}^{-\lambda t}

che è il risultato corretto che descrive il decadimento radioattivo.

Esempio 3

Si consideri un circuito RC in tensione continua $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ definita come:

V:={\begin{cases}0,&t<0,\\{\overline {V}}\neq 0,&t\geq 0\end{cases}}

V:={\begin{cases}0,&t<0,\\{\overline {V}}\neq 0,&t\geq 0\end{cases}}

V:={\begin{cases}0,&t<0,\\{\overline {V}}\neq 0,&t\geq 0\end{cases}}

e con condizioni iniziali $I(0)=V_{\text{C}}(0)=0$ $I(0)=V_{\text{C}}(0)=0$ $I(0)=V_{\text{C}}(0)=0$ (si tratta della carica di un condensatore ). Usando le leggi di Kirchhoff, si ha che la sua equazione caratteristica è:

V=IR+{\dfrac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(t')\,\mathrm {d} t'

V=IR+{\dfrac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(t')\,\mathrm {d} t'

V=IR+{\dfrac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(t')\,\mathrm {d} t'

Trasformando secondo Laplace da entrambe le parti:

{\dfrac {\overline {V}}{s}}={\tilde {I}}R+{\dfrac {1}{sC}}{\tilde {I}}\implies {\tilde {I}}={\dfrac {\overline {V}}{R}}{\dfrac {1}{s+{\dfrac {1}{\tau }}}}

{\dfrac {\overline {V}}{s}}={\tilde {I}}R+{\dfrac {1}{sC}}{\tilde {I}}\implies {\tilde {I}}={\dfrac {\overline {V}}{R}}{\dfrac {1}{s+{\dfrac {1}{\tau }}}}

{\dfrac {\overline {V}}{s}}={\tilde {I}}R+{\dfrac {1}{sC}}{\tilde {I}}\implies {\tilde {I}}={\dfrac {\overline {V}}{R}}{\dfrac {1}{s+{\dfrac {1}{\tau }}}}

dove si è indicato ${\tilde {I}}$ ${\tilde {I}}$ ${\tilde {I}}$ la trasformata di Laplace di $I$ ${\displaystyle I}$ $I$ e $\tau =RC$ $\tau =RC$ $\tau =RC$ . Dunque, antitrasformando:

I={\frac {\overline {V}}{R}}\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)

I={\frac {\overline {V}}{R}}\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)

I={\frac {\overline {V}}{R}}\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)

che è la nota espressione per la corrente in un circuito RC in fase di carica.

Esempio 4

Studiamo l'equazione del moto armonico semplice :

{\ddot {\theta }}(t)+\omega ^{2}\theta (t)=0

{\ddot {\theta }}(t)+\omega ^{2}\theta (t)=0

{\ddot {\theta }}(t)+\omega ^{2}\theta (t)=0

con $\theta (0)=\theta _{0},\ {\dot {\theta }}(0)={\dot {\theta }}_{0}$ $\theta (0)=\theta _{0},\ {\dot {\theta }}(0)={\dot {\theta }}_{0}$ $\theta (0)=\theta _{0},\ {\dot {\theta }}(0)={\dot {\theta }}_{0}$ . Trasformando secondo Laplace da entrambe le parti:

s^{2}{\tilde {\theta }}-s\theta _{0}-{\dot {\theta }}_{0}+\omega ^{2}{\tilde {\theta }}=0\implies {\tilde {\theta }}=\theta _{0}{\dfrac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}{\dfrac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}

s^{2}{\tilde {\theta }}-s\theta _{0}-{\dot {\theta }}_{0}+\omega ^{2}{\tilde {\theta }}=0\implies {\tilde {\theta }}=\theta _{0}{\dfrac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}{\dfrac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}

s^{2}{\tilde {\theta }}-s\theta _{0}-{\dot {\theta }}_{0}+\omega ^{2}{\tilde {\theta }}=0\implies {\tilde {\theta }}=\theta _{0}{\dfrac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}{\dfrac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}

e dunque, antitrasformando:

\theta (t)=\theta _{0}\cos \omega t+{\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}\sin \omega t=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)

\theta (t)=\theta _{0}\cos \omega t+{\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}\sin \omega t=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)

\theta (t)=\theta _{0}\cos \omega t+{\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}\sin \omega t=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)

avendo posto

\sin \varphi ={\frac {\theta _{0}}{\sqrt {\theta _{0}^{2}+\left({\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}\right)^{2}}}},\ \cos \varphi ={\frac {\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}{\sqrt {\theta _{0}^{2}+\left({\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}\right)^{2}}}},\ A={\sqrt {\theta _{0}^{2}+\left({\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}\right)^{2}}}.

\sin \varphi ={\frac {\theta _{0}}{\sqrt {\theta _{0}^{2}+\left({\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}\right)^{2}}}},\ \cos \varphi ={\frac {\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}{\sqrt {\theta _{0}^{2}+\left({\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}\right)^{2}}}},\ A={\sqrt {\theta _{0}^{2}+\left({\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}\right)^{2}}}.

\sin \varphi ={\frac {\theta _{0}}{\sqrt {\theta _{0}^{2}+\left({\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}\right)^{2}}}},\ \cos \varphi ={\frac {\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}{\sqrt {\theta _{0}^{2}+\left({\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}\right)^{2}}}},\ A={\sqrt {\theta _{0}^{2}+\left({\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}\right)^{2}}}.

Bibliografia

( EN ) KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Mathematical methods for physics and engineering , 3rd, Cambridge University Press, 2010, p. 455, ISBN 978-0-521-86153-3 .
( EN ) JJDistefano, AR Stubberud, IJ Williams, Feedback systems and control , 2nd, Schaum's outlines, 1995, p. 78, ISBN 0-07-017052-5 .
( EN ) M. Abramowitz e I. Stegun. Handbook of Mathematical Functions . Dover, Nueva York, 1964. ( capitolo 29 )
( EN ) JC Jaeger An Introduction To The Laplace Transformation . Methuen and co., 1949.
( EN ) David Vernon Widder. The Laplace Transform . Princeton University Press, 1946.
( EN ) AD Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su trasformata di Laplace

Collegamenti esterni

( EN ) Trasformata di Laplace , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Trasformata di Laplace , in Enciclopedia della scienza e della tecnica , Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.
Calcolo online della trasformata e della trasformata inversa in wims.unice.fr
( EN ) KS Kölbig Laplace transform Academic Training Lectures CERN, Geneva, Switzerland, 1 Sep 1968 - 30 Jun 1969
( EN ) EqWorld Trasformata di Laplace
( EN ) MathWorld Trasformata di Laplace

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 35184 · LCCN ( EN ) sh85074666 · GND ( DE ) 4034577-4 · BNF ( FR ) cb119531733 (data) · NDL ( EN , JA ) 00567362

Portale Controlli automatici

Portale Matematica