Conceptul transformării zeta era deja cunoscut lui Laplace , dar a fost reintrodus în 1947 de W. Hurewicz ca un mijloc util de rezolvare a ecuațiilor de diferență liniară cu coeficienți constanți. [1] Termenul „transformare zeta” a fost inventat mai târziu, în 1952 , de Ragazzini și Zadeh , cercetători la Universitatea Columbia . [2][3] Este posibil ca numele să fi venit din ideea că litera „z” seamănă cu o literă eșantionată / digitalizată „s”, unde „s” este litera utilizată adesea pentru a indica variabila independentă din transformata Laplace . O altă posibilă origine este prezența literei „Z” atât în numele Ragazzini, cât și în Zadeh. Această nomenclatură diferă de obiceiul adoptat în domeniul științific, în care o metodă sau o teoremă sunt asociate cu numele dezvoltatorului principal. A treia origine probabilă se află în domeniul semnalelor discrete, care este de obicei {\ displaystyle \ mathbb {Z}} sau un subset al acestuia.
Definiție
Transformare unilaterală
Este {\ displaystyle x [n]} o succesiune de numere complexe, indexate cu {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}} . Transformarea sa unilaterală este definită ca seria formală de puteri complexe
{\ displaystyle X (z) = {\ mathcal {Z}} \ {x [n] \} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] z ^ {- n}, \ qquad {\ mbox {per}} z \ in \ mathbb {C}.}
În teoria semnalului această definiție este utilizată pentru a evalua transformarea răspunsului impulsului unitar al unui sistem cauzal în timp discret. De obicei, în acest context succesiunea {\ displaystyle x [n]} reprezintă eșantionarea regulată a unui semnal {\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}cauzal (adică {\ displaystyle f} este nul pentru timpii negativi), corespunzător timpilor formei {\ displaystyle t = n \, \ tau} . Pasul de eșantionare {\ displaystyle \ tau> 0} Este fix. Cu alte cuvinte
{\ displaystyle x [n] = f (n \, \ tau), \ qquad {\ mbox {pentru fiecare}} n \ in \ mathbb {N}.}
Regiunea de convergență
Regiunea de convergență este partea planului complex în care converge seria care definește transformarea funcției:
{\ displaystyle ROC = \ left \ {z \ in \ mathbb {C} \ ,: \, \ left | \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] \, z ^ {- n} \ right | <\ infty \ right \}}
{\ displaystyle R = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| x [n] |}}}
Criteriul relației are o aplicație mai puțin generală, deoarece necesită ca termenii să fie diferiți de zero începând de la a {\ displaystyle n} arbitrar în continuare. Cu toate acestea, este adesea mai ușor să calculați limita după acest criteriu decât utilizând criteriul rădăcină. Dacă ambele limite există, ele coincid. Cu toate acestea, nu trebuie să luăm reciprocitatea limitei superioare, deoarece transformarea zeta unilaterală este o serie de puteri cu un exponent negativ.
Transformare bilaterală
Uneori, poate fi util să definiți transformarea unei secvențe {\ displaystyle x [n]} indexat pe {\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}} . În acest caz, transformarea sa bilaterală este definită ca seria formală de putere
{\ displaystyle X (z) = {\ mathcal {Z}} \ {x [n] \} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] z ^ {- n}}
{\ displaystyle x [n] = {\ mathcal {Z}} ^ {- 1} \ {X (z) \} = {\ frac {1} {2 \ pi j}} \ oint _ {C} X ( z) z ^ {n-1} dz, \ qquad n \ in \ mathbb {N}.}
unde este {\ displaystyle C} este o cale închisă în sens invers acelor de ceasornic care se află în regiunea de convergență a {\ displaystyle X (z)} și înconjoară originea avionului. Formula de mai sus devine utilă mai ales atunci când {\ displaystyle X (z)} admite o extindere a întregului plan complex, cu excepția cel mult a unui număr finit de singularități izolate{\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z _ {\ ell}} . De fapt, în acest caz se poate apela la teorema reziduală și se poate obține
{\ displaystyle x [n] = \ sum _ {j = 1} ^ {\ ell} \ mathrm {Res} (X (z) \, z ^ {n-1}, z_ {j}), \ qquad { \ mbox {pentru fiecare}} n \ în \ mathbb {N}}
De asemenea, în cazul izolării singularităților {\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z _ {\ ell}} sunt poli , calculul reziduurilor din formula anterioară este deosebit de ușor, folosind formula
Unde {\ displaystyle m_ {j}} este ordinea stâlpului{\ displaystyle z_ {j}} .
Un caz deosebit de important apare atunci când {\ displaystyle C} este circumferința unității. În acest caz, transforma inversă zeta ia forma transformatei Fourier discrete inverse:
{\ displaystyle x [n] = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {+ \ pi} X (e ^ {j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega. \}
Cel puțin regiunea de intersecție a ROC 1 și ROC 2
Extinderea timpului
{\ displaystyle x _ {(k)} [n] = {\ begin {cases} x [r], & n = rk \\ 0, & n \ not = rk \ end {cases}}}
{\ displaystyle r} întreg
{\ displaystyle X (z ^ {k}) \}
{\ displaystyle {\ begin {array} {ll} X_ {k} (z) & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {k} [n] \, z ^ {- n } \\ & = \ sum _ {r = - \ infty} ^ {\ infty} x [r] \, z ^ {- r \, k} \\ & = \ sum _ {r = - \ infty} ^ {\ infty} x [r] \, (z ^ {k}) ^ {- r} \\ & = X (z ^ {k}) \ end {array}}}
{\ displaystyle r ^ {1 / k}}
Traducerea timpului
{\ displaystyle x [nk]}
{\ displaystyle z ^ {- k} X (z)}
{\ displaystyle Z \ {x [nk] \} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [nk] z ^ {- n}}
Loc {\ displaystyle j = nk} avem: {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [nk] z ^ {- n} = \ sum _ {j = -k} ^ {\ infty} x [j] z ^ {- ( j + k)} = \ sum _ {j = -k} ^ {\ infty} x [j] z ^ {- j} z ^ {- k}}{\ displaystyle = z ^ {- k} \ sum _ {j = -k} ^ {\ infty} x [j] z ^ {- j}}{\ displaystyle = z ^ {- k} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} x [j] z ^ {- j}} fiind {\ displaystyle x [\ beta] = 0} de sine {\ displaystyle \ beta <0} . De la care: {\ displaystyle z ^ {- k} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} x [j] z ^ {- j} = z ^ {- k} X (z)}
ROC, cu excepția {\ displaystyle z = 0 \} de sine {\ displaystyle k> 0 \,} Și {\ displaystyle z = \ infty} de sine {\ displaystyle k <0 \}
În mod similar cu transformata Laplace , de asemenea, pentru transformarea zeta este posibilă afirmarea a două teoreme care permit să se cunoască valoarea inițială și valoarea finală a eșantionării începând de la transformarea sa.
Teorema valorii inițiale afirmă că:
{\ displaystyle x [0] = \ lim _ {z \ rightarrow \ infty} X (z) \}
de sine {\ displaystyle x [n]} este cauzal (adică nimic pentru n negative).
Dacă succesiunea {\ displaystyle x [n]} admite limita finită, atunci {\ displaystyle X (z)} este o funcție analitică în afara discului de rază {\ displaystyle 1} centrată la originea și teorema valorii finale afirmă că:
{\ displaystyle x [\ infty] = \ lim _ {\ mathbb {R} \ ni z \ rightarrow 1 ^ {+}} (z-1) \, X (z) \}
Rezultatul este fals fără presupunerea că {\ displaystyle x [n]} admite limita, așa cum se vede ușor luând secvența{\ displaystyle x [n] = (- 1) ^ {n}} , a cărui transformare zeta este dată de
{\ displaystyle X (z) = {\ frac {z} {z + 1}}}
Am transformat câteva funcții notabile
Sunt:
{\ displaystyle u [n] = {\ begin {cases} 1, & n \ geq 0 \\ 0, & n <0 \ end {cases}}}
{\ displaystyle \ delta [n] = {\ begin {cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ neq 0 \ end {cases}}}
Funcţie, {\ displaystyle x [n]}
Transformă Z, {\ displaystyle X (z)}
ROC
{\ displaystyle \ delta [n] \,}
{\ displaystyle 1 \,}
{\ displaystyle {\ mbox {each}} z \,}
{\ displaystyle \ delta [n-n_ {0}] \,}
{\ displaystyle z ^ {- n_ {0}} \,}
{\ displaystyle z \ neq 0 \,}
{\ displaystyle u [n] \,}
{\ displaystyle {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}}}
{\ displaystyle | z |> 1 \,}
{\ displaystyle \, e ^ {- \ alpha n} u [n]}
{\ displaystyle 1 \ over 1-e ^ {- \ alpha} z ^ {- 1}}
Transformarea zeta unilaterală este transformata Laplace a unui semnal eșantionat ideal cu substituția:
{\ displaystyle z \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ e ^ {sT} \}
unde este {\ displaystyle T = 1 / f_ {s} \} este perioada de eșantionare, cu {\ displaystyle f_ {s}} rata de eșantionare (măsurată în eșantioane pe secundă sau în hertz ).
{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {q} (t) & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ x (t) \ Delta _ {T} (t) = x (t) \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x (nT) \ delta (t-nT) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] \ delta (t-nT) \ end {align}}}
reprezentarea în timp continuă a semnalului {\ displaystyle x [n] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ x (nT)} obținute prin eșantionare {\ displaystyle x (t)} . Transformarea Laplace a {\ displaystyle x_ {q} (t)} este dat de:
{\ displaystyle {\ begin {align} X_ {q} (s) & = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} x_ {q} (t) e ^ {- st} \, dt \ \ & = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] \ delta (t-nT) și ^ {- st} \, dt \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) e ^ {- st} \, dt \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- nsT} \ end {align}}}
Aceasta este definiția transformării zeta unilaterale a funcției timp discret {\ displaystyle x [n] \} , adică:
{\ displaystyle X (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] z ^ {- n}}
cu înlocuire {\ displaystyle z \ leftarrow e ^ {sT}} . Prin compararea ultimelor două relații, se obține relația dintre transformata zeta unilaterală și transformata Laplace a semnalului eșantionat:
{\ displaystyle X_ {q} (s) = X (z) {\ Big |} _ {z = e ^ {sT}}}
{\ displaystyle z = e ^ {sT} = e ^ {T \ sigma} e ^ {jT \ omega} = e ^ {T \ sigma} e ^ {jT (\ omega + {\ frac {2k \ pi} { T}})} \ qquad k \ in \ mathbb {R}}
Ultima identitate derivă din faptul că exponențialul complex este o funcție periodică a perioadei i2π.
Din acest raport se pot face câteva considerații importante
fiecare punct al planului s a cărui parte imaginară diferă de un multiplu întreg al impulsului de eșantionare este transformat în același punct al planului z
fiecare punct din planul s aparținând semiplanului negativ este transformat într-un punct din interiorul circumferinței razei 1 întrucât {\ displaystyle | z | = e ^ {T \ sigma}}
fiecare punct din planul s aparținând semiplanului pozitiv este transformat într-un punct în afara circumferinței razei unitare
fiecare punct aparținând axei imaginare este transformat într-un punct de pe circumferință cu o rază unitară
În virtutea acestor considerații este logic să se definească, de asemenea, o bandă primară și mai multe benzi complementare în planul s. Banda primară include toate numerele complexe cu o parte imaginară între {\ displaystyle \ pm j \ omega _ {s} / 2} , benzile complementare se obțin, începând de la cea primară, prin translația verticală a unui multiplu întreg al pulsației de eșantionare. Pentru cele spuse, este posibil ca fiecare punct al planului z să corespundă unui punct al benzii primare.
La fel ca ceea ce se întâmplă în planul s, este posibil, de asemenea, în planul z, să urmărim locurile a {\ displaystyle \ delta} Și {\ displaystyle \ omega} constant.
Prelevarea de probe
Luați în considerare un semnal continuu {\ displaystyle x (t)} , a cărui transformare este:
{\ displaystyle L \ {x (t) \} \ equiv X (s) \ equiv \ int _ {0} ^ {\ infty} {x (t) e ^ {- st} dt}}
De sine {\ displaystyle x (t)} este eșantionat uniform cu un tren de impulsuri pentru a obține un semnal discret {\ displaystyle x ^ {*} [k] = x (kT)} (presupunând procesul ideal), atunci acesta poate fi reprezentat ca:
{\ displaystyle x ^ {*} [k] = x (kT) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {x (t) \ delta (t-kT)}}
unde este {\ displaystyle T} este intervalul de eșantionare. În acest context, transformata Laplace este dată de:
{\ displaystyle {\ begin {array} {llllll} L \ {x (kT) \} & = & X ^ {*} (s) & = & \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {x (t). \ delta (t-kT)} e ^ {- st} dt} \\ & = & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {x ^ {*} (k) .z ^ {- k}}, z = e ^ {sT} \\\ left.L \ {x (kT) \} \ right | _ {s = {\ frac { \ ln {(z)}} {T}}} & = & \ left.X ^ {*} (s) \ right | _ {s = {\ frac {\ ln {(z)}} {T}} } & = & Z \ {x ^ {*} (k) \} \ end {array}}}
che si ottiene ponendo {\displaystyle z=e^{i\omega }\,} . Dal momento che {\displaystyle |e^{i\omega }|=1\,} , la trasformata di Fourier a tempo discreto è la valutazione della trasformata zeta sul cerchio unitario nel piano complesso .
dove entrambi i membri possono essere divisi per{\displaystyle \alpha _{0}\ } , se è diversa da zero, normalizzando {\displaystyle \alpha _{0}=1\ } . In questo modo l'equazione assume la forma:
Tale scrittura consente di visualizzare il fatto che l'uscita al tempo attuale {\displaystyle y[{n}]} è funzione del valore dell'uscita {\displaystyle y[{np}]} a un tempo precedente, dell'ingresso attuale {\displaystyle x[{n}]} e dei precedenti valori {\displaystyle x[{nq}]\ } . Considerando la trasformata zeta della precedente equazione, dalle proprietà di linearità e traslazione temporale si ha:
Dal teorema fondamentale dell'algebra il numeratore ha M radici, corrispondenti agli zeri di {\displaystyle H} , e il denominatore ha N radici, corrispondenti ai poli di {\displaystyle H} . Riscrivendo la funzione di trasferimento in modo da evidenziare questo fatto si ha:
dove {\displaystyle q_{k}\ } è il k-esimo zero e {\displaystyle p_{k}\ } il k-esimo polo. Se il sistema descritto da {\displaystyle H(z)\ } è pilotato dal segnale {\displaystyle X(z)\ } allora l'uscita è data da{\displaystyle Y(z)=H(z)X(z)} .