Teorema lui Parseval

În analiza complexă , teorema Parseval sau identitatea Rayleigh , al cărei nume se datorează lui Marc-Antoine Parseval , este o teoremă care stabilește că suma produsului coeficienților Fourier a două funcții periodice este egală cu integralul produsului lor. Practic, teorema lui Parseval ne oferă puterea unui semnal pornind de la coeficienții dezvoltării sale în seria Fourier.

Deși termenul „teorema lui Parseval” este adesea folosit pentru a descrie unitaritatea oricărei transformate Fourier , în special în fizică și inginerie , cea mai generală formă a acestei proprietăți este dată de teorema lui Plancherel . ^[1]

Teorema

Lasa-i sa fie $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ Și $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ două funcții Riemann integrabile , cu valori complexe și definite pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . Să fie periodice cu punct $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ și lăsați reprezentarea prin intermediul seriei Fourier :

A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}\qquad B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}

{\ displaystyle A (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {inx} \ qquad B (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} b_ {n} e ^ {inx}}

A (x) = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {{inx}} \ qquad B (x) = \ sum _ {{n = - \ infty }} ^ {\ infty} b_ {n} e ^ {{inx}}

Atunci:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}dx

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} {\ overline {b_ {n}}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} A (x) {\ overline {B (x)}} dx}

\ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} a_ {n} \ overline {b_ {n}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {{- \ pi }} ^ {\ pi} A (x) \ overline {B (x)} dx

În cazul particular în care $A(x)=B(x)$ ${\ displaystyle A (x) = B (x)}$ $A (x) = B (x)$ teorema afirmă că, dată fiind o funcție în $C^{2}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$ $C ^ 2$ pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ cu prima și a doua derivate absolut convergente, atunci aria subtendută de modulul pătrat al funcției este egală cu cea subtendută de modulul pătrat al transformatei sale Fourier:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }|a_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|A(x)|^{2}dx

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | a_ {n} | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | A (x) | ^ {2} dx}

\ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} | a_ {n} | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {{- \ pi}} ^ {\ pi} | A (x) | ^ {2} dx

Mai mult, numai seriile Fourier sunt adesea luate în considerare pentru funcții cu valoare reală $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , care corespund cazului special în care $a_{0}$ ${\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ e real, $a_{-n}={\overline {a_{n}}}$ ${\ displaystyle a _ {- n} = {\ overline {a_ {n}}}}$ ${\ displaystyle a _ {- n} = {\ overline {a_ {n}}}}$ , $b_{0}$ ${\ displaystyle b_ {0}}$ $b_ {0}$ este real și $b_{-n}={\overline {b_{n}}}$ ${\ displaystyle b _ {- n} = {\ overline {b_ {n}}}}$ ${\ displaystyle b _ {- n} = {\ overline {b_ {n}}}}$ . În acest caz avem:

a_{0}b_{0}+2\Re \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x)B(x)dx

{\ displaystyle a_ {0} b_ {0} +2 \ Re \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} {\ overline {b_ {n}}} = {\ frac {1} { 2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} A (x) B (x) dx}

{\ displaystyle a_ {0} b_ {0} +2 \ Re \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} {\ overline {b_ {n}}} = {\ frac {1} { 2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} A (x) B (x) dx}

unde este $\Re$ ${\ displaystyle \ Re}$ $\Rege$ denotă partea reală .

Dovadă în cazul A = B

Este $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ o funcție periodică a perioadei $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ dezvoltabile în seria Fourier și să fie:

s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{2\pi i{\frac {n}{T}}t}

{\ displaystyle s (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} \, e ^ {2 \ pi i {\ frac {n} {T}} t}}

{\ displaystyle s (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} \, e ^ {2 \ pi i {\ frac {n} {T}} t}}

seria Fourier a funcției, unde coeficienții seriei sunt apoi dați de:

c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}s(t)\,e^{-2\pi i{\frac {n}{T}}t}dt

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} s (t) \ , e ^ {- 2 \ pi i {\ frac {n} {T}} t} dt}

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} s (t) \ , e ^ {- 2 \ pi i {\ frac {n} {T}} t} dt}

cu $f=n/T$ ${\ displaystyle f = n / T}$ ${\ displaystyle f = n / T}$ Și $\omega =2\pi f$ ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$ ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$ .

Atunci noi avem:

{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}|s(t)|^{2}dt={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}|\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{2\pi i{\frac {n}{T}}t}|^{2}dt=\

{\ displaystyle {\ frac {1} {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} | s (t) | ^ {2} dt = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} | \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} \, e ^ {2 \ pi i {\ frac {n} {T}} t} | ^ {2} dt = \}

{\ displaystyle {\ frac {1} {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} | s (t) | ^ {2} dt = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} | \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} \, e ^ {2 \ pi i {\ frac {n} {T}} t} | ^ {2} dt = \}

={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}(\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{2\pi i{\frac {n}{T}}t}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {c}}_{n}\,e^{-2\pi i{\frac {n}{T}}t})dt=

{\ displaystyle = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} \, e ^ {2 \ pi i {\ frac {n} {T}} t} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {c}} _ {n} \, e ^ {- 2 \ pi i {\ frac {n} {T}} t}) dt =}

{\ displaystyle = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} \, e ^ {2 \ pi i {\ frac {n} {T}} t} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {c}} _ {n} \, e ^ {- 2 \ pi i {\ frac {n} {T}} t}) dt =}

={\frac {1}{T}}\;

{\ displaystyle = {\ frac {1} {T}} \;}

{\ displaystyle = {\ frac {1} {T}} \;}

\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}(\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}{\hat {c}}_{n})dt=

{\ displaystyle \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} {\ hat {c}} _ {n}) dt =}

{\ displaystyle \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} {\ hat {c}} _ {n}) dt =}

=\;

{\ displaystyle = \;}

{\ displaystyle = \;}

\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2}}

Dovada teoremei lui Plancherel

Același subiect în detaliu: teorema lui Plancherel .

Teorema lui Parseval este un caz special al teoremei lui Plancherel . Este $s(t):\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle s (t): \ mathbb {C} \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle s (t): \ mathbb {C} \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$ , cu:

\int _{-\infty }^{\infty }|s(t)|^{2}\mathrm {d} t<\infty

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | s (t) | ^ {2} \ mathrm {d} t <\ infty}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | s (t) | ^ {2} \ mathrm {d} t <\ infty}

Atunci:

\int _{-\infty }^{\infty }|s(t)|^{2}\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{\infty }s(t){\hat {s}}(t)\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{\infty }S(f){\hat {S}}(f)\mathrm {d} f=\int _{-\infty }^{\infty }\ |S(f)|^{2}\mathrm {d} f

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | s (t) | ^ {2} \ mathrm {d} t = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s (t) {\ hat {s}} (t) \ mathrm {d} t = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} S (f) {\ hat {S}} (f) \ mathrm {d} f = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ | S (f) | ^ {2} \ mathrm {d} f}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | s (t) | ^ {2} \ mathrm {d} t = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s (t) {\ hat {s}} (t) \ mathrm {d} t = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} S (f) {\ hat {S}} (f) \ mathrm {d} f = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ | S (f) | ^ {2} \ mathrm {d} f}

unde este $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ indică funcția, ${\hat {s}}(t)$ ${\ displaystyle {\ hat {s}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ hat {s}} (t)}$ funcția conjugată e $S(f)\;$ ${\ displaystyle S (f) \;}$ ${\ displaystyle S (f) \;}$ transformata Fourier a $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ .

Aplicații

În cazul a două semnale energetice $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ Și $g(t)$ ${\ displaystyle g (t)}$ $g (t)$ , cu transformate Fourier, respectiv $H(\omega )$ ${\ displaystyle H (\ omega)}$ $H (\ omega)$ Și $G(\omega )$ ${\ displaystyle G (\ omega)}$ ${\ displaystyle G (\ omega)}$ , cu $\omega =2\pi f$ ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$ $\ omega = 2 \ pi f$ , Teorema lui Parseval este adesea scrisă sub forma:

\int _{-\infty }^{\infty }{h(t)g(t)^{*}dt}=\int _{-\infty }^{\infty }{H(\omega )G(\omega )^{*}d\omega }

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {h (t) g (t) ^ {*} dt} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega ) G (\ omega) ^ {*} d \ omega}}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {h (t) g (t) ^ {*} dt} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega ) G (\ omega) ^ {*} d \ omega}}

Într-adevăr, exprimând $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ prin antitransforma Fourier a $H(\omega )$ ${\ displaystyle H (\ omega)}$ $H (\ omega)$ , avem:

h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{H(\omega )e^{j\omega t}d\omega }

{\ displaystyle h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega}}

{\ displaystyle h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega}}

prin urmare:

\int _{-\infty }^{\infty }{h(t)g(t)^{*}dt}=\int _{-\infty }^{\infty }{\left[\int _{-\infty }^{\infty }{H(\omega )e^{j\omega t}d\omega }\right]g(t)^{*}dt}=\int _{-\infty }^{\infty }{H(\omega )\left[\int _{-\infty }^{\infty }{g(t)^{*}e^{j\omega t}dt}\right]d\omega }

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {h (t) g (t) ^ {*} dt} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega} \ right] g (t) ^ {*} dt} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega) \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {g (t) ^ {*} e ^ {j \ omega t} dt} \ right ] d \ omega}}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {h (t) g (t) ^ {*} dt} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega} \ right] g (t) ^ {*} dt} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega) \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {g (t) ^ {*} e ^ {j \ omega t} dt} \ right ] d \ omega}}

unde în ultimul termen s-au schimbat integrarea în timp și cea în frecvență. Deoarece, de asemenea $g(t)$ ${\ displaystyle g (t)}$ $g (t)$ este prin ipoteză un semnal energetic, se concluzionează că, așa cum am vrut să demonstrăm:

\int _{-\infty }^{\infty }{h(t)g(t)^{*}dt}=\int _{-\infty }^{\infty }{H(\omega )\left[\int _{-\infty }^{\infty }{g(t)e^{-j\omega t}dt}\right]^{*}d\omega }=\int _{-\infty }^{\infty }{H(\omega )G(\omega )^{*}d\omega }

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {h (t) g (t) ^ {*} dt} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega ) \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {g (t) e ^ {- j \ omega t} dt} \ right] ^ {*} d \ omega} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega) G (\ omega) ^ {*} d \ omega}}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {h (t) g (t) ^ {*} dt} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega ) \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {g (t) e ^ {- j \ omega t} dt} \ right] ^ {*} d \ omega} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega) G (\ omega) ^ {*} d \ omega}}

În cazul particular în care $h(t)=g(t)$ ${\ displaystyle h (t) = g (t)}$ ${\ displaystyle h (t) = g (t)}$ primesti:

\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|^{2}dt}=\int _{-\infty }^{\infty }{\left|H(\omega )\right|^{2}d\omega }

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (t) \ right | ^ {2} dt} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ left | H (\ omega) \ right | ^ {2} d \ omega}}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (t) \ right | ^ {2} dt} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ left | H (\ omega) \ right | ^ {2} d \ omega}}

adică energia semnalului poate fi exprimată și prin integrala pătratului densității sale de energie spectrală . Acest lucru poate fi interpretat fizic spunând că energia totală a unui semnal poate fi calculată prin adăugarea atât a energiei unei serii de eșantioane în timp, cât și a densității spectrale a unei serii de eșantioane în frecvență.

O dovadă alternativă poate fi obținută luând în considerare teorema Wiener-Khinchin . Având în vedere că pentru fiecare funcție transformabilă Fourier avem:

h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{H(\omega )e^{j\omega t}d\omega }

{\ displaystyle h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega}}

{\ displaystyle h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega}}

plasarea $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ primesti:

h(0)=\int _{-\infty }^{\infty }{H(\omega )d\omega }

{\ displaystyle h (0) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega) d \ omega}}

{\ displaystyle h (0) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega) d \ omega}}

Din definiția corelației încrucișate între două semnale energetice avem:

R_{hg}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }{h(t)^{*}g(t+\tau )dt}

{\ displaystyle R_ {hg} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {h (t) ^ {*} g (t + \ tau) dt}}

{\ displaystyle R_ {hg} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {h (t) ^ {*} g (t + \ tau) dt}}

care transformându-se după Fourier dă, prin teorema citată:

S_{hg}(\omega )=H^{*}(\omega )G(\omega )

{\ displaystyle S_ {hg} (\ omega) = H ^ {*} (\ omega) G (\ omega)}

{\ displaystyle S_ {hg} (\ omega) = H ^ {*} (\ omega) G (\ omega)}

pentru care se concluzionează că:

R_{hg}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }{S_{hg}(\omega )d\omega }

{\ displaystyle R_ {hg} (0) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {S_ {hg} (\ omega) d \ omega}}

{\ displaystyle R_ {hg} (0) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {S_ {hg} (\ omega) d \ omega}}

adică:

\int _{-\infty }^{\infty }{h(t)g(t)^{*}dt}=\int _{-\infty }^{\infty }{H(\omega )G(\omega )^{*}d\omega }

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {h (t) g (t) ^ {*} dt} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega ) G (\ omega) ^ {*} d \ omega}}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {h (t) g (t) ^ {*} dt} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {H (\ omega ) G (\ omega) ^ {*} d \ omega}}

O teoremă analogă este valabilă pentru semnalele de putere , iar o dovadă alternativă se bazează pe teorema convoluției .

Exemple

Determinați puterea semnalului $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ perioadă $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ .

s(t)=3\sin {\Bigl (}{\frac {2\pi t}{T}}{\Bigr )}

{\ displaystyle s (t) = 3 \ sin {\ Bigl (} {\ frac {2 \ pi t} {T}} {\ Bigr)}}

{\ displaystyle s (t) = 3 \ sin {\ Bigl (} {\ frac {2 \ pi t} {T}} {\ Bigr)}}

P_{s}={\frac {E_{s}(T)}{T}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}

{\ displaystyle P_ {s} = {\ frac {E_ {s} (T)} {T}} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} }

{\ displaystyle P_ {s} = {\ frac {E_ {s} (T)} {T}} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} }

S(f)={\frac {3}{2i}}[\delta (f-f_{0})-\delta (f+f_{0})]

{\ displaystyle S (f) = {\ frac {3} {2i}} [\ delta (f-f_ {0}) - \ delta (f + f_ {0})]}

{\ displaystyle S (f) = {\ frac {3} {2i}} [\ delta (f-f_ {0}) - \ delta (f + f_ {0})]}

cu $f_{0}=1/T$ ${\ displaystyle f_ {0} = 1 / T}$ ${\ displaystyle f_ {0} = 1 / T}$ :

P_{s}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}=\left|{\frac {3}{2i}}\right|^{2}+\left|-{\frac {3}{2i}}\right|^{2}=\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}={\frac {9}{2}}

{\ displaystyle P_ {s} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} = \ left | {\ frac {3} {2i}} \ right | ^ {2} + \ left | - {\ frac {3} {2i}} \ right | ^ {2} = \ left ({\ frac {3} {2}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {3} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {9} {2}}}

{\ displaystyle P_ {s} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} = \ left | {\ frac {3} {2i}} \ right | ^ {2} + \ left | - {\ frac {3} {2i}} \ right | ^ {2} = \ left ({\ frac {3} {2}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {3} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {9} {2}}}

Notă

^ Plancherel, Michel (1910) "Contribution to the etude de la représentation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Reports of the Circolo Matematico di Palermo , vol. 30, paginile 298-335.

Bibliografie

( EN ) George B. Arfken și Hans J. Weber, Metode matematice pentru fizicieni (Harcourt: San Diego, 2001).
( EN ) Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
( EN ) Alan V. Oppenheim și Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
(EN) William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410-411.
( EN ) David W. Kammler, Un prim curs de analiză Fourier (Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) p. 74.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Parseval , arhiva MacTutor History of Mathematics .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Plancherel, Michel (1910) "Contribution to the etude de la représentation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Reports of the Circolo Matematico di Palermo , vol. 30, paginile 298-335.

[1]