Teorema lui Plancherel

În matematică , în special în analiza armonică , teorema lui Plancherel permite definirea transformatei Fourier a funcțiilor aparținând intersecției spațiului funcțiilor integrabile conform lui Lebesgue , notată cu $L^{1}$ ${\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ , și spațiul funcțiilor pătrate sumabile , notate cu $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ . În special, aplicația care își asociază transformarea, care aparține unei funcții, unei funcții $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ , este o izometrie din $L^{1}\cap L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {1} \ cap L ^ {2}}$ $L ^ {1} \ cap L ^ {2}$ în $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ care poate fi extins în mod unic la o izometrie din $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ in sinea lui.

Teorema, demonstrată pentru prima dată de Michel Plancherel , este valabilă în versiunea abstractă și pe grupurile abeliene compacte la nivel local. Mai general, există o versiune a teoremei care are sens pentru grupurile compacte local non-comutative (non-abeliene) care îndeplinesc anumite condiții inițiale și este o problemă a analizei armonice necomutative.

Un caz particular al acestei teoreme este teorema Parseval , deși ultimul termen este adesea folosit pentru a descrie unitaritatea oricărei transformate Fourier , în special în fizică și inginerie . ^[1]

Teorema

Teorema lui Plancherel afirmă că este posibil să se asocieze cu orice funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ din $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ o functie ${\hat {f}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ hat f}$ din $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ astfel încât să satisfacă următoarele proprietăți: ^[2]

De sine $f\in L^{1}\cap L^{2}$ ${\ displaystyle f \ in L ^ {1} \ cap L ^ {2}}$ $f \ în L ^ {1} \ cap L ^ {2}$ , asa de ${\hat {f}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ hat f}$ este transformata Fourier a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .
Pentru fiecare $f\in L^{2}$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {2}}$ $f \ în L ^ {2}$ avem:

\|{\hat {f}}\|_{2}=\|f\|_{2}

{\ displaystyle \ | {\ hat {f}} \ | _ {2} = \ | f \ | _ {2}}

\ | {\ hat f} \ | _ {2} = \ | f \ | _ {2}

Aplicația $f\to {\hat {f}}$ ${\ displaystyle f \ to {\ hat {f}}}$ $f \ to {\ hat f}$ este un izomorfism din $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ in sinea lui.
De sine:

\phi _{A}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-A}^{A}f(x)e^{-ixt}\,dx

{\ displaystyle \ phi _ {A} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- A} ^ {A} f (x) e ^ {- ixt} \, dx}

\ phi _ {A} (t) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \ int _ {{- A}} ^ {A} f (x) e ^ {{- ixt}} \, dx

si daca:

\psi _{A}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-A}^{A}{\hat {f}}(t)e^{ixt}\,dt

{\ displaystyle \ psi _ {A} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- A} ^ {A} {\ hat {f}} (t) e ^ {ixt} \, dt}

\ psi _ {A} (x) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \ int _ {{- A}} ^ {A} {\ hat {f}} (t ) și ^ {{ixt}} \, dt

asa de:

\lim _{A\to \infty }\|\phi _{A}-{\hat {f}}\|_{2}=0\qquad \lim _{A\to \infty }\|\psi _{A}-f\|_{2}=0

{\ displaystyle \ lim _ {A \ to \ infty} \ | \ phi _ {A} - {\ hat {f}} \ | _ {2} = 0 \ qquad \ lim _ {A \ to \ infty} \ | \ psi _ {A} -f \ | _ {2} = 0}

\ lim _ {{A \ to \ infty}} \ | \ phi _ {A} - {\ hat {f}} \ | _ {2} = 0 \ qquad \ lim _ {{A \ to \ infty}} \ | \ psi _ {A} -f \ | _ {2} = 0

De cand $L^{1}\cap L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {1} \ cap L ^ {2}}$ $L ^ {1} \ cap L ^ {2}$ Este dens în $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ , primele două proprietăți implică faptul că aplicația $f\to {\hat {f}}$ ${\ displaystyle f \ to {\ hat {f}}}$ $f \ to {\ hat f}$ este unic, în timp ce acesta din urmă se mai numește și inversiunea lui $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ .

Demonstrație

\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)g^{*}(t)dt=

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (t) g ^ {*} (t) dt =}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (t) g ^ {*} (t) dt =}

\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(n)e^{i2\pi nt}dn(\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {g}}(m)e^{i2\pi mt}dm)^{*}\,dt

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) e ^ {i2 \ pi nt} dn (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {g}} (m) e ^ {i2 \ pi mt} dm) ^ {*} \, dt}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) e ^ {i2 \ pi nt} dn (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {g}} (m) e ^ {i2 \ pi mt} dm) ^ {*} \, dt}

\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(n)e^{i2\pi nt}dn\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {g}}(m)^{*}e^{-i2\pi mt}dm\,dt

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) e ^ {i2 \ pi nt} dn \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {g}} (m) ^ {*} e ^ {- i2 \ pi mt} dm \, ​​dt}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) e ^ {i2 \ pi nt} dn \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {g}} (m) ^ {*} e ^ {- i2 \ pi mt} dm \, ​​dt}

=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(n){\hat {g}}(m)^{*}e^{-i2\pi (m-n)t}dtdndm

{\ displaystyle = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat { f}} (n) {\ hat {g}} (m) ^ {*} e ^ {- i2 \ pi (mn) t} dtdndm}

{\ displaystyle = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat { f}} (n) {\ hat {g}} (m) ^ {*} e ^ {- i2 \ pi (mn) t} dtdndm}

=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(n)\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {g}}(m)^{*}\delta (m-n)dmdn

{\ displaystyle = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {g}} ( m) ^ {*} \ delta (mn) dmdn}

{\ displaystyle = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {g}} ( m) ^ {*} \ delta (mn) dmdn}

=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(n){\hat {g}}(n)^{*}dn

{\ displaystyle = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) {\ hat {g}} (n) ^ {*} dn}

{\ displaystyle = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) {\ hat {g}} (n) ^ {*} dn}

^[3]

Notă

^ Plancherel, Michel (1910) "Contribution to the etude de la représentation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Reports of the Circolo Matematico di Palermo , vol. 30, paginile 298-335.
^ W. Rudin , pagina 187 .
^ https://mathworld.wolfram.com/PlancherelsTheorem.html

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
Plancherel, Michel (1910) "Contribution to the étude de la représentation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Reports of the Circolo Matematico di Palermo , vol. 30, paginile 298-335.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN )Teorema lui Plancherel despre Mathworld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Plancherel, Michel (1910) "Contribution to the etude de la représentation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Reports of the Circolo Matematico di Palermo , vol. 30, paginile 298-335.

[2] W. Rudin , pagina 187 .

[3] ttps://mathworld.wolfram.com/PlancherelsTheorem.html

[1]

[2]

[3]