Transformată Fourier în timp discret

În matematică , transformata Fourier în timp discret , adesea prescurtată ca DTFT (acronim al termenului englezesc Transformată Fourier în timp discret ), este o transformare care pornind de la un semnal discret oferă o descriere periodică a acesteia în domeniul frecvenței , similar cu transformă Fourier tradițional (definit pentru funcții continue).

Acesta este un caz particular al transformării zeta :

X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}

{\ displaystyle X (z) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \, z ^ {- n}}

X (z) = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x [n] \, z ^ {{- n}}

care se obține prin plasare $z=e^{i\omega }\,$ ${\ displaystyle z = e ^ {i \ omega} \,}$ $z = e ^ {{i \ omega}} \,$ . De cand $|e^{i\omega }|=1\,$ ${\ displaystyle | e ^ {i \ omega} | = 1 \,}$ $| e ^ {{i \ omega}} | = 1 \,$ , transformata Fourier în timp discret este evaluarea transformatei zeta pe cercul unității în planul complex .

Definiție

Dat fiind un set de numere întregi complexe $x[n]$ ${\ displaystyle x [n]}$ $x [n]$ , cu $n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$ $n \ in \ mathbb {Z}$ , transformata sa Fourier în timp discret este seria:

X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}

{\ displaystyle X (\ omega) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \, e ^ {- i \ omega n}}

{\ displaystyle X (\ omega) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \, e ^ {- i \ omega n}}

Transformarea inversă permite obținerea funcției originale pornind de la transformarea sa:

x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }X(\omega )\cdot e^{i\omega n}d\omega

{\ displaystyle x [n] = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {2 \ pi} X (\ omega) \ cdot e ^ {i \ omega n} d \ omega}

{\ displaystyle x [n] = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {2 \ pi} X (\ omega) \ cdot e ^ {i \ omega n} d \ omega}

Relația cu eșantionarea

Transformata Fourier în timp discret joacă un rol important atunci când studiază semnalele eșantionate, adică semnalele în timp discret obținute dintr-un semnal în timp continuu, luând în considerare valoarea asumată în momente precise de timp, de obicei separate printr-un interval de timp fix $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Procedura care permite obținerea unui semnal discret pornind de la unul continuu se numește eșantionare și este baza conversiei analog-digitale (ADC). Transformă o funcție continuă $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ în semnalul discret:

x[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z}

{\ displaystyle x [n] \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ x (nT) \ qquad \ forall \, n \ in \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle x [n] \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ x (nT) \ qquad \ forall \, n \ in \ mathbb {Z}}

cu $1/T$ ${\ displaystyle 1 / T}$ ${\ displaystyle 1 / T}$ rata de eșantionare . Teorema de eșantionare plasează o limită a frecvenței maxime a semnalului continuu, care nu poate fi mai mare de $1/(2T)$ ${\ displaystyle 1 / (2T)}$ ${\ displaystyle 1 / (2T)}$ dacă doriți să evitați pierderea informațiilor (fenomen aliasing ). Transformarea discretă a timpului oferă o aproximare a transformatei Fourier ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ :

{\mathcal {F}}(x(t))(f)=X(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (x (t)) (f) = X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) \ cdot e ^ {- i2 \ pi ft} dt}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (x (t)) (f) = X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) \ cdot e ^ {- i2 \ pi ft} dt}

De fapt, luând în considerare formula de însumare Poisson , care arată cum se obține o însumare periodică a unei funcții $X(f)$ ${\ displaystyle X (f)}$ $X (f)$ pornind de la mostrele unei funcții în timp continuu, avem:

X_{1/T}(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k/T\right)\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot x(nT)} _{x[n]}\ \underbrace {e^{-i2\pi fTn}} _{{\mathcal {F}}\{\delta (t-nT)\}}\ =\ {\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right\}

{\ displaystyle X_ {1 / T} (f) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ left (fk / T \ dreapta) \ equiv \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ underbrace {T \ cdot x (nT)} _ {x [n]} \ \ underbrace {e ^ {- i2 \ pi fTn} } _ {{\ mathcal {F}} \ {\ delta (t-nT) \}} \ = \ {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty } x [n] \ cdot \ delta (t-nT) \ right \}}

{\ displaystyle X_ {1 / T} (f) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ left (fk / T \ dreapta) \ equiv \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ underbrace {T \ cdot x (nT)} _ {x [n]} \ \ underbrace {e ^ {- i2 \ pi fTn} } _ {{\ mathcal {F}} \ {\ delta (t-nT) \}} \ = \ {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty } x [n] \ cdot \ delta (t-nT) \ right \}}

unde este $\scriptstyle X_{1/T}(f)\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle X_ {1 / T} (f) \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle X_ {1 / T} (f) \,}$ include copii exacte ale $\scriptstyle X(f)\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle X (f) \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle X (f) \,}$ tradus de un multiplu de $f_{s}$ ${\ displaystyle f_ {s}}$ $f_s$ și combinate prin adăugare. Pentru $f_{s}$ ${\ displaystyle f_ {s}}$ $f_s$ termenul este suficient de mare $K=0$ ${\ displaystyle K = 0}$ ${\ displaystyle K = 0}$ poate fi observat în regiune $[-f_{s}/2,f_{s}/2]$ ${\ displaystyle [-f_ {s} / 2, f_ {s} / 2]}$ ${\ displaystyle [-f_ {s} / 2, f_ {s} / 2]}$ , cu distorsiuni reduse sau deloc. O altă modalitate de a verifica acest lucru este următoarea:

{\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}&={\mathcal {F}}\left\{x(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*\underbrace {{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}} _{\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k/T)}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot x (nT) \ cdot \ delta (t-nT ) \ right \} & = {\ mathcal {F}} \ left \ {x (t) \ cdot T \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) \ right \ } \\ & = X (f) * \ underbrace {{\ mathcal {F}} \ left \ {T \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) \ right \ }} _ {\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (fk / T)} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ left (f- { \ frac {k} {T}} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot x (nT) \ cdot \ delta (t-nT ) \ right \} & = {\ mathcal {F}} \ left \ {x (t) \ cdot T \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) \ right \ } \\ & = X (f) * \ underbrace {{\ mathcal {F}} \ left \ {T \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) \ right \ }} _ {\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (fk / T)} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ left (f- { \ frac {k} {T}} \ right) \ end {align}}}

Mai mult, prin calcularea transformatei Fourier inverse a ambilor membri ai ecuației anterioare, se obține pieptenul Dirac modulat:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X_{1/T}(f)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot \ delta (t-nT) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left \ {X_ { 1 / T} (f) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X_ {1 / T} (f) \ cdot e ^ {i2 \ pi ft} df.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot \ delta (t-nT) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left \ {X_ { 1 / T} (f) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X_ {1 / T} (f) \ cdot e ^ {i2 \ pi ft} df.}

cu:

x[n]=T\int _{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }X(\omega )\cdot e^{i\omega n}d\omega

{\ displaystyle x [n] = T \ int _ {\ frac {1} {T}} X_ {1 / T} (f) \ cdot e ^ {i2 \ pi fnT} df = {\ frac {1} { 2 \ pi}} \ int _ {2 \ pi} X (\ omega) \ cdot e ^ {i \ omega n} d \ omega}

{\ displaystyle x [n] = T \ int _ {\ frac {1} {T}} X_ {1 / T} (f) \ cdot e ^ {i2 \ pi fnT} df = {\ frac {1} { 2 \ pi}} \ int _ {2 \ pi} X (\ omega) \ cdot e ^ {i \ omega n} d \ omega}

Intrare periodică

Dacă succesiunea de intrare $x[n]$ ${\ displaystyle x [n]}$ $x [n]$ este periodic cu perioada N este posibil să se extindă pieptenul Dirac în seria Fourier , obținând transformata Fourier discretă (DFT):

{\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right\}={\mathcal {F}}\left\{\underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{NT}}t}} _{Fourier\ series}\right\}=\underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\ \cdot \ \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right)} _{DTFT}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot \ delta (t-nT) \ right \} = {\ mathcal {F}} \ left \ {\ underbrace {\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X [k] \ cdot e ^ {i2 \ pi {\ frac {k} {NT}} t} } _ {Fourier \ series} \ right \} = \ underbrace {\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X [k] \ \ cdot \ \ delta \ left (f - {\ frac {k } {NT}} \ right)} _ {DTFT}}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot \ delta (t-nT) \ right \} = {\ mathcal {F}} \ left \ {\ underbrace {\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X [k] \ cdot e ^ {i2 \ pi {\ frac {k} {NT}} t} } _ {Fourier \ series} \ right \} = \ underbrace {\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X [k] \ \ cdot \ \ delta \ left (f - {\ frac {k } {NT}} \ right)} _ {DTFT}}

Această relație arată că periodicitatea în timp face ca transformarea Fourier în timp discret să fie discontinuă. Cu toate acestea, formula integrală poate fi redusă la o sumă de N termeni:

X[k]{\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {1}{NT}}\int _{NT}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right]e^{-i2\pi {\frac {k}{NT}}t}dt={\frac {1}{NT}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \int _{NT}\delta (t-nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{NT}}t}dt

{\ displaystyle X [k] {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ {\ frac {1} {NT}} \ int _ {NT} \ left [\ sum _ {n = - \ infty } ^ {\ infty} x [n] \ cdot \ delta (t-nT) \ right] e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {NT}} t} dt = {\ frac {1} { NT}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot \ int _ {NT} \ delta (t-nT) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac { k} {NT}} t} dt}

{\ displaystyle X [k] {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ {\ frac {1} {NT}} \ int _ {NT} \ left [\ sum _ {n = - \ infty } ^ {\ infty} x [n] \ cdot \ delta (t-nT) \ right] e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {NT}} t} dt = {\ frac {1} { NT}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot \ int _ {NT} \ delta (t-nT) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac { k} {NT}} t} dt}

={\frac {1}{NT}}\underbrace {\sum _{N}x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{DFT}={\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}x(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{DFT}

{\ displaystyle = {\ frac {1} {NT}} \ underbrace {\ sum _ {N} x [n] \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {N}} n}} _ {DFT} = {\ frac {1} {N}} \ underbrace {\ sum _ {N} x (nT) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {N}} n}} _ {DFT}}

{\ displaystyle = {\ frac {1} {NT}} \ underbrace {\ sum _ {N} x [n] \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {N}} n}} _ {DFT} = {\ frac {1} {N}} \ underbrace {\ sum _ {N} x (nT) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {N}} n}} _ {DFT}}

care este periodic în $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ .

Eșantionare DTFT

Dacă transformata Fourier în timp discret este o funcție continuă , este adesea utilizată pentru a lua în considerare un număr arbitrar de eșantioane ale unui ciclu al funcției periodice $X_{1/T}$ ${\ displaystyle X_ {1 / T}}$ ${\ displaystyle X_ {1 / T}}$ :

\underbrace {X_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{X_{k}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}=\underbrace {\sum _{N}x_{N}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{DFT}\qquad \quad k=0,\dots ,N-1

{\ displaystyle \ underbrace {X_ {1 / T} \ left ({\ frac {k} {NT}} \ right)} _ {X_ {k}} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {kn} {N}}} = \ underbrace {\ sum _ {N} x_ {N} [n] \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {kn} {N}}}} _ {DFT} \ qquad \ quad k = 0, \ dots, N-1}

{\ displaystyle \ underbrace {X_ {1 / T} \ left ({\ frac {k} {NT}} \ right)} _ {X_ {k}} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {kn} {N}}} = \ underbrace {\ sum _ {N} x_ {N} [n] \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {kn} {N}}}} _ {DFT} \ qquad \ quad k = 0, \ dots, N-1}

unde este $X_{N}$ ${\ displaystyle X_ {N}}$ ${\ displaystyle X_ {N}}$ este suma periodică:

x_{N}[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN]

{\ displaystyle x_ {N} [n] \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x [n-mN]}

{\ displaystyle x_ {N} [n] \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x [n-mN]}

Succesiunea $x_{N}$ ${\ displaystyle x_ {N}}$ ${\ displaystyle x_ {N}}$ este inversul transformatei Fourier discrete . În acest fel, eșantionarea efectuată în acest mod implică faptul că transformarea inversă este periodică.

Pentru a evalua numeric un ciclu de $x_{N}$ ${\ displaystyle x_ {N}}$ ${\ displaystyle x_ {N}}$ este necesară o succesiune $x[n]$ ${\ displaystyle x [n]}$ $x [n]$ de lungime finită. În acest scop, o secvență este adesea tăiată prin intermediul unei funcții de fereastră de lungime adecvată. ^[1] ^[2]

Transformări notabile

Lasa-i sa fie $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ domeniul de timp discret, $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ frecvența unghiulară (un număr real în $(-\pi ,\ \pi )$ ${\ displaystyle (- \ pi, \ \ pi)}$ ${\ displaystyle (- \ pi, \ \ pi)}$ măsurat în radiani / eșantion), $u[n]$ ${\ displaystyle u [n]}$ ${\ displaystyle u [n]}$ pasul Heaviside în timp discret, $\operatorname {sinc} (t)$ ${\ displaystyle \ operatorname {sinc} (t)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {sinc} (t)}$ funcția sinc normalizată, $\delta (\omega )$ ${\ displaystyle \ delta (\ omega)}$ ${\ displaystyle \ delta (\ omega)}$ Delta Dirac , $\delta [n]$ ${\ displaystyle \ delta [n]}$ ${\ displaystyle \ delta [n]}$ delta Kronecker , $\operatorname {rect} (t)$ ${\ displaystyle \ operatorname {rect} (t)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {rect} (t)}$ funcția dreptunghiular :

\mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}

{\ displaystyle \ mathrm {rect} (t) = \ sqcap (t) = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} | t |> {\ frac {1} {2}} \\ [ 3pt] {\ frac {1} {2}} & {\ mbox {if}} | t | = {\ frac {1} {2}} \\ [3pt] 1 & {\ mbox {if}} | t | <{\ frac {1} {2}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ mathrm {rect} (t) = \ sqcap (t) = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} | t |> {\ frac {1} {2}} \\ [ 3pt] {\ frac {1} {2}} & {\ mbox {if}} | t | = {\ frac {1} {2}} \\ [3pt] 1 & {\ mbox {if}} | t | <{\ frac {1} {2}} \ end {cases}}}

Și $\operatorname {tri} (t)$ ${\ displaystyle \ operatorname {tri} (t)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tri} (t)}$ funcția triunghi:

\operatorname {tri} (t)=\land (t)={\begin{cases}1+t;&-1\leq t\leq 0\\1-t;&0<t\leq 1\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}

{\ displaystyle \ operatorname {tri} (t) = \ land (t) = {\ begin {cases} 1 + t; & - 1 \ leq t \ leq 0 \\ 1-t; & 0 <t \ leq 1 \ \ 0 & {\ mbox {altfel}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ operatorname {tri} (t) = \ land (t) = {\ begin {cases} 1 + t; & - 1 \ leq t \ leq 0 \\ 1-t; & 0 <t \ leq 1 \ \ 0 & {\ mbox {altfel}} \ end {cases}}}

Domeniul timpului $x[n]\,$ ${\ displaystyle x [n] \,}$ ${\ displaystyle x [n] \,}$	Domeniul de frecventa $X(\omega )\,$ ${\ displaystyle X (\ omega) \,}$ ${\ displaystyle X (\ omega) \,}$	Observații
$\delta [n]\!$ ${\ displaystyle \ delta [n] \!}$ ${\ displaystyle \ delta [n] \!}$	$1\!$ ${\ displaystyle 1 \!}$ ${\ displaystyle 1 \!}$
$\delta [n-M]\!$ ${\ displaystyle \ delta [nM] \!}$ ${\ displaystyle \ delta [n-M] \!}$	$e^{-i\omega M}\!$ ${\ displaystyle e ^ {- i \ omega M} \!}$ ${\ displaystyle e ^ {- i \ omega M} \!}$	$M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ întreg
$\sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta [n-Mm]\!$ ${\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta [n-Mm] \!}$ ${\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta [n-Mm] \!}$	$\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega Mm}={\frac {1}{M}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left({\frac {\omega }{2\pi }}-{\frac {k}{M}}\right)\,$ ${\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \ omega Mm} = {\ frac {1} {M}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ { \ infty} \ delta \ left ({\ frac {\ omega} {2 \ pi}} - {\ frac {k} {M}} \ right) \,}$ ${\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \ omega Mm} = {\ frac {1} {M}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ { \ infty} \ delta \ left ({\ frac {\ omega} {2 \ pi}} - {\ frac {k} {M}} \ right) \,}$	$M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ întreg
$u[n]\!$ ${\ displaystyle u [n] \!}$ ${\ displaystyle u [n] \!}$	${\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{\pi \delta (\omega -2\pi k)}\!$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1-e ^ {- i \ omega}}} + \ sum \ limits _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ pi \ delta (\ omega -2 \ pi k)} \!}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1-e ^ {- i \ omega}}} + \ sum \ limits _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ pi \ delta (\ omega -2 \ pi k)} \!}$	Termenul $1/(1-e^{-i\omega })$ ${\ displaystyle 1 / (1-e ^ {- i \ omega})}$ ${\ displaystyle 1 / (1-e ^ {- i \ omega})}$ trebuie interpretat ca o distribuție .
$a^{n}u[n]\!$ ${\ displaystyle a ^ {n} u [n] \!}$ ${\ displaystyle a ^ {n} u [n] \!}$	${\frac {1}{1-ae^{-i\omega }}}\!$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1-ae ^ {- i \ omega}}} \!}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1-ae ^ {- i \ omega}}} \!}$	$0<\|a\|<1$ ${\ displaystyle 0 <\| a \| <1}$ ${\ displaystyle 0 <\| a \| <1}$
$e^{-ian}\!$ ${\ displaystyle e ^ {- ian} \!}$ ${\ displaystyle e ^ {- ian} \!}$	$2\pi \delta (\omega +a)\,$ ${\ displaystyle 2 \ pi \ delta (\ omega + a) \,}$ ${\ displaystyle 2 \ pi \ delta (\ omega + a) \,}$	$a\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ $a \ in \ R$
$\cos(an)\!$ ${\ displaystyle \ cos (an) \!}$ ${\ displaystyle \ cos (an) \!}$	$\pi \left[\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)\right]$ ${\ displaystyle \ pi \ left [\ delta (\ omega -a) + \ delta (\ omega + a) \ right]}$ ${\ displaystyle \ pi \ left [\ delta (\ omega -a) + \ delta (\ omega + a) \ right]}$	$a\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ $a \ in \ R$
$\sin(an)\!$ ${\ displaystyle \ sin (an) \!}$ ${\ displaystyle \ sin (an) \!}$	${\frac {\pi }{i}}\left[\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)\right]$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {i}} \ left [\ delta (\ omega -a) - \ delta (\ omega + a) \ right]}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {i}} \ left [\ delta (\ omega -a) - \ delta (\ omega + a) \ right]}$	$a\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ $a \ in \ R$
$\mathrm {rect} \left[{(n-M/2) \over M}\right]$ ${\ displaystyle \ mathrm {rect} \ left [{(nM / 2) \ over M} \ right]}$ ${\ displaystyle \ mathrm {rect} \ left [{(n-M / 2) \ over M} \ right]}$	${\sin[\omega (M+1)/2] \over \sin(\omega /2)}\,e^{-i\omega M/2}\!$ ${\ displaystyle {\ sin [\ omega (M + 1) / 2] \ over \ sin (\ omega / 2)} \, e ^ {- i \ omega M / 2} \!}$ ${\ displaystyle {\ sin [\ omega (M + 1) / 2] \ over \ sin (\ omega / 2)} \, e ^ {- i \ omega M / 2} \!}$	$M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ întreg
$\operatorname {sinc} [(a+n)]$ ${\ displaystyle \ operatorname {sinc} [(a + n)]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {sinc} [(a + n)]}$	$e^{ia\omega }\!$ ${\ displaystyle e ^ {ia \ omega} \!}$ ${\ displaystyle e ^ {ia \ omega} \!}$	$a\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ $a \ in \ R$
$W\cdot \operatorname {sinc} ^{2}(Wn)\,$ ${\ displaystyle W \ cdot \ operatorname {sinc} ^ {2} (Wn) \,}$ ${\ displaystyle W \ cdot \ operatorname {sinc} ^ {2} (Wn) \,}$	$\operatorname {tri} \left({\omega \over 2\pi W}\right)$ ${\ displaystyle \ operatorname {tri} \ left ({\ omega \ over 2 \ pi W} \ right)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tri} \ left ({\ omega \ over 2 \ pi W} \ right)}$	$0<W\leq 0.5\quad \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle 0 <W \ leq 0.5 \ quad \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle 0 <W \ leq 0.5 \ quad \ in \ mathbb {R}}$
$W\cdot \operatorname {sinc} (Wn)$ ${\ displaystyle W \ cdot \ operatorname {sinc} (Wn)}$ ${\ displaystyle W \ cdot \ operatorname {sinc} (Wn)}$	$\operatorname {rect} \left({\omega \over 2\pi W}\right)$ ${\ displaystyle \ operatorname {rect} \ left ({\ omega \ over 2 \ pi W} \ right)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {rect} \ left ({\ omega \ over 2 \ pi W} \ right)}$	$0<W\leq 1\quad \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle 0 <W \ leq 1 \ quad \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle 0 <W \ leq 1 \ quad \ in \ mathbb {R}}$
${\begin{cases}0&n=0\\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\mbox{elsewhere}}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} 0 & n = 0 \\ {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}} și {\ mbox {în altă parte}} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} 0 & n = 0 \\ {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}} și {\ mbox {în altă parte}} \ end {cases}}}$	$j\omega$ ${\ displaystyle j \ omega}$ $j \ omega$	Filtru diferențiator
${\frac {W}{(n+a)}}\left\{\cos[\pi W(n+a)]-\operatorname {sinc} [W(n+a)]\right\}$ ${\ displaystyle {\ frac {W} {(n + a)}} \ left \ {\ cos [\ pi W (n + a)] - \ operatorname {sinc} [W (n + a)] \ right \ }}$ ${\ displaystyle {\ frac {W} {(n + a)}} \ left \ {\ cos [\ pi W (n + a)] - \ operatorname {sinc} [W (n + a)] \ right \ }}$	$j\omega \cdot \operatorname {rect} \left({\omega \over \pi W}\right)e^{ja\omega }$ ${\ displaystyle j \ omega \ cdot \ operatorname {rect} \ left ({\ omega \ over \ pi W} \ right) e ^ {ja \ omega}}$ ${\ displaystyle j \ omega \ cdot \ operatorname {rect} \ left ({\ omega \ over \ pi W} \ right) e ^ {ja \ omega}}$	$0<W\leq 1\quad \in \mathbb {R} \qquad a\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle 0 <W \ leq 1 \ quad \ in \ mathbb {R} \ qquad a \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle 0 <W \ leq 1 \ quad \ in \ mathbb {R} \ qquad a \ in \ mathbb {R}}$
${\frac {1}{\pi n^{2}}}[(-1)^{n}-1]\!$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi n ^ {2}}} [(- 1) ^ {n} -1] \!}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi n ^ {2}}} [(- 1) ^ {n} -1] \!}$	$\|\omega \|\!$ ${\ displaystyle \| \ omega \| \!}$ ${\ displaystyle \| \ omega \| \!}$
${\begin{cases}0;&n{\mbox{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}};&n{\mbox{ odd}}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} 0; & n {\ mbox {even}} \\ {\ frac {2} {\ pi n}}; & n {\ mbox {odd}} \ end {cases}} }$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} 0; & n {\ mbox {even}} \\ {\ frac {2} {\ pi n}}; & n {\ mbox {odd}} \ end {cases}} }$	${\begin{cases}j&\omega <0\\0&\omega =0\\-j&\omega >0\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} j & \ omega <0 \\ 0 & \ omega = 0 \\ - j & \ omega> 0 \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} j & \ omega <0 \\ 0 & \ omega = 0 \\ - j & \ omega> 0 \ end {cases}}}$	Transformarea lui Hilbert
${\frac {C(A+B)}{2\pi }}\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A-B}{2\pi }}n\right]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A+B}{2\pi }}n\right]$ ${\ displaystyle {\ frac {C (A + B)} {2 \ pi}} \ cdot \ operatorname {sinc} \ left [{\ frac {AB} {2 \ pi}} n \ right] \ cdot \ operatorname {sinc} \ left [{\ frac {A + B} {2 \ pi}} n \ right]}$ ${\ displaystyle {\ frac {C (A + B)} {2 \ pi}} \ cdot \ operatorname {sinc} \ left [{\ frac {AB} {2 \ pi}} n \ right] \ cdot \ operatorname {sinc} \ left [{\ frac {A + B} {2 \ pi}} n \ right]}$		$A,B\in R\quad B\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle A, B \ in R \ quad B \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle A, B \ in R \ quad B \ in \ mathbb {C}}$

Proprietate

Lasa-i sa fie $*\!$ ${\ displaystyle * \!}$ ${\ displaystyle * \!}$ convoluția discretă a două secvențe și $x[n]^{*}\!$ ${\ displaystyle x [n] ^ {*} \!}$ ${\ displaystyle x [n] ^ {*} \!}$ complexul conjugat al $x[n]\!$ ${\ displaystyle x [n] \!}$ ${\ displaystyle x [n] \!}$ .

Proprietate	Domeniul timpului $x[n]\!$ ${\ displaystyle x [n] \!}$ ${\ displaystyle x [n] \!}$	Domeniul de frecventa $X(\omega )\!$ ${\ displaystyle X (\ omega) \!}$ ${\ displaystyle X (\ omega) \!}$	Observații
Linearitatea	$ax[n]+by[n]\!$ ${\ displaystyle ax [n] + de [n] \!}$ ${\ displaystyle ax [n] + de [n] \!}$	$aX(e^{i\omega })+bY(e^{i\omega })\!$ ${\ displaystyle aX (e ^ {i \ omega}) + bY (e ^ {i \ omega}) \!}$ ${\ displaystyle aX (e ^ {i \ omega}) + bY (e ^ {i \ omega}) \!}$
Traducerea timpului	$x[n-k]\!$ ${\ displaystyle x [nk] \!}$ ${\ displaystyle x [n-k] \!}$	$X(e^{i\omega })e^{-i\omega k}\!$ ${\ displaystyle X (e ^ {i \ omega}) e ^ {- i \ omega k} \!}$ ${\ displaystyle X (e ^ {i \ omega}) e ^ {- i \ omega k} \!}$	$k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ întreg
Traducerea în frecvență	$x[n]e^{ian}\!$ ${\ displaystyle x [n] e ^ {ian} \!}$ ${\ displaystyle x [n] e ^ {ian} \!}$	$X(e^{i(\omega -a)})\!$ ${\ displaystyle X (e ^ {i (\ omega -a)}) \!}$ ${\ displaystyle X (e ^ {i (\ omega -a)}) \!}$	$a\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ $a \ in \ R$
Inversarea timpului	$x[-n]\!$ ${\ displaystyle x [-n] \!}$ ${\ displaystyle x [-n] \!}$	$X(e^{-i\omega })\!$ ${\ displaystyle X (e ^ {- i \ omega}) \!}$ ${\ displaystyle X (e ^ {- i \ omega}) \!}$
Conjugarea temporală	$x[n]^{}\!$ ${\ displaystyle x [n] ^ {} \!}$ ${\ displaystyle x [n] ^ {*} \!}$	$X(e^{-i\omega })^{}\!$ ${\ displaystyle X (e ^ {- i \ omega}) ^ {} \!}$ ${\ displaystyle X (e ^ {- i \ omega}) ^ {*} \!}$
Inversarea timpului și conjugarea	$x[-n]^{}\!$ ${\ displaystyle x [-n] ^ {} \!}$ ${\ displaystyle x [-n] ^ {*} \!}$	$X(e^{i\omega })^{}\!$ ${\ displaystyle X (e ^ {i \ omega}) ^ {} \!}$ ${\ displaystyle X (e ^ {i \ omega}) ^ {*} \!}$
Derivat	${\frac {n}{i}}x[n]\!$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {i}} x [n] \!}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {i}} x [n] \!}$	${\frac {dX(e^{i\omega })}{d\omega }}\!$ ${\ displaystyle {\ frac {dX (e ^ {i \ omega})} {d \ omega}} \!}$ ${\ displaystyle {\ frac {dX (e ^ {i \ omega})} {d \ omega}} \!}$
Grâu integral	${\frac {i}{n}}x[n]\!$ ${\ displaystyle {\ frac {i} {n}} x [n] \!}$ ${\ displaystyle {\ frac {i} {n}} x [n] \!}$	$\int _{-\pi }^{\omega }X(e^{i\vartheta })d\vartheta \!$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ pi} ^ {\ omega} X (e ^ {i \ vartheta}) d \ vartheta \!}$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ pi} ^ {\ omega} X (e ^ {i \ vartheta}) d \ vartheta \!}$
Convoluţie	$x[n]y[n]\!$ ${\ displaystyle x [n] y [n] \!}$ ${\ displaystyle x [n] * y [n] \!}$	$X(e^{i\omega })\cdot Y(e^{i\omega })\!$ ${\ displaystyle X (e ^ {i \ omega}) \ cdot Y (e ^ {i \ omega}) \!}$ ${\ displaystyle X (e ^ {i \ omega}) \ cdot Y (e ^ {i \ omega}) \!}$
Multiplicare	$x[n]\cdot y[n]\!$ ${\ displaystyle x [n] \ cdot y [n] \!}$ ${\ displaystyle x [n] \ cdot y [n] \!}$	${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{X(e^{i\vartheta })\cdot Y(e^{i(\omega -\vartheta )})d\vartheta }\!$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {X (e ^ {i \ vartheta}) \ cdot Y (e ^ {i (\ omega - \ vartheta)}) d \ vartheta} \!}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {X (e ^ {i \ vartheta}) \ cdot Y (e ^ {i (\ omega - \ vartheta)}) d \ vartheta} \!}$	Convoluție periodică
Corelarea încrucișată	$\rho _{xy}[n]=x[-n]^{}y[n]\!$ ${\ displaystyle \ rho _ {xy} [n] = x [-n] ^ {} y [n] \!}$ ${\ displaystyle \ rho _ {xy} [n] = x [-n] ^ {} y [n] \!}$	$R_{xy}(\omega )=X(e^{i\omega })^{}\cdot Y(e^{i\omega })\!$ ${\ displaystyle R_ {xy} (\ omega) = X (e ^ {i \ omega}) ^ {} \ cdot Y (e ^ {i \ omega}) \!}$ ${\ displaystyle R_ {xy} (\ omega) = X (e ^ {i \ omega}) ^ {*} \ cdot Y (e ^ {i \ omega}) \!}$
Teorema lui Parseval	$E=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x[n]\cdot y^{}[n]}\!$ ${\ displaystyle E = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {x [n] \ cdot y ^ {} [n]} \!}$ ${\ displaystyle E = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {x [n] \ cdot y ^ {*} [n]} \!}$	$E={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{X(e^{i\omega })\cdot Y^{}(e^{i\omega })d\omega }\!$ ${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {X (e ^ {i \ omega}) \ cdot Y ^ {} (și ^ {i \ omega}) d \ omega} \!}$ ${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {X (e ^ {i \ omega}) \ cdot Y ^ {*} (și ^ {i \ omega}) d \ omega} \!}$

Transformarea poate fi, de asemenea, descompusă atât în părți reale, cât și în părți imaginare și, respectiv, în două funcții, pare și impar:

X(e^{i\omega })=X_{R}(e^{i\omega })+iX_{I}(e^{i\omega })\qquad X(e^{i\omega })=X_{E}(e^{i\omega })+X_{O}(e^{i\omega })\!

{\ displaystyle X (e ^ {i \ omega}) = X_ {R} (e ^ {i \ omega}) + iX_ {I} (e ^ {i \ omega}) \ qquad X (e ^ {i \ omega}) = X_ {E} (e ^ {i \ omega}) + X_ {O} (e ^ {i \ omega}) \!}

{\ displaystyle X (e ^ {i \ omega}) = X_ {R} (e ^ {i \ omega}) + iX_ {I} (e ^ {i \ omega}) \ qquad X (e ^ {i \ omega}) = X_ {E} (e ^ {i \ omega}) + X_ {O} (e ^ {i \ omega}) \!}

Domeniul timpului $x[n]\!$ ${\ displaystyle x [n] \!}$ ${\ displaystyle x [n] \!}$	Domeniul de frecventa $X(e^{i\omega })\!$ ${\ displaystyle X (e ^ {i \ omega}) \!}$ ${\ displaystyle X (e ^ {i \ omega}) \!}$
$x^{}[n]\!$ ${\ displaystyle x ^ {} [n] \!}$ ${\ displaystyle x ^ {*} [n] \!}$	$X^{}(e^{-i\omega })\!$ ${\ displaystyle X ^ {} (e ^ {- i \ omega}) \!}$ ${\ displaystyle X ^ {*} (e ^ {- i \ omega}) \!}$
$x^{}[-n]\!$ ${\ displaystyle x ^ {} [- n] \!}$ ${\ displaystyle x ^ {*} [- n] \!}$	$X^{}(e^{i\omega })\!$ ${\ displaystyle X ^ {} (e ^ {i \ omega}) \!}$ ${\ displaystyle X ^ {*} (e ^ {i \ omega}) \!}$

Notă

^ Charles Constantine Gumas, Window-presum FFT atinge un nivel dinamic ridicat, rezoluție , în Personal Engineering & Instrumentation News , iulie 1997, pp. 58–64.
^ Richard G. Lyons, Trucuri DSP: Construirea unui analizor practic de spectru , eetimes.com , EE Times, iunie 2008.

Bibliografie

Alan V. Oppenheim și Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing , Ediția a II-a, Prentice Hall Signal Processing Series, 1999, ISBN 0-13-754920-2 .
William McC. Siebert, circuite, semnale și sisteme , seria MIT de inginerie electrică și informatică. Cambridge, MA, MIT Press, 1986.
Boaz Porat,Un curs de procesare digitală a semnalului , John Wiley și Sons, 1941, pp. 27-29 și 104-105, ISBN 0-471-14961-6 .

Elemente conexe

Portal de verificări automate

Portalul de matematică

[1] Charles Constantine Gumas, Window-presum FFT atinge un nivel dinamic ridicat, rezoluție , în Personal Engineering & Instrumentation News , iulie 1997, pp. 58–64.

[2] Richard G. Lyons, Trucuri DSP: Construirea unui analizor practic de spectru , eetimes.com , EE Times, iunie 2008.

[1]

[2]

Domeniul timpului $x[n]\!$ ${\ displaystyle x [n] \!}$ ${\ displaystyle x [n] \!}$	Domeniul de frecventa $X(e^{i\omega })\!$ ${\ displaystyle X (e ^ {i \ omega}) \!}$ ${\ displaystyle X (e ^ {i \ omega}) \!}$
$x^{}[n]\!$ ${\ displaystyle x ^ {} [n] \!}$ ${\ displaystyle x ^ {*} [n] \!}$	$X^{}(e^{-i\omega })\!$ ${\ displaystyle X ^ {} (e ^ {- i \ omega}) \!}$ ${\ displaystyle X ^ {*} (e ^ {- i \ omega}) \!}$
$x^{}[-n]\!$ ${\ displaystyle x ^ {} [- n] \!}$ ${\ displaystyle x ^ {*} [- n] \!}$	$X^{}(e^{i\omega })\!$ ${\ displaystyle X ^ {} (e ^ {i \ omega}) \!}$ ${\ displaystyle X ^ {*} (e ^ {i \ omega}) \!}$