Pieptene Dirac

Un pieptene Dirac este o serie infinită de distribuții delta Dirac intercalate la o distanță T

În matematică , pieptenul Dirac (cunoscut și sub numele de tren de impulsuri sau funcție de eșantionare în ingineria electrică , unde este o reprezentare matematică a pieptenei de frecvență ) este o distribuție periodică construită dintr-o sumă a deltei lui Dirac :

\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)

{\ displaystyle \ Delta _ {T} (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-kT) }

{\ displaystyle \ Delta _ {T} (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-kT) }

cu perioada T dată. Unii autori, în special Bracewell, precum și unii autori de manuale de inginerie electrică și teoria circuitelor, se referă la aceasta drept funcția Shah (poate pentru că graficul său seamănă cu forma literei chirilice sha Ш). Deoarece funcția de pieptene Dirac este periodică, poate fi reprezentată ca o serie Fourier :

\Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}.

{\ displaystyle \ Delta _ {T} (t) = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi nt / T}.}

{\ displaystyle \ Delta _ {T} (t) = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi nt / T}.}

Proprietăți de redescalare

Proprietatea scării urmează direct din proprietățile funcției delta Dirac

\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)=|\alpha |\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta {\bigg (}\alpha \cdot (t-kT){\bigg )}.

{\ displaystyle \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-kT) = | \ alpha | \ cdot \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta { \ bigg (} \ alpha \ cdot (t-kT) {\ bigg)}.}

{\ displaystyle \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-kT) = | \ alpha | \ cdot \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta { \ bigg (} \ alpha \ cdot (t-kT) {\ bigg)}.}

Seria Fourier

Este clar că Δ _T (t) este periodic cu perioada T. Adică

\Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)

{\ displaystyle \ Delta _ {T} (t + T) = \ Delta _ {T} (t)}

{\ displaystyle \ Delta _ {T} (t + T) = \ Delta _ {T} (t)}

pentru fiecare t . Seria Fourier pentru o astfel de funcție periodică este

\Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}\

{\ displaystyle \ Delta _ {T} (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {i2 \ pi nt / T} \}

{\ displaystyle \ Delta _ {T} (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {i2 \ pi nt / T} \}

unde coeficienții Fourier, c _n sunt

$c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$	$={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )$ ${\ displaystyle = {\ frac {1} {T}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} \ Delta _ {T} (t) e ^ {- i2 \ pi nt / T} \, dt \ quad (- \ infty <t_ {0} <+ \ infty)}$ ${\ displaystyle = {\ frac {1} {T}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} \ Delta _ {T} (t) e ^ {- i2 \ pi nt / T} \, dt \ quad (- \ infty <t_ {0} <+ \ infty)}$
	$={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\$ ${\ displaystyle = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ Delta _ {T} (t) e ^ {- i2 \ pi nt / T} \ , dt \}$ ${\ displaystyle = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ Delta _ {T} (t) e ^ {- i2 \ pi nt / T} \ , dt \}$
	$={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\$ ${\ displaystyle = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t) e ^ {- i2 \ pi nt / T} \, dt \}$ ${\ displaystyle = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t) e ^ {- i2 \ pi nt / T} \, dt \}$
	$={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n\,0/T}\$ ${\ displaystyle = {\ frac {1} {T}} e ^ {- i2 \ pi n \, 0 / T} \}$ ${\ displaystyle = {\ frac {1} {T}} e ^ {- i2 \ pi n \, 0 / T} \}$
	$={\frac {1}{T}}.\$ ${\ displaystyle = {\ frac {1} {T}}. \}$ ${\ displaystyle = {\ frac {1} {T}}. \}$

Toți coeficienții Fourier sunt 1 / T și, prin urmare:

\Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}.

{\ displaystyle \ Delta _ {T} (t) = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi nt / T}.}

{\ displaystyle \ Delta _ {T} (t) = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi nt / T}.}

Transformată Fourier

Transformata Fourier a unui pieptene Dirac este, de asemenea, un pieptene Dirac (o proprietate împărtășită cu funcția Gaussiană a varianței 1). Folosind respectiv frecvența sau frecvența unghiulară, transformarea se scrie:

Următoarele formule sunt adesea denumite „a doua formulă Poisson”: de fapt este unică, dar două reprezentări echivalente vor fi prezentate mai jos:

în domeniul frecvenței:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {1 \over T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{k \over T}\right)\quad =\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi fnT}.

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) \ quad {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} \ quad {1 \ over T} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (f- {k \ over T} \ right) \ quad = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} și ^ {i2 \ pi fnT}.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) \ quad {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} \ quad {1 \ over T} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (f- {k \ over T} \ right) \ quad = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} și ^ {i2 \ pi fnT}.}

în domeniul pulsației:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\frac {2\pi }{T}}\right)\quad ={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i\omega nT}.

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) \ quad {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} \ quad {\ frac {2 \ pi} {T}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (\ omega -k {\ frac {2 \ pi} {T}} \ right) \ quad = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} și ^ {i \ omega nT}.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) \ quad {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} \ quad {\ frac {2 \ pi} {T}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (\ omega -k {\ frac {2 \ pi} {T}} \ right) \ quad = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} și ^ {i \ omega nT}.}

Eșantionare și aliasing

Același subiect în detaliu: teorema de eșantionare Nyquist-Shannon .

Reconstrucția unui semnal continuu din eșantioane prelevate la intervale de eșantionare T se face printr-un fel de interpolare, cum ar fi formula de interpolare Whittaker-Shannon . Matematic, acest proces este adesea modelat ca ieșirea unui filtru trece jos a cărui intrare este un pieptene Dirac ai cărui dinți au fost ponderati pe baza valorilor eșantionului. Un astfel de pieptene este echivalent cu produsul unui pieptene Dirac cu semnalul continuu original. Această abstractizare matematică este adesea descrisă ca „eșantionare” în scopul introducerii temelor de aliasing și a teoremei de eșantionare Nyquist-Shannon.

Elemente conexe

Notă

( EN ) RN Bracewell, Transformata Fourier și aplicațiile sale , revizuită, McGraw-Hill, 1986 .; Prima ed. 1965, a 2-a ed. 1978.
( EN ) În Córdoba, Dirac combs , în Letters in Mathematical Physics , vol. 17, n. 3, 1989, pp. 191–196, DOI : 10.1007 / BF00401584 .

Portal electrotehnic

Portalul de fizică

Portalul de matematică