Distribuție (matematică)

În analiza matematică , distribuțiile , cunoscute și sub numele de funcții generalizate , sunt obiecte care generalizează conceptul de funcție . Ele au o mare importanță în diverse domenii ale fizicii și ingineriei , unde multe probleme necontinue duc în mod natural la ecuații diferențiale ale căror soluții sunt distribuții.

Toate spațiile funcționale obișnuite sunt incluse în spațiul distribuțiilor, de la funcții continue la funcții integrabile conform Lebesgue și nu numai. Pentru ei, definiția derivatului poate fi extinsă în cea a unui derivat de distribuție sau slab , astfel încât fiecare distribuție să fie diferențiată și derivata sa să fie încă o distribuție. Această caracteristică face ca setul de distribuții să fie mediul ideal pentru formularea și studierea ecuațiilor diferențiale parțiale , în special în formularea slabă a problemelor diferențiale clasice.

Fizicianul Paul Dirac le-a folosit la sfârșitul anilor 1920 pentru studiile sale despre mecanica cuantică , deși nu a dat o definiție riguroasă. Definiția matematică a „funcțiilor generalizate” a fost formulată ulterior de Sergej L'vovič Sobolev în 1935. Teoria distribuțiilor a fost dezvoltată ulterior de Laurent Schwartz . Cea mai importantă dintre funcțiile generalizate, care nu este o funcție obișnuită, este așa-numita delta Dirac .

Definiție

Pentru a defini conceptul de distribuție este necesar să se introducă spațiul funcțiilor de testare : dualul său este spațiul distribuțiilor.

Spațiul funcțiilor de testare

Același subiect în detaliu: Funcția de testare .

O functie $\phi \colon U\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ phi \ colon U \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ phi \ colon U \ to \ mathbb {R}}$ se spune că are suport compact dacă există un subset compact $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ din $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ astfel încât $\phi (x)=0$ ${\ displaystyle \ phi (x) = 0}$ $\ phi (x) = 0$ pentru fiecare $x\in U$ ${\ displaystyle x \ în U}$ $x \ în U$ care nu aparține $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . O funcție de testare este o funcție variabilă reală netedă , compatibilă , definită pe spațiul euclidian . Spațiul funcțiilor de testare este spațiul vectorial $D(U)$ ${\ displaystyle D (U)}$ $D (U)$ .

Spaţiu $D(U)$ ${\ displaystyle D (U)}$ $D (U)$ poate fi prevăzută cu o topologie prin definirea limitei unei succesiuni a elementelor sale. O succesiune $\phi _{k}$ ${\ displaystyle \ phi _ {k}}$ $\ phi _ {k}$ converge la $\phi \in D(U)$ ${\ displaystyle \ phi \ în D (U)}$ $\ phi \ în D (U)$ dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

Există un întreg compact $K\subset U$ ${\ displaystyle K \ subset U}$ $K \ subset U$ care conține suportul tuturor secvențelor $\phi _{k}$ ${\ displaystyle \ phi _ {k}}$ $\ phi _ {k}$ :

\bigcup _{k}\operatorname {supp} (\phi _{k})\subset K.

{\ displaystyle \ bigcup _ {k} \ operatorname {supp} (\ phi _ {k}) \ subset K.}

{\ displaystyle \ bigcup _ {k} \ operatorname {supp} (\ phi _ {k}) \ subset K.}

Pentru fiecare index multiplu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , succesiunea derivatelor parțiale $D^{\alpha }\phi _{k}$ ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} \ phi _ {k}}$ $D ^ {\ alpha} \ phi _ {k}$ converge uniform în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ la $D^{\alpha }\phi .$ ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} \ phi.}$ ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} \ phi.}$

Cu acea definiție $D(U)$ ${\ displaystyle D (U)}$ $D (U)$ este un spațiu vector topologic local convex și complet care satisface condiția Heine-Borel . ^[1]

În special, dacă $U_{i}$ ${\ displaystyle U_ {i}}$ $U_ {i}$ este o familie numărabilă de subseturi deschise de $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ pliere compactă $K_{i}={\bar {U}}_{i}\$ ${\ displaystyle K_ {i} = {\ bar {U}} _ {i} \}$ $K_ {i} = {\ bar {U}} _ {i} \$ și astfel încât $U_{j}\subset U_{j+1}$ ${\ displaystyle U_ {j} \ subset U_ {j + 1}}$ $U_ {j} \ subset U _ {{j + 1}}$ , asa de:

\mathrm {D} (U)=\bigcup _{i}\mathrm {D} _{K_{i}},

{\ displaystyle \ mathrm {D} (U) = \ bigcup _ {i} \ mathrm {D} _ {K_ {i}},}

{\ displaystyle \ mathrm {D} (U) = \ bigcup _ {i} \ mathrm {D} _ {K_ {i}},}

unde este ${D}_{K_{i}}$ ${\ displaystyle {D} _ {K_ {i}}}$ ${D} _ {{K_ {i}}}$ este un set de funcții ușoare cu suport conținut în $K_{i}$ ${\ displaystyle K_ {i}}$ $K_ {i}$ (și, prin urmare, compact, deoarece este închis într-un compact). Topologia activată $D(U)$ ${\ displaystyle D (U)}$ $D (U)$ este deci topologia finală a familiei de spații metrice ${D}_{K_{i}}$ ${\ displaystyle {D} _ {K_ {i}}}$ ${D} _ {{K_ {i}}}$ .

Distribuții

O distribuție pe $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este o funcționalitate liniară $S\colon D(U)\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle S \ colon D (U) \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle S \ colon D (U) \ to \ mathbb {R}}$ continuu , adică astfel încât: ^[2]

\lim _{n\to \infty }S(\phi _{n})=S\left(\lim _{n\to \infty }\phi _{n}\right),

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} S (\ phi _ {n}) = S \ left (\ lim _ {n \ to \ infty} \ phi _ {n} \ right),}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} S (\ phi _ {n}) = S \ left (\ lim _ {n \ to \ infty} \ phi _ {n} \ right),}

pentru fiecare secvență convergentă $\phi _{n}\in D(U)$ ${\ displaystyle \ phi _ {n} \ în D (U)}$ $\ phi _ {n} \ în D (U)$ . Spațiul distribuțiilor pe $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ se notează cu $D'(U)$ ${\ displaystyle D '(U)}$ $D '(U)$ și este spațiul vector dual continuu al spațiului vector topologic $D(U)$ ${\ displaystyle D (U)}$ $D (U)$ . ^[3]

Cuplajul dublu între o distribuție $S\in D'(U)$ ${\ displaystyle S \ in D '(U)}$ $S \ in D '(U)$ și o funcție de testare $\phi \in D(U)$ ${\ displaystyle \ phi \ în D (U)}$ $\ phi \ în D (U)$ este adesea notat între paranteze astfel:

\mathrm {D} '(U)\times \mathrm {D} (U)\ni (S,\phi )\mapsto \langle S,\phi \rangle \in \mathbb {R} .

{\ displaystyle \ mathrm {D} '(U) \ times \ mathrm {D} (U) \ ni (S, \ phi) \ mapsto \ langle S, \ phi \ rangle \ in \ mathbb {R}.}

{\ displaystyle \ mathrm {D} '(U) \ times \ mathrm {D} (U) \ ni (S, \ phi) \ mapsto \ langle S, \ phi \ rangle \ in \ mathbb {R}.}

Înarmat cu o topologie slabă , spațiu $D'(U)$ ${\ displaystyle D '(U)}$ $D '(U)$ este un spațiu vector topologic local convex . În special, o succesiune $S_{k}\in D'(U)$ ${\ displaystyle S_ {k} \ în D '(U)}$ $S_ {k} \ în D '(U)$ converge la distribuție $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ dacă și numai dacă:

\langle S_{k},\phi \rangle \to \langle S,\phi \rangle ,\qquad \forall \phi \in D(U).

{\ displaystyle \ langle S_ {k}, \ phi \ rangle \ to \ langle S, \ phi \ rangle, \ qquad \ forall \ phi \ în D (U).}

{\ displaystyle \ langle S_ {k}, \ phi \ rangle \ to \ langle S, \ phi \ rangle, \ qquad \ forall \ phi \ în D (U).}

Acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă $S_{k}$ ${\ displaystyle S_ {k}}$ $S_k$ converge lin către $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ în orice subset delimitat de $D(U)$ ${\ displaystyle D (U)}$ $D (U)$ .

Funcții precum distribuțiile

Fiecare funcție $f\colon U\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {R}}$ local integrabil conform Lebesgue ^[4] „produce” o funcționalitate liniară și continuă pe $D(U)$ ${\ displaystyle D (U)}$ $D (U)$ , notat cu $T_{f}$ ${\ displaystyle T_ {f}}$ $T_f$ , a cărei valoare pe funcția de testare $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este dat de integralul Lebesgue:

\langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.

{\ displaystyle \ langle T_ {f}, \ phi \ rangle = \ int _ {U} f \ phi \, dx.}

{\ displaystyle \ langle T_ {f}, \ phi \ rangle = \ int _ {U} f \ phi \, dx.}

În mod convențional, acesta este identificat cu abuzul de notație $T_{f}$ ${\ displaystyle T_ {f}}$ $T_f$ cu funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ fără ca acest lucru să genereze ambiguitate, astfel încât cuplarea dintre $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ poate fi scris ca:

\langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .

{\ displaystyle \ langle f, \ phi \ rangle = \ langle T_ {f}, \ phi \ rangle.}

{\ displaystyle \ langle f, \ phi \ rangle = \ langle T_ {f}, \ phi \ rangle.}

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ în plus, distribuțiile asociate acestora sunt două funcții integrabile local $T_{f}$ ${\ displaystyle T_ {f}}$ $T_f$ Și $T_{g}$ ${\ displaystyle T_ {g}}$ $T_ {g}$ coincide în $D'(U)$ ${\ displaystyle D '(U)}$ $D '(U)$ dacă și numai dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt la fel aproape peste tot .

Funcțiile de probă sunt ele însele integrabile local și, prin urmare, definesc distribuțiile. Întrucât sunt dens $D'(U)$ ${\ displaystyle D '(U)}$ $D '(U)$ în ceea ce privește topologia definită aici, pentru fiecare distribuție $S\in D'(U)$ ${\ displaystyle S \ in D '(U)}$ $S \ in D '(U)$ există o succesiune $\phi _{n}\in D(U)$ ${\ displaystyle \ phi _ {n} \ în D (U)}$ $\ phi _ {n} \ în D (U)$ astfel încât:

\langle \phi _{n},\phi \rangle \to \langle S,\phi \rangle ,

{\ displaystyle \ langle \ phi _ {n}, \ phi \ rangle \ to \ langle S, \ phi \ rangle,}

{\ displaystyle \ langle \ phi _ {n}, \ phi \ rangle \ to \ langle S, \ phi \ rangle,}

pentru fiecare $\phi \in D(U)$ ${\ displaystyle \ phi \ în D (U)}$ $\ phi \ în D (U)$ .

Operațiuni pe distribuții

Multe dintre operațiunile definite pe funcții de suport compact pot fi definite în același mod pentru distribuții. În general, dacă:

T\colon \mathrm {D} (U)\to \mathrm {D} (U)

{\ displaystyle T \ colon \ mathrm {D} (U) \ to \ mathrm {D} (U)}

{\ displaystyle T \ colon \ mathrm {D} (U) \ to \ mathrm {D} (U)}

este o funcție liniară a unui spațiu vector continuu față de topologia slabă, atunci este posibil să se extindă $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ la o funcție:

T\colon \mathrm {D} '(U)\to \mathrm {D} '(U)

{\ displaystyle T \ colon \ mathrm {D} '(U) \ to \ mathrm {D}' (U)}

{\ displaystyle T \ colon \ mathrm {D} '(U) \ to \ mathrm {D}' (U)}

grație tranziției la limită.

De obicei, totuși, preferăm să definim operațiile pe distribuții prin intermediul aplicației adăugate : se $T\colon D(U)\to D(U)$ ${\ displaystyle T \ colon D (U) \ to D (U)}$ ${\ displaystyle T \ colon D (U) \ to D (U)}$ este un operator liniar continuu, adjuvantul este operatorul $T^{*}\colon D(U)\to D(U)$ ${\ displaystyle T ^ {*} \ colon D (U) \ to D (U)}$ ${\ displaystyle T ^ {*} \ colon D (U) \ to D (U)}$ astfel încât:

\langle T\varphi ,\psi \rangle =\langle \varphi ,T^{*}\psi \rangle ,

{\ displaystyle \ langle T \ varphi, \ psi \ rangle = \ langle \ varphi, T ^ {*} \ psi \ rangle,}

{\ displaystyle \ langle T \ varphi, \ psi \ rangle = \ langle \ varphi, T ^ {*} \ psi \ rangle,}

pentru fiecare $\phi ,\psi \in D(U)$ ${\ displaystyle \ phi, \ psi \ în D (U)}$ $\ phi, \ psi \ în D (U)$ . Dacă acel operator $T^{*}$ ${\ displaystyle T ^ {*}}$ $T ^ {*}$ există și este continuu, apoi operatorul de pornire $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ poate fi extins la distribuții prin definirea:

Tf(\psi )=f(T^{*}\psi ).

{\ displaystyle Tf (\ psi) = f (T ^ {*} \ psi).}

{\ displaystyle Tf (\ psi) = f (T ^ {*} \ psi).}

Conjugați complexul

De asemenea, este posibil să se definească complexul conjugat al unei distribuții în felul următor. Dat $T\colon D(U)\to D(U)$ ${\ displaystyle T \ colon D (U) \ to D (U)}$ ${\ displaystyle T \ colon D (U) \ to D (U)}$ , $T^{*}$ ${\ displaystyle T ^ {*}}$ $T ^ {*}$ este definit de:

\langle T^{*},\phi \rangle =(\langle T,\phi ^{*}\rangle )^{*}.

{\ displaystyle \ langle T ^ {*}, \ phi \ rangle = (\ langle T, \ phi ^ {*} \ rangle) ^ {*}.}

{\ displaystyle \ langle T ^ {*}, \ phi \ rangle = (\ langle T, \ phi ^ {*} \ rangle) ^ {*}.}

Partea reală și imaginară a unei distribuții poate fi astfel definită:

{\mbox{Re }}T:={\frac {1}{2}}(T+T^{*}),\qquad {\mbox{Im }}T:={\frac {1}{2i}}(T-T^{*}),

{\ displaystyle {\ mbox {Re}} T: = {\ frac {1} {2}} (T + T ^ {*}), \ qquad {\ mbox {Im}} T: = {\ frac {1 } {2i}} (TT ^ {*}),}

{\ displaystyle {\ mbox {Re}} T: = {\ frac {1} {2}} (T + T ^ {*}), \ qquad {\ mbox {Im}} T: = {\ frac {1 } {2i}} (TT ^ {*}),}

care sunt ele însele distribuții. O distribuție se spune că este reală dacă $T={\mbox{Re}}T$ ${\ displaystyle T = {\ mbox {Re}} T}$ $T = {\ mbox {Re}} T$ .

Derivare

Este $T\colon D(U)\to D(U)$ ${\ displaystyle T \ colon D (U) \ to D (U)}$ ${\ displaystyle T \ colon D (U) \ to D (U)}$ derivata parțială a unei funcții de testare $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ în raport cu variabila $x_{k}$ ${\ displaystyle x_ {k}}$ $x_k$ :

T\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}.

{\ displaystyle T \ phi = {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {k}}}.}

{\ displaystyle T \ phi = {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {k}}}.}

Datorită regulii de integrare pe părți, se arată că următoarea relație este valabilă: ^[5]

\langle T\phi ,\psi \rangle =\left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}},\psi \right\rangle =-\left\langle \phi ,{\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\right\rangle ,\qquad \psi ,\phi \in D(U),

{\ displaystyle \ langle T \ phi, \ psi \ rangle = \ left \ langle {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {k}}}, \ psi \ right \ rangle = - \ left \ langle \ phi, {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x_ {k}}} \ right \ rangle, \ qquad \ psi, \ phi \ în D (U),}

{\ displaystyle \ langle T \ phi, \ psi \ rangle = \ left \ langle {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {k}}}, \ psi \ right \ rangle = - \ left \ langle \ phi, {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x_ {k}}} \ right \ rangle, \ qquad \ psi, \ phi \ în D (U),}

astfel încât $T^{*}=-T$ ${\ displaystyle T ^ {*} = - T}$ $T ^ {*} = - T$ , unde asteriscul denotă adjunctul. Este o transformare liniară continuă din $D(U)$ ${\ displaystyle D (U)}$ $D (U)$ în sine și rezultă că dacă $S\in D'(U)$ ${\ displaystyle S \ in D '(U)}$ $S \ in D '(U)$ atunci derivata sa parțială cu privire la coordonată este o distribuție $x_{k}$ ${\ displaystyle x_ {k}}$ $x_k$ este definit de relația:

\left\langle {\frac {\partial S}{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle =-\left\langle S,{\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\right\rangle ,\qquad \forall \phi \in D(U).

{\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {\ partial S} {\ partial x_ {k}}}, \ phi \ right \ rangle = - \ left \ langle S, {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {k}}} \ right \ rangle, \ qquad \ forall \ phi \ in D (U).}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {\ partial S} {\ partial x_ {k}}}, \ phi \ right \ rangle = - \ left \ langle S, {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {k}}} \ right \ rangle, \ qquad \ forall \ phi \ in D (U).}

În acest fel, este evident că fiecare distribuție este infinit diferențiată și că derivata în direcție $x_{k}$ ${\ displaystyle x_ {k}}$ $x_k$ este un operator liniar pe $D'(U)$ ${\ displaystyle D '(U)}$ $D '(U)$ .

În general, dacă $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$ ${\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {n})}$ $\ alpha = (\ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {n})$ este un multi-index arbitrar și $\partial ^{\alpha }$ ${\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha}}$ $\ partial ^ {\ alpha}$ indică derivata parțială mixtă relativă, apoi derivata de ordine $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ a unei distribuții $S\in D'(U)$ ${\ displaystyle S \ in D '(U)}$ $S \ in D '(U)$ este dat de: ^[6]

\left\langle \partial ^{\alpha }S,\phi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle S,\partial ^{\alpha }\phi \right\rangle ,\qquad \forall \phi \in \mathrm {D} (U)

{\ displaystyle \ left \ langle \ partial ^ {\ alpha} S, \ phi \ right \ rangle = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ left \ langle S, \ partial ^ {\ alpha} \ phi \ right \ rangle, \ qquad \ forall \ phi \ in \ mathrm {D} (U)}

{\ displaystyle \ left \ langle \ partial ^ {\ alpha} S, \ phi \ right \ rangle = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ left \ langle S, \ partial ^ {\ alpha} \ phi \ right \ rangle, \ qquad \ forall \ phi \ in \ mathrm {D} (U)}

și în mod explicit avem:

\int \left\langle \partial ^{\alpha }S,\phi \right\rangle dx=(-1)^{|\alpha |}\int \left\langle S(x),\left[{\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\phi \right](x)\right\rangle dx.

{\ displaystyle \ int \ left \ langle \ partial ^ {\ alpha} S, \ phi \ right \ rangle dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int \ left \ langle S (x), \ left [{\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |}} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} \ phi \ right] (x) \ right \ rangle dx.}

{\ displaystyle \ int \ left \ langle \ partial ^ {\ alpha} S, \ phi \ right \ rangle dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int \ left \ langle S (x), \ left [{\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |}} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} \ phi \ right] (x) \ right \ rangle dx.}

Operația de derivare este deci liniară pe $D'(U)$ ${\ displaystyle D '(U)}$ $D '(U)$ .

Definiția derivatei poate fi extinsă în mod natural la distribuțiile mai multor variabile utilizând integrarea pe părți a funcțiilor obișnuite ca model. Se poate observa că definiția derivatei unei distribuții, spre deosebire de ceea ce se întâmplă pentru funcțiile obișnuite - unde funcțiile derivabile sunt o clasă relativ restrânsă - se aplică oricărei distribuții fără excepții. În special, pot fi derivate toate distribuțiile obișnuite corespunzătoare funcțiilor nedirectabile. În acest fel funcțiile care nu au derivată în sens obișnuit au o distribuție, în general nu regulată, ca derivată generalizată.

Un exemplu este dat de funcția Heaviside :

\Theta (x)={\begin{cases}0,&x<0,\\1,&x\geq 0,\end{cases}}

{\ displaystyle \ Theta (x) = {\ begin {cases} 0, & x <0, \\ 1, & x \ geq 0, \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ Theta (x) = {\ begin {cases} 0, & x <0, \\ 1, & x \ geq 0, \ end {cases}}}

care, fiind discontinuu, nu poate fi diferențiat în 0. Cu toate acestea, aplicând definiția derivatului unei distribuții, găsim:

\langle \Theta ',\phi \rangle =-\langle \Theta ,\phi '\rangle =-\int \Theta (t)\phi '(t)dt=-\int _{0}^{\infty }\phi '(t)dt=\phi (0)=\langle \delta ,\phi \rangle ,

{\ displaystyle \ langle \ Theta ', \ phi \ rangle = - \ langle \ Theta, \ phi' \ rangle = - \ int \ Theta (t) \ phi '(t) dt = - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ phi '(t) dt = \ phi (0) = \ langle \ delta, \ phi \ rangle,}

{\ displaystyle \ langle \ Theta ', \ phi \ rangle = - \ langle \ Theta, \ phi' \ rangle = - \ int \ Theta (t) \ phi '(t) dt = - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ phi '(t) dt = \ phi (0) = \ langle \ delta, \ phi \ rangle,}

unde este $\phi (\infty )=0$ ${\ displaystyle \ phi (\ infty) = 0}$ $\ phi (\ infty) = 0$ deoarece $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este un suport compact. Concluzionăm că derivata funcției pas este delta Dirac .

Înmulțirea cu o funcție lină

Același subiect în detaliu: Funcție netedă .

Având în vedere o funcție infinit diferențiată $m:U\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle m: U \ to \ mathbb {R}}$ $m: U \ to \ mathbb {R}$ și o distribuție $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ pe $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , produsul $m S.$ ${\ displaystyle mS}$ $Domnișoară$ este definit de: ^[7]

(mS)(\phi )=S(m\phi ),

{\ displaystyle (mS) (\ phi) = S (m \ phi),}

{\ displaystyle (mS) (\ phi) = S (m \ phi),}

pentru fiecare funcție de testare $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . Această definiție este echivalentă cu transformarea adăugată:

T_{m}:\varphi \mapsto m\varphi ,

{\ displaystyle T_ {m}: \ varphi \ mapsto m \ varphi,}

{\ displaystyle T_ {m}: \ varphi \ mapsto m \ varphi,}

cu $\phi \in D(U)$ ${\ displaystyle \ phi \ în D (U)}$ $\ phi \ în D (U)$ . Deci, pentru fiecare funcție de testare $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ avem:

\langle T_{m}\varphi ,\psi \rangle =\int _{U}m(x)\varphi (x)\psi (x)\,dx=\langle \varphi ,T_{m}\psi \rangle ,

{\ displaystyle \ langle T_ {m} \ varphi, \ psi \ rangle = \ int _ {U} m (x) \ varphi (x) \ psi (x) \, dx = \ langle \ varphi, T_ {m} \ psi \ rangle,}

{\ displaystyle \ langle T_ {m} \ varphi, \ psi \ rangle = \ int _ {U} m (x) \ varphi (x) \ psi (x) \, dx = \ langle \ varphi, T_ {m} \ psi \ rangle,}

Așadar $T^{*}m=Tm$ ${\ displaystyle T ^ {*} m = Tm}$ $T ^ {*} m = Tm$ , sau $T_{m}$ ${\ displaystyle T_ {m}}$ $T_ {m}$ este autoadjunct .

Înmulțirea unei distribuții $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ pentru o funcție lină $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ prin urmare, este definit de:

mS(\psi )=\langle mS,\psi \rangle =\langle S,m\psi \rangle =S(m\psi ).

{\ displaystyle mS (\ psi) = \ langle mS, \ psi \ rangle = \ langle S, m \ psi \ rangle = S (m \ psi).}

{\ displaystyle mS (\ psi) = \ langle mS, \ psi \ rangle = \ langle S, m \ psi \ rangle = S (m \ psi).}

Cu multiplicare printr-o funcție lină $D'(U)$ ${\ displaystyle D '(U)}$ $D '(U)$ este un modul pe inel $C^{\infty }(D)$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (D)}$ $C ^ {\ infty} (D)$ . Această definiție face posibilă definirea acțiunii unui operator diferențial $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , ai căror coeficienți sunt funcții netede, pe o distribuție. Un operator diferențial acționează $S\in D'(U)$ ${\ displaystyle S \ in D '(U)}$ $S \ in D '(U)$ returnând o altă distribuție dată de o însumare a formei:

PS=\sum _{|\alpha |\leq k}p_{\alpha }\partial ^{\alpha }S,

{\ displaystyle PS = \ sum _ {| \ alpha | \ leq k} p _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha} S,}

{\ displaystyle PS = \ sum _ {| \ alpha | \ leq k} p _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha} S,}

unde coeficienții $p_{\alpha }$ ${\ displaystyle p _ {\ alpha}}$ $p _ {\ alpha}$ sunt funcții ușoare pe $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ . De sine $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este un operator diferențial, cel mai mic număr întreg $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ pentru care se menține expansiunea precedentă pentru fiecare distribuție se numește ordinea de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Adăugarea de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este definit de:

\left\langle \sum _{\alpha }p_{\alpha }\partial ^{\alpha }S,\varphi \right\rangle =\left\langle S,\sum _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }(p_{\alpha }\varphi )\right\rangle .

{\ displaystyle \ left \ langle \ sum _ {\ alpha} p _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha} S, \ varphi \ right \ rangle = \ left \ langle S, \ sum _ {\ alpha} ( - 1) ^ {| \ alpha |} \ partial ^ {\ alpha} (p _ {\ alpha} \ varphi) \ right \ rangle.}

{\ displaystyle \ left \ langle \ sum _ {\ alpha} p _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha} S, \ varphi \ right \ rangle = \ left \ langle S, \ sum _ {\ alpha} ( - 1) ^ {| \ alpha |} \ partial ^ {\ alpha} (p _ {\ alpha} \ varphi) \ right \ rangle.}

Distribuții temperate

Distribuțiile sunt definite ca elemente ale spațiului dual al unui spațiu funcțional, spațiul funcțiilor de testare. Restricțiile puternice impuse funcțiilor de testare din definiție fac posibilă furnizarea elementelor spațiului dual cu caracteristicile dorite. Distribuțiile temperate sunt elementele spațiului de funcții care scad mai repede decât inversul fiecărui polinom , ^[8] prin urmare este spațiul funcțiilor care scad infinit rapid și care se diferențiază infinit, ale căror derivate parțiale sunt încă în scădere rapidă. O functie $\phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ phi: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ $\ phi: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}$ este deci în spațiul funcțiilor de testare relativ la clasa distribuțiilor temperate dacă fiecare derivată a $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ multiplicat cu o putere de $|x|$ ${\ displaystyle | x |}$ $| x |$ converge la zero pentru $|x|\to \infty$ ${\ displaystyle | x | \ to \ infty}$ $| x | \ to \ infty$ .

Există o relație între limitarea ratei de scădere a funcțiilor spațiului Schwartz și creșterea distribuțiilor temperate: se arată că o distribuție temperată poate fi întotdeauna privită ca rezultatul derivării unei funcții mărginite dintr-un polinom. ^[9] Când doriți să aveți o clasă de distribuții care sunt limitate și integrabile local, este, prin urmare, necesar să extindeți spațiul funcțiilor de testare la spațiul ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})$ a funcțiilor care scad rapid la infinit pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Distribuțiile temperate constituie un sub spațiu al $D'(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle D '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ $D '(\ mathbb {R} ^ {n})$ , și este o clasă de funcționale de o importanță considerabilă, deoarece fiecare distribuție temperată are o transformată Fourier , care nu caracterizează fiecare distribuție. Aceste funcții formează un spațiu topologic vectorial complet, a cărui metrică este definită de o familie de seminorme . Mai precis, având în vedere:

p_{\alpha ,\beta }(\varphi )=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}|x^{\alpha }D^{\beta }\varphi (x)|,

{\ displaystyle p _ {\ alpha, \ beta} (\ varphi) = \ sup _ {x \ in \ mathbf {R} ^ {n}} | x ^ {\ alpha} D ^ {\ beta} \ varphi ( x) |,}

{\ displaystyle p _ {\ alpha, \ beta} (\ varphi) = \ sup _ {x \ in \ mathbf {R} ^ {n}} | x ^ {\ alpha} D ^ {\ beta} \ varphi ( x) |,}

pentru $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ multi-indici $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este o funcție Schwartz dacă:

p_{\alpha ,\beta }(\varphi )<\infty .

{\ displaystyle p _ {\ alpha, \ beta} (\ varphi) <\ infty.}

{\ displaystyle p _ {\ alpha, \ beta} (\ varphi) <\ infty.}

Familia celor de jumătate $p_{\alpha ,\beta }$ ${\ displaystyle p _ {\ alpha, \ beta}}$ $p _ {{\ alfa, \ beta}}$ definește o topologie local convexă pe spațiul Schwartz. ^[10] Deoarece funcțiile Schwartz sunt netede, familia seminormurilor constituie o normă în spațiul Schwartz. Mai mult, transformata Fourier transformă operația de derivare față de $x^{\alpha }$ ${\ displaystyle x ^ {\ alpha}}$ $x ^ {\ alpha}$ în multiplicare și invers: această simetrie implică faptul că transformarea unei funcții Schwartz este încă o funcție Schwartz.

Din cele spuse, o distribuție $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este definit temperat dacă și numai dacă:

\lim _{m\to \infty }F(\varphi _{m})=0

{\ displaystyle \ lim _ {m \ to \ infty} F (\ varphi _ {m}) = 0}

\ lim _ {{m \ to \ infty}} F (\ varphi _ {m}) = 0

și avem:

\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\varphi _{m})=0.

{\ displaystyle \ lim _ {m \ to \ infty} p _ {\ alpha, \ beta} (\ varphi _ {m}) = 0.}

{\ displaystyle \ lim _ {m \ to \ infty} p _ {\ alpha, \ beta} (\ varphi _ {m}) = 0.}

Derivata unei distribuții temperate este încă o distribuție temperată, iar această clasă de funcții generalizează conceptul unei funcții delimitate local integrabile: toate distribuțiile cu suport compact și toate funcțiile pătrate integrabile sunt distribuții temperate.

În plus, toate funcțiile pot fi integrate local $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu o creștere polinomială maximă, adică astfel încât:

f(x)=O(|x|^{r}),

{\ displaystyle f (x) = O (| x | ^ {r}),}

{\ displaystyle f (x) = O (| x | ^ {r}),}

pentru un r dat, acestea sunt distribuții temperate, iar acest lucru implică faptul că funcțiile cu puterea sumabilă p-1 , cu p > 1, sunt, de asemenea, temperate.

Transformata Fourier a unei distribuții

Același subiect în detaliu: Transformata Fourier .

Luați în considerare funcțiile de probă și distribuțiile temperate în câmpul complex . Transformata Fourier $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ definește un automorfism în spațiul Schwartz:

\langle FS,\phi \rangle =\langle S,F\phi \rangle ,

{\ displaystyle \ langle FS, \ phi \ rangle = \ langle S, F \ phi \ rangle,}

{\ displaystyle \ langle FS, \ phi \ rangle = \ langle S, F \ phi \ rangle,}

pentru fiecare funcție de testare $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . $F. S.$ ${\ displaystyle FS}$ $FS$ este încă o distribuție temperată, iar transformarea este un operator continuu, liniar și bi-univoc din spațiul distribuțiilor temperate în sine. Transformarea se referă la operația de derivare după cum urmează:

F{\dfrac {dS}{dx}}=ixFS.

{\ displaystyle F {\ dfrac {dS} {dx}} = ixFS.}

{\ displaystyle F {\ dfrac {dS} {dx}} = ixFS.}

În ceea ce privește convoluția , dacă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este o distribuție temperată și $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ o funcție infinit diferențiată crescând încet pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , $S\psi$ ${\ displaystyle S \ psi}$ $S \ psi$ este încă o distribuție și:

F(S\psi )=FS*F\psi

{\ displaystyle F (S \ psi) = FS * F \ psi}

F (S \ psi) = FS * F \ psi

este convoluția lui $F. S.$ ${\ displaystyle FS}$ $FS$ Și $F\psi$ ${\ displaystyle F \ psi}$ $F \ psi$ .

Convoluţie

Același subiect în detaliu: Convoluție .

Sub anumite ipoteze este posibil să se definească convoluția unei funcții cu o distribuție și convoluția dintre două distribuții.

Convoluția unei funcții cu o distribuție

Este $f\in D(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle f \ în D (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $f \ în D (\ mathbb {R} ^ {n})$ o funcție de testare lină cu suport compact. Convoluția unei distribuții cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definește operatorul liniar:

C_{f}:D(\mathbb {R} ^{n})\to D(\mathbb {R} ^{n}),\qquad C_{f}g=f*g.

{\ displaystyle C_ {f}: D (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to D (\ mathbb {R} ^ {n}), \ qquad C_ {f} g = f * g.}

{\ displaystyle C_ {f}: D (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to D (\ mathbb {R} ^ {n}), \ qquad C_ {f} g = f * g.}

Convolutia de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu o distribuție $S\in D'(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle S \ in D '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ $S \ in D '(\ mathbb {R} ^ {n})$ poate fi definit luând în considerare adăugarea de $C_{f}$ ${\ displaystyle C_ {f}}$ $C_ {f}$ referitoare la dubla cuplare a $D(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle D (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $D (\ mathbb {R} ^ {n})$ Și $D'(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle D '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ $D '(\ mathbb {R} ^ {n})$ . De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ Și $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ sunt în $D(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle D (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $D (\ mathbb {R} ^ {n})$ , apoi datorită teoremei lui Fubini :

\langle C_{f}g,\varphi \rangle =\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (x)\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dydx=\langle g,C_{\tilde {f}}\varphi \rangle ,

{\ displaystyle \ langle C_ {f} g, \ varphi \ rangle = \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} \ varphi (x) \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} f (xy) g (y) \, dydx = \ langle g, C _ {\ tilde {f}} \ varphi \ rangle,}

{\ displaystyle \ langle C_ {f} g, \ varphi \ rangle = \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} \ varphi (x) \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} f (xy) g (y) \, dydx = \ langle g, C _ {\ tilde {f}} \ varphi \ rangle,}

unde este $\scriptstyle {{\tilde {f}}(x)=f(-x)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ tilde {f}} (x) = f (-x)}}$ $\ scriptstyle {{\ tilde {f}} (x) = f (-x)}$ . Extinderea prin continuitate, convoluția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu o distribuție $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este dat de:

\langle f*S,\varphi \rangle =\langle S,{\tilde {f}}*\varphi \rangle ,

{\ displaystyle \ langle f * S, \ varphi \ rangle = \ langle S, {\ tilde {f}} * \ varphi \ rangle,}

{\ displaystyle \ langle f * S, \ varphi \ rangle = \ langle S, {\ tilde {f}} * \ varphi \ rangle,}

pentru fiecare funcție de testare $\varphi \in D(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle \ varphi \ în D (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $\ varphi \ în D (\ mathbb {R} ^ {n})$ .

Convoluția unei funcții poate fi definită într-un mod echivalent $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu o distribuție $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ folosind operatorul de traducere $\tau _{x}$ ${\ displaystyle \ tau _ {x}}$ $\ tau _ {x}$ , definit pe o funcție de testare prin:

\tau _{x}\varphi (y)=\varphi (y-x).

{\ displaystyle \ tau _ {x} \ varphi (y) = \ varphi (yx).}

{\ displaystyle \ tau _ {x} \ varphi (y) = \ varphi (y-x).}

Acest operator poate fi extins prin adăugarea acestuia la spațiul de distribuție. Convoluția unei funcții de suport compacte cu o distribuție este apoi funcția definită pentru fiecare $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ În felul următor:

(f*S)(x)=\langle S,\tau _{x}{\tilde {f}}\rangle .

{\ displaystyle (f * S) (x) = \ langle S, \ tau _ {x} {\ tilde {f}} \ rangle.}

{\ displaystyle (f * S) (x) = \ langle S, \ tau _ {x} {\ tilde {f}} \ rangle.}

Se arată că convoluția unei funcții compatibile cu o distribuție este o funcție lină, compatibilă, iar teorema de convoluție a lui Titchmarsh arată că:

\operatorname {ch} (f*S)=\operatorname {ch} f+\operatorname {ch} S,

{\ displaystyle \ operatorname {ch} (f * S) = \ operatorname {ch} f + \ operatorname {ch} S,}

{\ displaystyle \ operatorname {ch} (f * S) = \ operatorname {ch} f + \ operatorname {ch} S,}

unde este $\operatorname {ch}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ch}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ch}}$ denotă plicul convex .

Convoluția a două distribuții

Dă două distribuții $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , cu $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu suport compact, este posibil să se definească convoluția lor $S*T$ ${\ displaystyle S * T}$ $S * T$ extinderea conceptului de convoluție la operația liniară pe distribuții, astfel încât formula asociativă:

S*(T*\varphi )=(S*T)*\varphi

{\ displaystyle S * (T * \ varphi) = (S * T) * \ varphi}

S * (T * \ varphi) = (S * T) * \ varphi

continuați să aplicați la toate funcțiile de testare $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , iar această extensie este unică. Pentru a caracteriza în mod explicit convoluția a două distribuții, pentru fiecare funcție de probă $\varphi \in D(R^{n})$ ${\ displaystyle \ varphi \ în D (R ^ {n})}$ $\ varphi \ în D (R ^ {n})$ ia în considerare funcția:

\psi (x)=\langle T,\tau _{-x}\varphi \rangle .

{\ displaystyle \ psi (x) = \ langle T, \ tau _ {- x} \ varphi \ rangle.}

{\ displaystyle \ psi (x) = \ langle T, \ tau _ {- x} \ varphi \ rangle.}

Această funcție este ușoară $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și este acceptat compact. Convoluția $S*T$ ${\ displaystyle S * T}$ $S * T$ este apoi definit de:

\langle S*T,\varphi \rangle =\langle S,\psi \rangle .

{\ displaystyle \ langle S * T, \ varphi \ rangle = \ langle S, \ psi \ rangle.}

{\ displaystyle \ langle S * T, \ varphi \ rangle = \ langle S, \ psi \ rangle.}

Aceasta generalizează noțiunea de convoluție a funcțiilor și se referă la operația de derivare după cum urmează:

\partial ^{\alpha }(S*T)=(\partial ^{\alpha }S)*T=S*(\partial ^{\alpha }T).

{\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} (S * T) = (\ partial ^ {\ alpha} S) * T = S * (\ partial ^ {\ alpha} T).}

{\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} (S * T) = (\ partial ^ {\ alpha} S) * T = S * (\ partial ^ {\ alpha} T).}

Această definiție rămâne valabilă și pentru ipoteze mai puțin restrictive $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ .

Aplicații

Un'applicazione delle distribuzioni si ha nel calcolo delle probabilità, come illustrato dal seguente esempio. Si supponga di voler studiare i tempi di attesa dei veicoli a un semaforo stradale. C'è una probabilità $P_{0}$ $P_{0}$ $P_0$ non nulla che un veicolo trovi il semaforo verde, e quindi non debba attendere. Per ogni numero positivo di secondi $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ c'è una probabilità che un veicolo debba attendere meno di $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ secondi. Tale funzione è crescente. Pertanto la distribuzione cumulativa di probabilità risultante avrà il seguente andamento: per $t<0$ ${\displaystyle t<0}$ $t<0$ , vale zero; per $t=0$ ${\displaystyle t=0}$ $t=0$ , vale $P_{0}$ $P_{0}$ $P_0$ , compreso tra zero e uno; per $t>0$ ${\displaystyle t>0}$ $t>0$ , ha valori crescenti con continuità da $P_{0}$ $P_{0}$ $P_0$ a uno. Tale funzione è derivabile per $t\neq 0$ $t\neq 0$ $t\neq 0$ , ma ha una discontinuità intorno a zero. Pertanto, non si tratta né di una distribuzione di probabilità continua, né di una distribuzione di probabilità discreta, bensì di una mista . Con le funzioni ordinarie, l'unico modo di trattarla, è attenersi alla cumulativa. Grazie alle funzioni generalizzate, invece, qualunque cumulativa è derivabile, e quindi si può ottenere una funzione generalizzata di densità di probabilità.

Pertanto, l'uso delle funzioni generalizzate permette di descrivere con un solo formalismo sia le densità di probabilità discrete, che le densità di probabilità continue, nonché le densità di probabilità miste .

Un'altra motivazione per l'uso delle funzioni generalizzate si ha, in fisica e ingegneria, nello studio di fenomeni impulsivi. Ad esempio, in un lampo di luce si può voler tener conto dell'energia luminosa emessa, pur considerando nulla la durata del lampo, e quindi infinita la luminosità istantanea. Nell'urto di due palle da biliardo, si può voler tener conto della quantità di moto delle palle prima e dopo l'urto, pur considerando nulla la durata dell'urto, e quindi infinite le accelerazioni. Nello studio dell'elettromagnetismo e delle sue applicazioni tecniche, ci sono numerosi casi di fenomeni impulsivi, come la scarica elettrostatica e la commutazione di circuiti.

Note

^ Reed, Simon , Pag. 147 .
^ F. Farassat , Pag. 3 .
^ Reed, Simon , Pag. 148 .
^ Tale richiesta implica una vasta classe di funzioni, tra le quali le funzioni a p-esima potenza sommabile .
^ F. Farassat , Pag. 10 .
^ Reed, Simon , Pag. 138 .
^ F. Farassat , Pag. 7 .
^ Reed, Simon , Pag. 134 .
^ Reed, Simon , Pag. 145 .
^ Reed, Simon , Pag. 133 .

Bibliografia

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
( EN ) F. Farassat, Introduction to Generalized Functions With Applications in Aerodynamics and Aeroacoustics , Langley Research Center, Hampton, Virginia, NASA Technical Paper 3428, 1994.

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) Distribuzione , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Distribuzione , in Catholic Encyclopedia , Robert Appleton Company.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 17273

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Reed, Simon , Pag. 147 .

[2] F. Farassat , Pag. 3 .

[3] Reed, Simon , Pag. 148 .

[4] Tale richiesta implica una vasta classe di funzioni, tra le quali le funzioni a p-esima potenza sommabile .

[5] F. Farassat , Pag. 10 .

[6] Reed, Simon , Pag. 138 .

[7] F. Farassat , Pag. 7 .

[8] Reed, Simon , Pag. 134 .

[9] Reed, Simon , Pag. 145 .

[10] Reed, Simon , Pag. 133 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]