Integrare pe piese

În matematică , metoda integrării pe părți este una dintre principalele proceduri pentru rezolvarea integralelor . Dacă un integrand este descompozibil în produsul a două funcții, metoda permite calcularea integralei în termenii unei alte integrale al cărei integrand este produsul derivatei unei funcții și a primitivei celeilalte.

Metoda

Lasa-i sa fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ două funcții continue și diferențiabile în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Derivata produsului celor două funcții este egală cu: ^[1]

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}[f(x)g(x)]={\frac {{\text{d}}f(x)}{{\text{d}}x}}g(x)+f(x){\frac {{\text{d}}g(x)}{{\text{d}}x}}=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)

{\ displaystyle {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} x}} [f (x) g (x)] = {\ frac {{\ text {d}} f (x) } {{\ text {d}} x}} g (x) + f (x) {\ frac {{\ text {d}} g (x)} {{\ text {d}} x}} = f ^ {\ prime} (x) g (x) + f (x) g ^ {\ prime} (x)}

{\ displaystyle {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} x}} [f (x) g (x)] = {\ frac {{\ text {d}} f (x) } {{\ text {d}} x}} g (x) + f (x) {\ frac {{\ text {d}} g (x)} {{\ text {d}} x}} = f ^ {\ prime} (x) g (x) + f (x) g ^ {\ prime} (x)}

Acum, aplicând operatorul integral pe ambele părți ale ecuației, obținem:

\int {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}[f(x)g(x)]{\text{d}}x=\int [f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x=\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x+\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x

{\ displaystyle \ int {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} x}} [f (x) g (x)] {\ text {d}} x = \ int [f ^ {\ prime} (x) g (x) + f (x) g ^ {\ prime} (x)] {\ text {d}} x = \ int [f ^ {\ prime} (x) g (x )] {\ text {d}} x + \ int [f (x) g ^ {\ prime} (x)] {\ text {d}} x}

{\ displaystyle \ int {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} x}} [f (x) g (x)] {\ text {d}} x = \ int [f ^ {\ prime} (x) g (x) + f (x) g ^ {\ prime} (x)] {\ text {d}} x = \ int [f ^ {\ prime} (x) g (x )] {\ text {d}} x + \ int [f (x) g ^ {\ prime} (x)] {\ text {d}} x}

(Atenție: am presupus în mod tacit că există integrale la partea a doua a ecuației).

Pentru teorema fundamentală a calculului integral avem că: ^[2]

f(x)g(x)=\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x+\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x

{\ displaystyle f (x) g (x) = \ int [f ^ {\ prime} (x) g (x)] {\ text {d}} x + \ int [f (x) g ^ {\ prime } (x)] {\ text {d}} x}

{\ displaystyle f (x) g (x) = \ int [f ^ {\ prime} (x) g (x)] {\ text {d}} x + \ int [f (x) g ^ {\ prime } (x)] {\ text {d}} x}

prin urmare, pentru a rezolva o integrală o putem exploata în următoarea formă:

\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x=f(x)g(x)-\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x

{\ displaystyle \ int [f ^ {\ prime} (x) g (x)] {\ text {d}} x = f (x) g (x) - \ int [f (x) g ^ {\ prime } (x)] {\ text {d}} x}

{\ displaystyle \ int [f ^ {\ prime} (x) g (x)] {\ text {d}} x = f (x) g (x) - \ int [f (x) g ^ {\ prime } (x)] {\ text {d}} x}

Punctul forte al acestei metode constă în capacitatea de a identifica între cele două funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ , cel mai ușor derivabil / integrabil, astfel încât să poată fi folosit pentru a elimina dificultatea de integrare care a apărut. Functia $f^{\prime }(x){\text{d}}x={\text{d}}f(x)$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x) {\ text {d}} x = {\ text {d}} f (x)}$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x) {\ text {d}} x = {\ text {d}} f (x)}$ se numește factor diferențial , în timp ce $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ se numește factor finit . ^[3]

Doriți să aplicați procedura tocmai efectuată pe un interval de integrare $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ primesti:

\left.f(x)g(x)\right|_{a}^{b}=\int _{a}^{b}[f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x+\int _{a}^{b}[f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x

{\ displaystyle \ left.f (x) g (x) \ right | _ {a} ^ {b} = \ int _ {a} ^ {b} [f ^ {\ prime} (x) g (x) ] {\ text {d}} x + \ int _ {a} ^ {b} [f (x) g ^ {\ prime} (x)] {\ text {d}} x}

{\ displaystyle \ left.f (x) g (x) \ right | _ {a} ^ {b} = \ int _ {a} ^ {b} [f ^ {\ prime} (x) g (x) ] {\ text {d}} x + \ int _ {a} ^ {b} [f (x) g ^ {\ prime} (x)] {\ text {d}} x}

acesta este:

\int _{a}^{b}[f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x=\left.f(x)g(x)\right|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}[f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} [f ^ {\ prime} (x) g (x)] {\ text {d}} x = \ left.f (x) g (x) \ right | _ {a} ^ {b} - \ int _ {a} ^ {b} [f (x) g ^ {\ prime} (x)] {\ text {d}} x}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} [f ^ {\ prime} (x) g (x)] {\ text {d}} x = \ left.f (x) g (x) \ right | _ {a} ^ {b} - \ int _ {a} ^ {b} [f (x) g ^ {\ prime} (x)] {\ text {d}} x}

Exemple

Vrem să realizăm pe piese:

\int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x

{\ displaystyle \ int [\ sin (x) \ cos (x)] {\ text {d}} x}

{\ displaystyle \ int [\ sin (x) \ cos (x)] {\ text {d}} x}

Sa spunem $f(x)=\sin(x)$ ${\ displaystyle f (x) = \ sin (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = \ sin (x)}$ Și $g^{\prime }(x)=\cos(x)$ ${\ displaystyle g ^ {\ prime} (x) = \ cos (x)}$ ${\ displaystyle g ^ {\ prime} (x) = \ cos (x)}$ în expresia:

\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x=f(x)g(x)-\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x

{\ displaystyle \ int [f (x) g ^ {\ prime} (x)] {\ text {d}} x = f (x) g (x) - \ int [f ^ {\ prime} (x) g (x)] {\ text {d}} x}

{\ displaystyle \ int [f (x) g ^ {\ prime} (x)] {\ text {d}} x = f (x) g (x) - \ int [f ^ {\ prime} (x) g (x)] {\ text {d}} x}

obținerea:

\int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x=\sin(x)\sin(x)-\int [\cos(x)\sin(x)]{\text{d}}x

{\ displaystyle \ int [\ sin (x) \ cos (x)] {\ text {d}} x = \ sin (x) \ sin (x) - \ int [\ cos (x) \ sin (x) ] {\ text {d}} x}

{\ displaystyle \ int [\ sin (x) \ cos (x)] {\ text {d}} x = \ sin (x) \ sin (x) - \ int [\ cos (x) \ sin (x) ] {\ text {d}} x}

2\int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x=\sin ^{2}(x)

{\ displaystyle 2 \ int [\ sin (x) \ cos (x)] {\ text {d}} x = \ sin ^ {2} (x)}

{\ displaystyle 2 \ int [\ sin (x) \ cos (x)] {\ text {d}} x = \ sin ^ {2} (x)}

\int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x={\frac {\sin ^{2}(x)}{2}}+C

{\ displaystyle \ int [\ sin (x) \ cos (x)] {\ text {d}} x = {\ frac {\ sin ^ {2} (x)} {2}} + C}

{\ displaystyle \ int [\ sin (x) \ cos (x)] {\ text {d}} x = {\ frac {\ sin ^ {2} (x)} {2}} + C}

Vrem să rezolvăm pe părți:

\int xe^{x}{\text{d}}x

{\ displaystyle \ int xe ^ {x} {\ text {d}} x}

{\ displaystyle \ int xe ^ {x} {\ text {d}} x}

Sa spunem $f(x)=x$ ${\ displaystyle f (x) = x}$ $f (x) = x$ Și $g^{\prime }(x)=e^{x}$ ${\ displaystyle g ^ {\ prime} (x) = e ^ {x}}$ ${\ displaystyle g ^ {\ prime} (x) = e ^ {x}}$ în expresie, ca înainte:

\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x=f(x)g(x)-\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x

{\ displaystyle \ int [f (x) g ^ {\ prime} (x)] {\ text {d}} x = f (x) g (x) - \ int [f ^ {\ prime} (x) g (x)] {\ text {d}} x}

{\ displaystyle \ int [f (x) g ^ {\ prime} (x)] {\ text {d}} x = f (x) g (x) - \ int [f ^ {\ prime} (x) g (x)] {\ text {d}} x}

acesta este:

\int xe^{x}{\text{d}}x=xe^{x}-\int e^{x}{\text{d}}x

{\ displaystyle \ int xe ^ {x} {\ text {d}} x = xe ^ {x} - \ int e ^ {x} {\ text {d}} x}

{\ displaystyle \ int xe ^ {x} {\ text {d}} x = xe ^ {x} - \ int e ^ {x} {\ text {d}} x}

\int xe^{x}{\text{d}}x=xe^{x}-e^{x}+C

{\ displaystyle \ int xe ^ {x} {\ text {d}} x = xe ^ {x} -e ^ {x} + C}

{\ displaystyle \ int xe ^ {x} {\ text {d}} x = xe ^ {x} -e ^ {x} + C}

\int xe^{x}{\text{d}}x=e^{x}(x-1)+C

{\ displaystyle \ int xe ^ {x} {\ text {d}} x = e ^ {x} (x-1) + C}

{\ displaystyle \ int xe ^ {x} {\ text {d}} x = e ^ {x} (x-1) + C}

Formule de integrare recursivă

Unele integrale pot fi rezolvate cu metoda de integrare prin părți într-un mod iterativ. De exemplu:

I_{1}=\int \sin ^{2}x\,dx.

{\ displaystyle I_ {1} = \ int \ sin ^ {2} x \, dx.}

{\ displaystyle I_ {1} = \ int \ sin ^ {2} x \, dx.}

Utilizarea metodei de integrare a pieselor:

\int \sin(x)\cdot \sin(x)\,dx=\int \sin(x)\cdot (-\cos(x))'\,dx=

{\ displaystyle \ int \ sin (x) \ cdot \ sin (x) \, dx = \ int \ sin (x) \ cdot (- \ cos (x)) '\, dx =}

{\ displaystyle \ int \ sin (x) \ cdot \ sin (x) \, dx = \ int \ sin (x) \ cdot (- \ cos (x)) '\, dx =}

=-\sin(x)\cos(x)+\int \cos ^{2}(x)\,dx=-\sin(x)\cdot \cos(x)+\int (1-\sin ^{2}(x))\,dx.

{\ displaystyle = - \ sin (x) \ cos (x) + \ int \ cos ^ {2} (x) \, dx = - \ sin (x) \ cdot \ cos (x) + \ int (1- \ sin ^ {2} (x)) \, dx.}

{\ displaystyle = - \ sin (x) \ cos (x) + \ int \ cos ^ {2} (x) \, dx = - \ sin (x) \ cdot \ cos (x) + \ int (1- \ sin ^ {2} (x)) \, dx.}

Asa de:

I_{1}=x-\sin(x)\cdot \cos(x)-\int \sin ^{2}(x)\,dx=x-\sin(x)\cdot \cos(x)-I_{1},

{\ displaystyle I_ {1} = x- \ sin (x) \ cdot \ cos (x) - \ int \ sin ^ {2} (x) \, dx = x- \ sin (x) \ cdot \ cos ( x) -I_ {1},}

{\ displaystyle I_ {1} = x- \ sin (x) \ cdot \ cos (x) - \ int \ sin ^ {2} (x) \, dx = x- \ sin (x) \ cdot \ cos ( x) -I_ {1},}

așa că am obținut asta:

I_{1}=\int \sin ^{2}(x)dx={\frac {1}{2}}\left(x-\sin(x)\cdot \cos(x)\right)+C.

{\ displaystyle I_ {1} = \ int \ sin ^ {2} (x) dx = {\ frac {1} {2}} \ left (x- \ sin (x) \ cdot \ cos (x) \ right ) + C.}

{\ displaystyle I_ {1} = \ int \ sin ^ {2} (x) dx = {\ frac {1} {2}} \ left (x- \ sin (x) \ cdot \ cos (x) \ right ) + C.}

În acest moment putem calcula toate $I_{n+1}$ ${\ displaystyle I_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle I_ {n + 1}}$ integrale de acest tip:

I_{n+1}=\int \sin ^{2n+1}(x)\sin(x)\,dx=\int \sin ^{2n+1}(x)\cdot (-\cos(x))'\,dx=

{\ displaystyle I_ {n + 1} = \ int \ sin ^ {2n + 1} (x) \ sin (x) \, dx = \ int \ sin ^ {2n + 1} (x) \ cdot (- \ cos (x)) '\, dx =}

{\ displaystyle I_ {n + 1} = \ int \ sin ^ {2n + 1} (x) \ sin (x) \, dx = \ int \ sin ^ {2n + 1} (x) \ cdot (- \ cos (x)) '\, dx =}

=-\sin ^{2n+1}(x)\cdot \cos(x)+(2n+1)\int \sin ^{2n}(x)\cdot \cos ^{2}(x)\,dx=-\sin ^{2n+1}(x)\cos x+(2n+1)\int \sin ^{2n}(x)(1-\sin ^{2}x)\,dx

{\ displaystyle = - \ sin ^ {2n + 1} (x) \ cdot \ cos (x) + (2n + 1) \ int \ sin ^ {2n} (x) \ cdot \ cos ^ {2} (x ) \, dx = - \ sin ^ {2n + 1} (x) \ cos x + (2n + 1) \ int \ sin ^ {2n} (x) (1- \ sin ^ {2} x) \, dx}

{\ displaystyle = - \ sin ^ {2n + 1} (x) \ cdot \ cos (x) + (2n + 1) \ int \ sin ^ {2n} (x) \ cdot \ cos ^ {2} (x ) \, dx = - \ sin ^ {2n + 1} (x) \ cos x + (2n + 1) \ int \ sin ^ {2n} (x) (1- \ sin ^ {2} x) \, dx}

I_{n+1}={\frac {1}{2n+2}}\left[(2n+1)I_{n}-\sin ^{2n+1}(x)\cdot \cos(x)\right]+C.

{\ displaystyle I_ {n + 1} = {\ frac {1} {2n + 2}} \ left [(2n + 1) I_ {n} - \ sin ^ {2n + 1} (x) \ cdot \ cos (x) \ dreapta] + C.}

{\ displaystyle I_ {n + 1} = {\ frac {1} {2n + 2}} \ left [(2n + 1) I_ {n} - \ sin ^ {2n + 1} (x) \ cdot \ cos (x) \ dreapta] + C.}

Mai multe dimensiuni

Formula de integrare a pieselor poate fi extinsă la funcțiile mai multor variabile. În loc de un interval se integrează pe un set n- dimensional. Mai mult, derivatul parțial este substituit derivatului . ^[4]

Mai exact, fie Ω un subset deschis delimitat de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ cu o margine ∂Ω. Dacă u și v sunt două funcții care pot fi diferențiate continuu la închiderea lui Ω, atunci formula de integrare pe părți este:

\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}v\,dx=\int _{\partial \Omega }uv\,\nu _{i}\,d\sigma -\int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,dx

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ {i}}} v \, dx = \ int _ {\ partial \ Omega} uv \, \ nu _ {i} \, d \ sigma - \ int _ {\ Omega} u {\ frac {\ partial v} {\ partial x_ {i}}} \, dx}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ {i}}} v \, dx = \ int _ {\ partial \ Omega} uv \, \ nu _ {i} \, d \ sigma - \ int _ {\ Omega} u {\ frac {\ partial v} {\ partial x_ {i}}} \, dx}

unde este $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ este normal la suprafața unității care iese din ∂Ω, ν _i este componenta sa i , cu i variind de la 1 la n . Înlocuind v în formula anterioară cu v _i și adăugând peste i obținem formula vectorială:

\int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {v} \,dx=\int _{\partial \Omega }u\,\mathbf {v} \cdot \nu \,d\sigma -\int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {v} \,dx

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ mathbf {v} \, dx = \ int _ {\ partial \ Omega} u \, \ mathbf {v} \ cdot \ nu \, d \ sigma - \ int _ {\ Omega} u \, \ nabla \ cdot \ mathbf {v} \, dx}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ mathbf {v} \, dx = \ int _ {\ partial \ Omega} u \, \ mathbf {v} \ cdot \ nu \, d \ sigma - \ int _ {\ Omega} u \, \ nabla \ cdot \ mathbf {v} \, dx}

unde v este o funcție vectorială cu componentele v _i .

Setarea u egală cu funcția constantă 1 din formula de mai sus dă teorema divergenței . Cu $\mathbf {v} =\nabla v$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla v}$ unde este $v\in C^{2}({\bar {\Omega }})$ ${\ displaystyle v \ în C ^ {2} ({\ bar {\ Omega}})}$ ${\ displaystyle v \ în C ^ {2} ({\ bar {\ Omega}})}$ , noi obținem:

\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\partial \Omega }u\,\nabla v\cdot \nu \,d\sigma -\int _{\Omega }u\,\Delta v\,dx

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v \, dx = \ int _ {\ partial \ Omega} u \, \ nabla v \ cdot \ nu \, d \ sigma - \ int _ {\ Omega} u \, \ Delta v \, dx}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v \, dx = \ int _ {\ partial \ Omega} u \, \ nabla v \ cdot \ nu \, d \ sigma - \ int _ {\ Omega} u \, \ Delta v \, dx}

care este prima identitate a lui Green .

Notă

^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p.W12
^ Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p.295
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p.560
^ Carlamaria Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică II , CittàStudi Edizioni - Milano, 1997, ISBN 88-251-7206-0 . pp. 392-397

Bibliografie

Massimo Bergamini, Anna Tryphon, Graziella Barozzi, Curs de bază de matematică Volumul-5 Albastru, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 .
Carlamaria Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 .
Carlamaria Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică II , CittàStudi Edizioni - Milano, 1997, ISBN 88-251-7206-0 .
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Integrare pe părți , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p.W12

[2] Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p.295

[3] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p.560

[4] Carlamaria Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică II , CittàStudi Edizioni - Milano, 1997, ISBN 88-251-7206-0 . pp. 392-397

[1]

[2]

[3]

[4]