Notare multi-index

Notarea multi-index este o notație matematică care permite simplificarea considerabilă a multor formule, prin generalizarea conceptului de index la cel al unui tuplu ordonat de indici. Găsește aplicația, de exemplu, în calculul multivariabil , ecuațiile parțiale diferențiale și teoria distribuției .

Un indice multi-dimensional n este un tuplu de numere naturale , adică numere întregi, mai mari sau egale cu zero, $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ ${\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ alpha _ {n}) \ in \ mathbb {N} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ alpha _ {n}) \ in \ mathbb {N} ^ {n}}$ .

Reguli

Sunt definite următoarele reguli, pentru $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n},\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} ^ {n}, \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb { R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} ^ {n}, \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb { R} ^ {n}}$ :

\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})

{\ displaystyle \ alpha \ pm \ beta = (\ alpha _ {1} \ pm \ beta _ {1}, \, \ alpha _ {2} \ pm \ beta _ {2}, \ ldots, \, \ alpha _ {n} \ pm \ beta _ {n})}

{\ displaystyle \ alpha \ pm \ beta = (\ alpha _ {1} \ pm \ beta _ {1}, \, \ alpha _ {2} \ pm \ beta _ {2}, \ ldots, \, \ alpha _ {n} \ pm \ beta _ {n})}

\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i

{\ displaystyle \ alpha \ leq \ beta \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ alpha _ {i} \ leq \ beta _ {i} \ quad \ forall \, i}

{\ displaystyle \ alpha \ leq \ beta \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ alpha _ {i} \ leq \ beta _ {i} \ quad \ forall \, i}

|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n}

{\ displaystyle | \ alpha | = \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ ldots + \ alpha _ {n}}

{\ displaystyle | \ alpha | = \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ ldots + \ alpha _ {n}}

\alpha !=\alpha _{1}!\alpha _{2}!\ldots \alpha _{n}!

{\ displaystyle \ alpha! = \ alpha _ {1}! \ alpha _ {2}! \ ldots \ alpha _ {n}!}

{\ displaystyle \ alpha! = \ alpha _ {1}! \ alpha _ {2}! \ ldots \ alpha _ {n}!}

{\alpha  \choose \beta }={\frac {\alpha !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\ldots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}

{\ displaystyle {\ alpha \ choose \ beta} = {\ frac {\ alpha!} {(\ alpha - \ beta)! \, \ beta!}} = {\ alpha _ {1} \ choose \ beta _ { 1}} {\ alpha _ {2} \ choose \ beta _ {2}} \ ldots {\ alpha _ {n} \ choose \ beta _ {n}}}

{\ displaystyle {\ alpha \ choose \ beta} = {\ frac {\ alpha!} {(\ alpha - \ beta)! \, \ beta!}} = {\ alpha _ {1} \ choose \ beta _ { 1}} {\ alpha _ {2} \ choose \ beta _ {2}} \ ldots {\ alpha _ {n} \ choose \ beta _ {n}}}

\mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ alpha} = x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} x_ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ ldots x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ alpha} = x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} x_ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ ldots x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}

D^{\alpha }=D_{1}^{\alpha _{1}}D_{2}^{\alpha _{2}}\ldots D_{n}^{\alpha _{n}}

{\ displaystyle D ^ {\ alpha} = D_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} D_ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ ldots D_ {n} ^ {\ alpha _ {n} }}

{\ displaystyle D ^ {\ alpha} = D_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} D_ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ ldots D_ {n} ^ {\ alpha _ {n} }}

, unde este

D_{i}^{j}:=\partial ^{j}/\partial x_{i}^{j}

{\ displaystyle D_ {i} ^ {j}: = \ partial ^ {j} / \ partial x_ {i} ^ {j}}

{\ displaystyle D_ {i} ^ {j}: = \ partial ^ {j} / \ partial x_ {i} ^ {j}}

. De asemenea, notația este utilizată în locul majusculei D

\partial ^{\alpha }

{\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha}}

{\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha}}

Această notație ne permite să extindem multe formule de calcul 1-variate la cazuri n -variate. Câteva exemple ale celor mai frecvente aplicații:

Dezvoltare multinomială

\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}^{}{{\frac {k!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) ^ {k} = \ sum _ {| \ alpha | = k} ^ {} {{\ frac {k!} {\ alpha!}} \, \ mathbf {x} ^ {\ alpha}}}

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) ^ {k} = \ sum _ {| \ alpha | = k} ^ {} {{\ frac {k!} {\ alpha!}} \, \ mathbf {x} ^ {\ alpha}}}

Formula lui Leibniz

Dacă u , v sunt diferențiabile , atunci

D^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \leq \alpha }^{}{{\alpha  \choose \nu }D^{\nu }u\,D^{\alpha -\nu }v}

{\ displaystyle D ^ {\ alpha} (uv) = \ sum _ {\ nu \ leq \ alpha} ^ {} {{\ alpha \ choose \ nu} D ^ {\ nu} u \, D ^ {\ alpha - \ nu} v}}

{\ displaystyle D ^ {\ alpha} (uv) = \ sum _ {\ nu \ leq \ alpha} ^ {} {{\ alpha \ choose \ nu} D ^ {\ nu} u \, D ^ {\ alpha - \ nu} v}}

Seria Taylor

Dacă f este analitic , atunci

f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}^{}{{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }}

{\ displaystyle f (\ mathbf {x} + \ mathbf {h}) = \ sum _ {| \ alpha | \ geq 0} ^ {} {{\ frac {D ^ {\ alpha} f (\ mathbf {x })} {\ alpha!}} \ mathbf {h} ^ {\ alpha}}}

{\ displaystyle f (\ mathbf {x} + \ mathbf {h}) = \ sum _ {| \ alpha | \ geq 0} ^ {} {{\ frac {D ^ {\ alpha} f (\ mathbf {x })} {\ alpha!}} \ mathbf {h} ^ {\ alpha}}}

Un operator diferențial parțial de ordinul n poate fi scris ca

P(D)=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}

{\ displaystyle P (D) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq N} {} {a _ {\ alpha} (x) D ^ {\ alpha}}}

{\ displaystyle P (D) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq N} {} {a _ {\ alpha} (x) D ^ {\ alpha}}}

Integrare parțială

Dacă u , v sunt compatibile în mod diferențiat într-un domeniu delimitat $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ Omega \ subset {\ mathbb {R}} ^ {n}$ avem asta

\int _{\Omega }{}{u(D^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(D^{\alpha }u)v\,dx}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {} {u (D ^ {\ alpha} v)} \, dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} ^ {} { (D ^ {\ alpha} u) v \, dx}}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {} {u (D ^ {\ alpha} v)} \, dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} ^ {} { (D ^ {\ alpha} u) v \, dx}}

Această formulă este utilizată pentru definițiile de distribuție și derivate slabe .

Teorema

Teză : Dacă i , k sunt multi-indici n-dimensionali și $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ asa de

\partial ^{i}x^{k}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&{\hbox{se}}\,\,i\leq k\\0&{\hbox{altrimenti.}}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ partial ^ {i} x ^ {k} = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {k!} {(ki)!}} x ^ {ki} & {\ hbox {se }} \, \, i \ leq k \\ 0 & {\ hbox {altfel.}} \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ partial ^ {i} x ^ {k} = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {k!} {(ki)!}} x ^ {ki} & {\ hbox {se }} \, \, i \ leq k \\ 0 & {\ hbox {altfel.}} \ end {matrix}} \ right.}

Dovadă : din regula de derivare obișnuită, susține că, dacă i, k = 0,1, ...

{\frac {d^{i}}{dx^{i}}}x^{k}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&{\hbox{se}}\,\,i\leq k,\\0&{\hbox{altrimenti.}}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {i}} {dx ^ {i}}} x ^ {k} = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {k!} {(ki)!} } x ^ {ki} & {\ hbox {if}} \, \, i \ leq k, \\ 0 & {\ hbox {altfel.}} \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {i}} {dx ^ {i}}} x ^ {k} = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {k!} {(ki)!} } x ^ {ki} & {\ hbox {if}} \, \, i \ leq k, \\ 0 & {\ hbox {altfel.}} \ end {matrix}} \ right.}

.

Dacă presupunem $i=(i_{1},\ldots ,i_{n})$ ${\ displaystyle i = (i_ {1}, \ ldots, i_ {n})}$ ${\ displaystyle i = (i_ {1}, \ ldots, i_ {n})}$ , $k=(k_{1},\ldots ,k_{n})$ ${\ displaystyle k = (k_ {1}, \ ldots, k_ {n})}$ ${\ displaystyle k = (k_ {1}, \ ldots, k_ {n})}$ , atunci avem asta

$\partial ^{i}x^{k}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {i} x ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {i} x ^ {k}}$ $=$ ${\ displaystyle =}$ ${\ displaystyle =}$ ${\frac {\partial ^{\vert i\vert }}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}={\frac {\partial ^{i_{1}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}}}x_{1}^{k_{1}}\cdots {\frac {\partial ^{i_{n}}}{\partial x_{n}^{i_{n}}}}x_{n}^{k_{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {\ vert i \ vert}} {\ partial x_ {1} ^ {i_ {1}} \ cdots \ partial x_ {n} ^ {i_ {n}}}} x_ {1} ^ {k_ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {k_ {n}} = {\ frac {\ partial ^ {i_ {1}}} {\ partial x_ {1} ^ {i_ {1 }}}} x_ {1} ^ {k_ {1}} \ cdots {\ frac {\ partial ^ {i_ {n}}} {\ partial x_ {n} ^ {i_ {n}}}} x_ {n } ^ {k_ {n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {\ vert i \ vert}} {\ partial x_ {1} ^ {i_ {1}} \ cdots \ partial x_ {n} ^ {i_ {n}}}} x_ {1} ^ {k_ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {k_ {n}} = {\ frac {\ partial ^ {i_ {1}}} {\ partial x_ {1} ^ {i_ {1 }}}} x_ {1} ^ {k_ {1}} \ cdots {\ frac {\ partial ^ {i_ {n}}} {\ partial x_ {n} ^ {i_ {n}}}} x_ {n } ^ {k_ {n}}}$

deoarece pentru fiecare r = 1, .., n este funcția $x_{r}^{k_{r}}$ ${\ displaystyle x_ {r} ^ {k_ {r}}}$ ${\ displaystyle x_ {r} ^ {k_ {r}}}$ depinde doar de coordonata r-a. Din egalitatea scrisă mai sus, este clar că orice diferențiere parțială $\partial /\partial x_{r}$ ${\ displaystyle \ partial / \ partial x_ {r}}$ ${\ displaystyle \ partial / \ partial x_ {r}}$ se reduce la derivarea obișnuită $d/dx_{r}$ ${\ displaystyle d / dx_ {r}}$ ${\ displaystyle d / dx_ {r}}$ . Dar apoi, din regula de derivare scrisă la început, rezultă că $\partial ^{i}x^{k}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {i} x ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {i} x ^ {k}}$ se anulează dacă $i_{r}>k_{r}$ ${\ displaystyle i_ {r}> k_ {r}}$ ${\ displaystyle i_ {r}> k_ {r}}$ pentru unele r = 1, .., n . Dacă asta nu se întâmplă niciodată, adică dacă, prin definiție, $i\leq k$ ${\ displaystyle i \ leq k}$ ${\ displaystyle i \ leq k}$ în sensul indexului multiplu, atunci pentru fiecare r = 1, .., n vine ${\frac {d^{i_{r}}}{dx_{r}^{i_{r}}}}x_{r}^{k_{r}}={\frac {k_{r}!}{(k_{r}-i_{r})!}}x_{r}^{k_{r}-i_{r}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {i_ {r}}} {dx_ {r} ^ {i_ {r}}}} x_ {r} ^ {k_ {r}} = {\ frac {k_ {r} !} {(k_ {r} -i_ {r})!}} x_ {r} ^ {k_ {r} -i_ {r}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {i_ {r}}} {dx_ {r} ^ {i_ {r}}}} x_ {r} ^ {k_ {r}} = {\ frac {k_ {r} !} {(k_ {r} -i_ {r})!}} x_ {r} ^ {k_ {r} -i_ {r}}}$ și deci teza teoremei. $\Box$ ${\ displaystyle \ Box}$ $\Cutie$

linkuri externe

( EN ) Derivat multi-index al unei puteri pe PlanetMath

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică