Operator liniar continuu

În analiza funcțională, un operator liniar continuu într-un spațiu vector topologic este o transformare liniară care este continuă în raport cu topologia actuală.

Definiție

Un operator liniar între spații vectoriale este o transformare liniară definită pe o varietate liniară conținută în spațiul vectorial de pornire. ^[1]

Un operator liniar $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este continuu la un moment dat $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ dacă pentru fiecare din jur $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $y_{0}=Ax_{0}$ ${\ displaystyle y_ {0} = Ax_ {0}}$ $y_ {0} = Ax_ {0}$ există un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât $Ax\in V$ ${\ displaystyle Axe \ în V}$ $Ax \ in V$ cand $x\in U$ ${\ displaystyle x \ în U}$ $x \ în U$ . În special, un operator liniar $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ definit între spații normate $X_{1}$ ${\ displaystyle X_ {1}}$ $X_ {1}$ Și $X_{2}$ ${\ displaystyle X_ {2}}$ $X_ {2}$ este continuu dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un număr $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât:

\|x_{1}-x_{2}\|_{1}<\delta \quad x_{1},x_{2}\in X_{1}

{\ displaystyle \ | x_ {1} -x_ {2} \ | _ {1} <\ delta \ quad x_ {1}, x_ {2} \ în X_ {1}}

\ | x_ {1} -x_ {2} \ | _ {1} <\ delta \ quad x_ {1}, x_ {2} \ în X_ {1}

implica:

\|Ax_{1}-Ax_{2}\|_{2}<\varepsilon

{\ displaystyle \ | Ax_ {1} -Ax_ {2} \ | _ {2} <\ varepsilon}

\ | Ax_ {1} -Ax_ {2} \ | _ {2} <\ varepsilon

Având în vedere o transformare liniară între spații normate, este continuă peste tot dacă și numai dacă este continuă într-un singur punct și este continuă dacă și numai dacă este delimitată . ^[2]

Operatori între spațiile Banach

O importanță deosebită sunt operatorii dintre spațiile Banach . De sine $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ Și $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ sunt două spații Banach, familia operatorilor lineari continui din $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ la $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este indicat cu ${\mathcal {L}}(N,M)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (N, M)}$ ${\ mathcal L} (N, M)$ . Dacă spațiu $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ sunt numerele reale cu structura euclidiană , ${\mathcal {L}}(N,M)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (N, M)}$ ${\ mathcal L} (N, M)$ este spațiul dual topologic al $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ , indicat cu ${Nu.}^{'}$ ${\ displaystyle N '}$ $N '$ și care conține funcționalitățile liniare continue definite în $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ și la valorile din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ .

Norma unui operator

Norma unui operator între spații normate este definită ca: ^[3]

\|A\|_{{\mathcal {L}}(N,M)}=\sup _{\|x\|_{N}\leq 1}\|Ax\|_{M}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {{\ mathcal {L}} (N, M)} = \ sup _ {\ | x \ | _ {N} \ leq 1} \ | Ax \ | _ {M} }

\ | A \ | _ {{{\ mathcal L} (N, M)}} = \ sup _ {{\ | x \ | _ {N} \ leq 1}} \ | Ax \ | _ {M}

Pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ avem:

\|Ax\|\leq \|A\|\|x\|

{\ displaystyle \ | Axe \ | \ leq \ | A \ | \ | x \ |}

\ | Ax \ | \ leq \ | A \ | \ | x \ |

si in consecinta:

\|A(x-y)\|=\|Ax-Ay\|\leq \|A\|\|x-y\|

{\ displaystyle \ | A (xy) \ | = \ | Ax-Ay \ | \ leq \ | A \ | \ | xy \ |}

\ | A (x-y) \ | = \ | Ax-Ay \ | \ leq \ | A \ | \ | x-y \ |

Fiecare operator continuu este, prin urmare, Lipschitzian .

Proprietate

Pentru norma de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ rezultă următoarele identități:

\|A\|=\sup _{\|x\|=1}\|Ax\|=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}

{\ displaystyle \ | A \ | = \ sup _ {\ | x \ | = 1} \ | Ax \ | = \ sup _ {x \ neq 0} {\ frac {\ | Ax \ |} {\ | x \ |}}}

\ | A \ | = \ sup _ {{\ | x \ | = 1}} \ | Ax \ | = \ sup _ {{x \ neq 0}} {\ frac {\ | Ax \ |} {\ | x \ |}}

Pentru fiecare vector $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ există un operator liniar continuu, nu neapărat unic, astfel încât:

\|A\|=1\qquad \|Ax\|=\|x\|

{\ displaystyle \ | A \ | = 1 \ qquad \ | Ax \ | = \ | x \ |}

\ | A \ | = 1 \ qquad \ | Ax \ | = \ | x \ |

Acest rezultat este un corolar al teoremei lui Hahn-Banach și, la rândul său, derivă corolarul normei :

\|x\|=\max _{\|A\|\leq 1}\|Ax\|

{\ displaystyle \ | x \ | = \ max _ {\ | A \ | \ leq 1} \ | Ax \ |}

\ | x \ | = \ max _ {{\ | A \ | \ leq 1}} \ | Ax \ |

De sine ${\bar {F}}$ ${\ displaystyle {\ bar {F}}}$ ${\ bar F}$ este un subspatiu inchis al $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ există întotdeauna un operator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu identic nul astfel încât nucleul său să coincidă cu ${\bar {F}}$ ${\ displaystyle {\ bar {F}}}$ ${\ bar F}$ .

Dacă o succesiune $(A_{n})_{n}$ ${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n}}$ $(Ann}$ operatorii continuu converg în sens punctual către o funcție $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , atunci este liniar și continuu și:

\|A\|\leq \liminf _{n}\|A_{n}\|

{\ displaystyle \ | A \ | \ leq \ liminf _ {n} \ | A_ {n} \ |}

\ | A \ | \ leq \ liminf _ {n} \ | A_ {n} \ |

Limitare și grafic

Același subiect în detaliu: Operator limitat și Graficul unei funcții .

Cele mai deschise funcție teorema statelor care o continuă (și , prin urmare , mărginit) operator liniar între spații Banach hărți ale deschise seturi în seturi deschise, adică, este o funcție deschisă . ^[4] În consecință, fiecare hartă liniară bijectivă și continuă între spațiile Banach are un invers continuu.

Teorema funcției deschise ne permite, de asemenea, să dovedim teorema graficului închis . Asuma ca $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt spații Banach și asta $T:X\to Y$ ${\ displaystyle T: X \ to Y}$ $T: X \ to Y$ este un operator liniar . Teorema afirmă că $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este limitat dacă și numai dacă graficul său este închis în spațiu $X\times Y$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ ori Y$ echipat cu topologia produsului . ^[5] Corolarul său, teorema Hellinger-Toeplitz , arată că un operator simetric $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ definit pe un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este limitat. ^[6] Acest rezultat are o importanță considerabilă în fizică , unde o anumită formă de simetrie este necesară unor operatori importanți nelimitați, cum ar fi energia în mecanica cuantică , care nu poate fi, prin urmare, definită peste tot.

Topologie operațională

Același subiect în detaliu: Topologie operațională .

Atunci când avem de-a face cu operatori lineari continui pe spații Banach sau Hilbert , este posibil să se definească diferite topologii pornind de la convergența secvențelor operatorilor. Este $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ o succesiune de operatori lineari continui pe un spatiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ (într-un mod echivalent putem considera un spațiu Banach).

Se spune că $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ converge la $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ în topologie operativă obișnuită sau puternică dacă:

T_{n}x\to Tx\qquad \forall x\in H

{\ displaystyle T_ {n} x \ to Tx \ qquad \ forall x \ in H}

T_ {n} x \ to Tx \ qquad \ forall x \ în H

Topologia operatorului obișnuit este topologia cea mai fină locală convexă din spațiul operatorilor mărginite definite pe un spațiu Hilbert (sau Banach) astfel încât harta care își asociază norma unui operator este continuă pentru fiecare element al

H.

{\ displaystyle H}

H.

.

Se spune că $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ converge la $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ în topologie operativă slabă dacă:

F(T_{n}x)\to F(Tx)\qquad \forall F\in H^{*}

{\ displaystyle F (T_ {n} x) \ to F (Tx) \ qquad \ forall F \ in H ^ {*}}

F (T_ {n} x) \ to F (Tx) \ qquad \ forall F \ in H ^ {*}

Echivalent,

T_{n}

{\ displaystyle T_ {n}}

T_ {n}

converge la

T.

{\ displaystyle T}

T.

în topologia inițială a

H.

{\ displaystyle H}

H.

. Topologia operatorului slab este topologia cea mai slabă din spațiul operatorilor mărginite definită pe un spațiu Hilbert astfel încât harta care asociază numărul unui operator

(Tx,y)

{\ displaystyle (Tx, y)}

(Tx, y)

este continuu pentru orice pereche de elemente ale

H.

{\ displaystyle H}

H.

.

Se spune că $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ converge la $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ în topologie de operare uniformă dacă:

\|T_{n}-T\|\to 0

{\ displaystyle \ | T_ {n} -T \ | \ to 0}

{\ displaystyle \ | T_ {n} -T \ | \ to 0}

Echivalent:

\sup _{|x|=1}\Vert T_{n}x-Tx\Vert _{H}\to 0

{\ displaystyle \ sup _ {| x | = 1} \ Vert T_ {n} x-Tx \ Vert _ {H} \ to 0}

\ sup _ {{| x | = 1}} \ Vert T_ {n} x-Tx \ Vert _ {H} \ la 0

Această topologie este mai fină decât precedentele.

Convergența în topologia operatorului uniformă o implică pe cea obișnuită, care la rândul său o implică pe cea slabă. În plus, fiecare limită, dacă există, este unică.

Notă

^ Cerința ca domeniul să fie o varietate liniară este necesară în cazul general al spațiilor vectoriale de dimensiune infinită.
^ Reed, Simon , Pagina 9 .
^ Reed, Simon , Pagina 182
^ Reed, Simon , Pagina 82 .
^ Reed, Simon , Pagina 83
^ Reed, Simon , Pagina 84

Bibliografie

Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Cerința ca domeniul să fie o varietate liniară este necesară în cazul general al spațiilor vectoriale de dimensiune infinită.

[def-2] Reed, Simon , Pagina 9 .

[3] Reed, Simon , Pagina 182

[4] Reed, Simon , Pagina 82 .

[5] Reed, Simon , Pagina 83

[6] Reed, Simon , Pagina 84

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]