Operator compact

În analiza funcțională , un operator compact este un operator liniar între spațiile Banach astfel încât imaginea fiecărui subset delimitat al domeniului este un set relativ compact al intervalului, adică închiderea acestuia este compactă .

Fiecare operator compact este un operator complet continuu , dar inversul nu este adevărat. ^[1]

Operatorii compacti sunt în mod necesar limitați și, prin urmare, sunt operatori continui . Orice operator mărginit care are rang finit este un operator compact și, prin urmare, clasa operatorilor compacti este generalizarea naturală a clasei operatorilor cu rang finit într-un spațiu dimensional infinit.

Dacă definim un operator compact dintr-un spațiu Hilbert în sine, acesta este limita unei succesiuni de operatori cu rang finit și, prin urmare, clasa operatorilor compacti poate fi alternativ definită ca închiderea clasei de operatori cu rang finit.

Operatorii compacti dintr-un spațiu Banach în sine formează un ideal bilateral în algebra tuturor operatorilor delimitați ai unui spațiu. Mai mult, operatorii compacți pe un spațiu Hilbert formează un ideal minim, pentru care algebra coeficientă , cunoscută sub numele de algebra lui Calkin , este o algebră simplă . Exemple de operatori compacți sunt operatorii Hilbert-Schmidt sau, mai general, operatorii din clasa Schmidt.

Istorie

Originea teoriei operatorului compact poate fi găsită în teoria ecuațiilor integrale . O ecuație integrală tipică Fredholm dă naștere unui operator $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , iar proprietatea de compactitate este prezentată pentru echicontinuitate . Metoda aproximărilor pentru operatorii cu rang finit este fundamentală în soluția numerică a acestor ecuații. Ideea abstractă a operatorilor Fredholm derivă tocmai din această conexiune. Teoria spectrală pentru operatorii compacti este opera lui Frigyes Riesz și a fost publicată în 1918 . Arată că un operator compact $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ pe un spațiu Banach are un spectru care este un subset finit de $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ care include 0 sau un subset set de $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ care are 0 ca singur punct de acumulare. Mai mult, în ambele cazuri elementele nenule ale spectrului sunt valori proprii ale $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ cu multiplicitate finită, adică $K-\lambda I$ ${\ displaystyle K- \ lambda I}$ ${\ displaystyle K- \ lambda I}$ are un nucleu dimensional finit pentru toți $\lambda \neq 0$ ${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$ complex.

Definiție

Lasa-i sa fie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Spațiile Banach și ambele $T:X\to Y$ ${\ displaystyle T: X \ to Y}$ $T: X \ to Y$ un operator limitat . Operatorul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ se numește compact dacă mapează seturi mărginite de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în seturi precompacte de $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , adică seturi a căror închidere este compactă . ^[2]

Echivalent, $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este compact dacă se menține una dintre următoarele proprietăți:

Pentru orice succesiune limitată $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset X$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subset X}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subset X}$ succesiunea $\{Tx_{n}\}\$ ${\ displaystyle \ {Tx_ {n} \} \}$ ${\ displaystyle \ {Tx_ {n} \} \}$ posedă o subsecvență convergentă în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .
Spus $B_{X}$ ${\ displaystyle B_ {X}}$ ${\ displaystyle B_ {X}}$ sfera unitară în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , $T(B_{X})$ ${\ displaystyle T (B_ {X})}$ ${\ displaystyle T (B_ {X})}$ este relativ compact în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .
Imaginea fiecărui subset delimitat de mai jos $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un spațiu total limitat în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .
Există un cartier $U\subset X$ ${\ displaystyle U \ subset X}$ ${\ displaystyle U \ subset X}$ de 0 și există un set compact $V\subset Y$ ${\ displaystyle V \ subset Y}$ ${\ displaystyle V \ subset Y}$ astfel încât $T(U)\subset V$ ${\ displaystyle T (U) \ subset V}$ ${\ displaystyle T (U) \ subset V}$ .
Pentru fiecare succesiune $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ din sfera unitară $B_{X}$ ${\ displaystyle B_ {X}}$ ${\ displaystyle B_ {X}}$ , succesiunea $(Tx_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle (Tx_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (Tx_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ conține o subsecvență Cauchy .
Spus $L(X,Y)$ ${\ displaystyle L (X, Y)}$ ${\ displaystyle L (X, Y)}$ spațiul operatorilor liniari și continui din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , $T\in L(X,Y)$ ${\ displaystyle T \ în L (X, Y)}$ ${\ displaystyle T \ în L (X, Y)}$ mapează secvențe slab convergente în secvențe puternic convergente.

Formă canonică pentru operatorii compacti

Este $T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle T: {\ mathcal {H}} \ to {\ mathcal {H}}}$ ${\ displaystyle T: {\ mathcal {H}} \ to {\ mathcal {H}}}$ un operator compact pe un spațiu Hilbert ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal {H}}$ . Apoi există două seturi de vectori ortonormali care nu sunt neapărat complete $\{\phi _{n}\}$ ${\ displaystyle \ {\ phi _ {n} \}}$ $\ {\ phi _ {n} \}$ Și $\{\psi _{n}\}$ ${\ displaystyle \ {\ psi _ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ psi _ {n} \}}$ , și există un set de numere pozitive $\{\lambda _{n}\}$ ${\ displaystyle \ {\ lambda _ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ lambda _ {n} \}}$ care se anulează pentru $n\to N$ ${\ displaystyle n \ to N}$ ${\ displaystyle n \ to N}$ , astfel încât: ^[3]

T=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle \phi _{n},\cdot \rangle \psi _{n}\qquad 1\leq N\leq \infty

{\ displaystyle T = \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ lambda _ {n} \ langle \ phi _ {n}, \ cdot \ rangle \ psi _ {n} \ qquad 1 \ leq N \ leq \ infty}

{\ displaystyle T = \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ lambda _ {n} \ langle \ phi _ {n}, \ cdot \ rangle \ psi _ {n} \ qquad 1 \ leq N \ leq \ infty}

Un astfel de script este numit forma canonică pentru operatori compacte și numere $\{\lambda _{n}\}$ ${\ displaystyle \ {\ lambda _ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ lambda _ {n} \}}$ sunt valorile singulare ale $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Suma astfel definită poate fi finită sau infinită și converge în normă. Valorile unice se pot acumula numai pe zero și sunt valorile proprii ale $|T|$ ${\ displaystyle | T |}$ ${\ displaystyle | T |}$ .

Proprietate

Operatorii compacti au următoarele proprietăți: ^[4]

Este $\{T_{n}\}\$ ${\ displaystyle \ {T_ {n} \} \}$ ${\ displaystyle \ {T_ {n} \} \}$ o succesiune de operatori convergenti compacti a $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , asa de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este compact.
Un operator $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este compact dacă și numai dacă suplimentul său este, de asemenea, compact.
Este $S:X\to Y$ ${\ displaystyle S: X \ to Y}$ ${\ displaystyle S: X \ to Y}$ un operator limitat și ambele $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ un spațiu Banach. De sine $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ sau $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este compact, la fel și operatorul $S. T.$ ${\ displaystyle ST}$ ${\ displaystyle ST}$ .
Este ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal {H}}$ un spațiu Hilbert separabil . Fiecare operator compact activat ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal {H}}$ este limita în normă a unei succesiuni de operatori cu rang finit.

Teorema analitică a lui Fredholm

Același subiect în detaliu: Teoria Fredholm și Teoremele Fredholm .

Unul dintre principalele rezultate în analiza funcțională referitoare la operatorii compacti este teorema analitică a lui Fredholm și, în special, corolarul său numit alternativa lui Fredholm .

Este $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ un subset deschis și conectat de $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ , este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție analitică definită pe $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ la valori în spațiul operatorilor mărginite pe un spațiu Hilbert și ambele $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ compact pentru fiecare $z\in D$ ${\ displaystyle z \ în D}$ $z \ în D$ . Teorema analitică a lui Fredholm afirmă că sau $(I-f(z))^{-1}$ ${\ displaystyle (If (z)) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (I-f (z)) ^ {- 1}}$ nu există pentru nimeni $z\in D$ ${\ displaystyle z \ în D}$ $z \ în D$ , sau $(I-f(z))^{-1}$ ${\ displaystyle (If (z)) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (I-f (z)) ^ {- 1}}$ există pentru fiecare $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în D \ S , unde $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este un subset discret conținut în $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , sau astfel încât să nu aibă puncte limită în setul respectiv. În acest caz operatorul $(I-f(z))^{-1}$ ${\ displaystyle (If (z)) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (I-f (z)) ^ {- 1}}$ este mereomorf al $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ și analitic în D \ S. Mai mult, reziduurile de la poli sunt operatori de rang finit și dacă $z\in S$ ${\ displaystyle z \ in S}$ $z \ în S$ asa de $f(z)\psi =\psi$ ${\ displaystyle f (z) \ psi = \ psi}$ ${\ displaystyle f (z) \ psi = \ psi}$ are o soluție diferită de zero în spațiul Hilbert. ^[5]

Alternativa lui Fredholm este un corolar al teoremei analitice a lui Fredholm care afirmă că dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un operator compact pe un spațiu Hilbert atunci o $(I-f(z))^{-1}$ ${\ displaystyle (If (z)) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (I-f (z)) ^ {- 1}}$ există sau $A\psi =\psi$ ${\ displaystyle A \ psi = \ psi}$ ${\ displaystyle A \ psi = \ psi}$ are o soluție. ^[6]

Teorema lui Hilbert-Schmidt

Același subiect în detaliu: teorema lui Hilbert-Schmidt .

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un operator compact și autoadjunct definit pe un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Apoi, există o bază ortonormală completă $\{\phi _{n}\}$ ${\ displaystyle \ {\ phi _ {n} \}}$ $\ {\ phi _ {n} \}$ din $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ astfel încât: ^[6]

A\phi _{n}=\lambda _{n}\phi _{n}\

{\ displaystyle A \ phi _ {n} = \ lambda _ {n} \ phi _ {n} \}

{\ displaystyle A \ phi _ {n} = \ lambda _ {n} \ phi _ {n} \}

Si deasemenea:

\lim _{n\to +\infty }\lambda _{n}=0

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} \ lambda _ {n} = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} \ lambda _ {n} = 0}

Teorema lui Riesz-Schauder

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un operator compact definit pe un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Apoi spectrul $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ este un set discret fără puncte limită, cu excepția eventuală pentru $\lambda =0$ ${\ displaystyle \ lambda = 0}$ ${\ displaystyle \ lambda = 0}$ . În plus, fiecare $\lambda \in \sigma (A)$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma (A)}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma (A)}$ este o valoare proprie diferită de zero care are multiplicitate finită. ^[6]

Exemple

Pentru o funcție fixă $g\in C[0,1]$ ${\ displaystyle g \ in C [0,1]}$ ${\ displaystyle g \ in C [0,1]}$ , putem defini un operator liniar $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu:

(Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)dt

{\ displaystyle (Tf) (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (t) g (t) dt}

{\ displaystyle (Tf) (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (t) g (t) dt}

Acest operator este compact, așa cum se arată în teorema Ascoli-Arzelà .

Notă

^ (EN) MI Voitsekhovskii, Operator complet continuu , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
^ Reed, Simon , p. 199
^ Reed, Simon , Pagina 204
^ Reed, Simon , p . 200 .
^ Reed, Simon , Pagina 202
^ ^a ^b ^c Reed, Simon , Pagina 203 .

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
(EN) John B. Conway, Un curs de analiză funcțională, Springer-Verlag, 1985, ISBN 3-540-96042-2 .

( EN ) Renardy, Michael și Rogers, Robert C.,O introducere la ecuațiile diferențiale parțiale , Texte în matematică aplicată 13, Second, New York, Springer-Verlag, 2004, p. 356 , ISBN 0-387-00444-0 . (Secțiunea 7.5)

( EN ) Kutateladze, SS, Fundamentals of Functional Analysis , Texts in Mathematical Sciences 12, Second, New York, Springer-Verlag, 1996, p. 292 , ISBN 978-0-7923-3898-7 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VI Sobolev, Operator compact , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) MI Voitsekhovskii, Operator complet continuu , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

[2] Reed, Simon , p. 199

[3] Reed, Simon , Pagina 204

[4] Reed, Simon , p . 200 .

[5] Reed, Simon , Pagina 202

[teo-6] Reed, Simon , Pagina 203 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]