Alternativa Fredholm

În matematică , alternativa lui Fredholm , numită după Ivar Fredholm , este una dintre teoremele lui Fredholm , care se încadrează în contextul teoriei lui Fredholm . Enuciatul arată că un număr complex diferit de zero este fie o valoare proprie a unui operator compact, fie este în solventul său.

Teorema poate fi afirmată în diferite moduri, deoarece formularea sa poate fi realizată în contextul algebrei liniare , al ecuațiilor integrale sau în teoria operatorilor Fredholm .

Algebră liniară

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial de dimensiune n e $T:V\to V$ ${\ displaystyle T: V \ to V}$ $T: V \ to V$ o transformare liniară . Atunci exact una dintre următoarele este valabilă:

Pentru fiecare $\mathbf {v} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în V}$ $\ mathbf v \ în V$ există $\mathbf {u} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ în V}$ ${\ mathbf u} \ în V$ astfel încât $T(\mathbf {u} )=\mathbf {v}$ ${\ displaystyle T (\ mathbf {u}) = \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle T (\ mathbf {u}) = \ mathbf {v}}$ . Cu alte cuvinte, $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este o funcție surjectivă și, prin urmare, biunivocă, deoarece spațiul este finit-dimensional.
$\dim(\ker(T))>0$ ${\ displaystyle \ dim (\ ker (T))> 0}$ ${\ displaystyle \ dim (\ ker (T))> 0}$

O formulare care utilizează matrici în mod echivalent afirmă că a dat o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ in marime $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ și un vector coloană $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ in marime $m\times 1$ ${\ displaystyle m \ times 1}$ ${\ displaystyle m \ times 1}$ , exact una dintre următoarele afirmații este valabilă:

$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ ${\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$ ${\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$ are o soluție $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$
$A^{T}\mathbf {y} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle A ^ {T} \ mathbf {y} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle A ^ {T} \ mathbf {y} = \ mathbf {0}}$ are soluție $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ cu $\mathbf {y} ^{T}\mathbf {b} \neq 0$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {T} \ mathbf {b} \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {T} \ mathbf {b} \ neq 0}$

Adică, $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ ${\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$ ${\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$ are soluție (adică $\mathbf {b} \in \operatorname {Im} (A)$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} \ in \ operatorname {Im} (A)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} \ in \ operatorname {Im} (A)}$ ) dacă și numai dacă pentru fiecare $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ astfel încât $A^{T}\mathbf {y} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle A ^ {T} \ mathbf {y} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle A ^ {T} \ mathbf {y} = \ mathbf {0}}$ da ai $\mathbf {y} ^{T}\mathbf {b} =0$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {T} \ mathbf {b} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {T} \ mathbf {b} = 0}$ , acesta este $\mathbf {b} \in \ker(A^{T})^{\bot }$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} \ in \ ker (A ^ {T}) ^ {\ bot}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} \ in \ ker (A ^ {T}) ^ {\ bot}}$ .

Ecuații integrale

Alternativa poate fi exprimată spunând că, având în vedere un operator compact $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , Este dat $\lambda \in \mathbb {C} -\{0\}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C} - \ {0 \}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C} - \ {0 \}}$ , sau $T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$ ${\ displaystyle T \ mathbf {v} = \ lambda \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle T \ mathbf {v} = \ lambda \ mathbf {v}}$ are o soluție diferită de zero sau $(T-\lambda I)\mathbf {v} =f$ ${\ displaystyle (T- \ lambda I) \ mathbf {v} = f}$ ${\ displaystyle (T- \ lambda I) \ mathbf {v} = f}$ are soluție unică pentru orice alegere de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , ceea ce echivalează cu a spune asta sau $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este o valoare proprie (adică un element al spectrului punctual ) sau $(T-\lambda I)^{-1}$ ${\ displaystyle (T- \ lambda I) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (T- \ lambda I) ^ {- 1}}$ este limitat , adică $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ se află în domeniul operatorului de rezolvare. În contextul ecuațiilor integrale, acest lucru este exprimat având în vedere ecuația integrală Fredholm :

\phi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=0

{\ displaystyle \ phi (x) - \ lambda \ int _ {a} ^ {b} K (x, y) \ phi (y) \, dy = 0}

{\ displaystyle \ phi (x) - \ lambda \ int _ {a} ^ {b} K (x, y) \ phi (y) \, dy = 0}

unde dacă $K(x,y)$ ${\ displaystyle K (x, y)}$ ${\ displaystyle K (x, y)}$ este un nucleu neted , operatorul integral astfel definit este compact. Având în vedere ecuația neomogenă:

\phi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x)

{\ displaystyle \ phi (x) - \ lambda \ int _ {a} ^ {b} K (x, y) \ phi (y) \, dy = f (x)}

{\ displaystyle \ phi (x) - \ lambda \ int _ {a} ^ {b} K (x, y) \ phi (y) \, dy = f (x)}

Alternativa lui Fredholm afirmă că pentru orice număr complex nu este nul $\lambda \in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$ fie prima ecuație are o soluție non-banală, fie a doua are o soluție pentru fiecare $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ , iar acest lucru se aplică și relațiilor conjugate complexe respective:

\psi (x)-{\bar {\lambda }}\int _{a}^{b}{\overline {K(x,y)}}\psi (y)\,dy=0\qquad \psi (x)-{\bar {\lambda }}\int _{a}^{b}{\overline {K(x,y)}}\psi (y)\,dy=g(x)

{\ displaystyle \ psi (x) - {\ bar {\ lambda}} \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {K (x, y)}} \ psi (y) \, dy = 0 \ qquad \ psi (x) - {\ bar {\ lambda}} \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {K (x, y)}} \ psi (y) \, dy = g (x) }

{\ displaystyle \ psi (x) - {\ bar {\ lambda}} \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {K (x, y)}} \ psi (y) \, dy = 0 \ qquad \ psi (x) - {\ bar {\ lambda}} \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {K (x, y)}} \ psi (y) \, dy = g (x) }

O condiție suficientă pentru validitatea teoremei este aceea $K(x,y)$ ${\ displaystyle K (x, y)}$ ${\ displaystyle K (x, y)}$ este pătrat sumabil pe dreptunghi $[a,b]\times [a,b]$ ${\ displaystyle [a, b] \ times [a, b]}$ ${\ displaystyle [a, b] \ times [a, b]}$ (unde extremele pot fi nelimitate).

Teorema spațiului Banach

Prin operatorii Fredholm se generalizează teorema spațiului Banach de mărime arbitrară. În mod informal, corespondența dintre versiunea propoziției în algebră liniară și cea pentru ecuațiile integrale este arătată prin setarea:

T(x,y)=\lambda \delta (x-y)-K(x,y)

{\ displaystyle T (x, y) = \ lambda \ delta (xy) -K (x, y)}

{\ displaystyle T (x, y) = \ lambda \ delta (x-y) -K (x, y)}

cu $\delta (x-y)$ ${\ displaystyle \ delta (xy)}$ ${\ displaystyle \ delta (x-y)}$ delta Dirac . Operatorul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ poate fi văzut ca un operator liniar care acționează asupra unui spațiu Banach $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de funcții $\phi (x)$ ${\ displaystyle \ phi (x)}$ $\ phi (x)$ , asa de $T:V\to V$ ${\ displaystyle T: V \ to V}$ $T: V \ to V$ este dat de hartă $\phi \mapsto \psi$ ${\ displaystyle \ phi \ mapsto \ psi}$ ${\ displaystyle \ phi \ mapsto \ psi}$ , cu $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ furnizat de:

\psi (x)=\int _{a}^{b}T(x,y)\phi (y)\,dy

{\ displaystyle \ psi (x) = \ int _ {a} ^ {b} T (x, y) \ phi (y) \, dy}

{\ displaystyle \ psi (x) = \ int _ {a} ^ {b} T (x, y) \ phi (y) \, dy}

Teorema afirmă că dat un operator liniar continuu $T:E\to E$ ${\ displaystyle T: E \ to E}$ ${\ displaystyle T: E \ to E}$ între spațiile din Banach și a spus $T^{*}:E^{*}\to E^{*}$ ${\ displaystyle T ^ {*}: E ^ {*} \ to E ^ {*}}$ ${\ displaystyle T ^ {*}: E ^ {*} \ to E ^ {*}}$ operatorul în spațiul dual sau există soluții unice pentru:

T(x)=y\qquad T^{*}(f)=g\quad x,y\in E\quad f,g\in E^{*}

{\ displaystyle T (x) = y \ qquad T ^ {*} (f) = g \ quad x, y \ in E \ quad f, g \ in E ^ {*}}

{\ displaystyle T (x) = y \ qquad T ^ {*} (f) = g \ quad x, y \ in E \ quad f, g \ in E ^ {*}}

sau ecuațiile omogene:

T(x)=0\qquad T^{*}(f)=0\quad x\in E\quad f\in E^{*}

{\ displaystyle T (x) = 0 \ qquad T ^ {*} (f) = 0 \ quad x \ in E \ quad f \ in E ^ {*}}

{\ displaystyle T (x) = 0 \ qquad T ^ {*} (f) = 0 \ quad x \ in E \ quad f \ in E ^ {*}}

au același număr $n<\infty$ ${\ displaystyle n <\ infty}$ ${\ displaystyle n <\ infty}$ de soluții liniar independente .

Lasa-i sa fie $x_{1},\dots x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ dots x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ dots x_ {n}}$ Și $f_{1},\dots f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ dots f_ {n}}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ dots f_ {n}}$ soluțiile ecuațiilor omogene. Deci, dați două soluții speciale $X^{'}$ ${\ displaystyle x '}$ $X '$ Și $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ a ecuațiilor neomogene, soluția generală a acesteia din urmă este suma unei soluții particulare și o combinație liniară de soluții (liniar independente) ale ecuației relative omogene:

x=x'+\sum _{1}^{n}c_{i}x_{i}\qquad f=f'+\sum _{1}^{n}c_{i}f_{i}

{\ displaystyle x = x '+ \ sum _ {1} ^ {n} c_ {i} x_ {i} \ qquad f = f' + \ sum _ {1} ^ {n} c_ {i} f_ {i }}

{\ displaystyle x = x '+ \ sum _ {1} ^ {n} c_ {i} x_ {i} \ qquad f = f' + \ sum _ {1} ^ {n} c_ {i} f_ {i }}

cu $c_{1},\dots ,c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {1}, \ dots, c_ {n}}$ ${\ displaystyle c_ {1}, \ dots, c_ {n}}$ coeficienți arbitrari.

Alternativa lui Fredholm se aplică unui operator dacă și numai dacă poate fi scrisă ca suma unui operator compact și a unui operator invers continuu.

Bibliografie

EI Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math. , 27 (1903) pp. 365–390.
AG Ramm, „ O dovadă simplă a alternativei Fredholm și o caracterizare a operatorilor Fredholm ”, American Mathematical Monthly , 108 (2001) p. 855.
VI Smirnov, Un curs de matematică superioară , 4, Addison-Wesley (1964)
VS Vladimirov, Ecuațiile fizicii matematice , MIR (1984)
LV Kantorovich, GP Akilov, Analiza funcțională în spații normate , Pergamon (1964)

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Fredholm Alternative , în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Operator Fredholm , în PlanetMath .
( EN ) BV Khvedelidze, operator Fredholm , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică