Teoria spectrală

În matematică , în special în analiza funcțională și algebra liniară , prin teorie spectrală se înțelege extensia unor concepte de algebră liniară , precum cele ale vectorului propriu și ale valorii proprii sau ale spectrului , la un context matematic mai general, care permite utilizarea lor în foarte diferite câmpuri. ^[1] ^[2] În special, teoria spectrală este legată de studiul funcțiilor analitice . ^[3]

Denumirea de „teorie spectrală” a fost introdusă de David Hilbert în formularea sa originală a teoriei spațiilor de către Hilbert . Versiunea inițială a teoremei spectrale a fost, totuși, o versiune a teoremei axei principale a unui elipsoid în contextul formelor pătratice în variabile infinite. Mai târziu teoria spectrală este exploatată pentru a descrie caracteristicile spectrului atomic în mecanica cuantică . De fapt, după prima formulare a lui Hilbert, dezvoltarea teoriei spațiilor lui Hilbert și a teoriei spectrale pentru operatorii normali a continuat în paralel cu nevoile lumii fizice datorită contribuției diverselor personalități, inclusiv a lui von Neumann . ^[4]

În raport cu analiza armonică , transformata Fourier pe axa reală poate fi văzută ca o teorie spectrală pentru operatorul de derivație (considerând că funcțiile exponențiale sunt funcțiile proprii respective), chiar dacă pentru a avea o descriere completă este necesar să se utilizeze generalizate funcții proprii (de exemplu într-un spațiu Hilbert mărit ).

Introducere

Spectrală teoremă stabilește condițiile pentru care un operator liniar poate fi scris ca suma operatorilor mai simple, folosind o bază compusă din operatorului de funcții proprii , într - o procedură tipică de auto- teorie .

Folosind notația bra-ket , o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ acționând asupra coordonatelor $(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dots)}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dots)}$ poate fi scris ca:

f(x)=\langle x,f\rangle

{\ displaystyle f (x) = \ langle x, f \ rangle}

{\ displaystyle f (x) = \ langle x, f \ rangle}

Vectorul $|f\rangle$ ${\ displaystyle | f \ rangle}$ ${\ displaystyle | f \ rangle}$ este de obicei văzut ca un element al unui spațiu Hilbert și alegerea produsului interior standard definește norma sa:

\|f\|^{2}=\langle f,f\rangle =\int \langle f,x\rangle \langle x,f\rangle \,dx=\int f^{*}(x)f(x)\,dx

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = \ langle f, f \ rangle = \ int \ langle f, x \ rangle \ langle x, f \ rangle \, dx = \ int f ^ {*} (x ) f (x) \, dx}

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = \ langle f, f \ rangle = \ int \ langle f, x \ rangle \ langle x, f \ rangle \, dx = \ int f ^ {*} (x ) f (x) \, dx}

unde este $^{*}$ ${\ displaystyle ^ {*}}$ ${\ displaystyle ^ {*}}$ denotă complexul conjugat. În cele ce urmează, discuția este valabilă pentru un produs intern generic.

Un operator este, în acest context, o funcție (de obicei liniară) care acționează asupra unei alte funcții. De exemplu, luați în considerare operatorul:

L=|k_{1}\rangle \langle b_{1}|

{\ displaystyle L = | k_ {1} \ rangle \ langle b_ {1} |}

{\ displaystyle L = | k_ {1} \ rangle \ langle b_ {1} |}

Acțiunea de $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ pe $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este produsul unei noi funcții $|k_{1}\rangle$ ${\ displaystyle | k_ {1} \ rangle}$ ${\ displaystyle | k_ {1} \ rangle}$ pentru produsul dot $\langle b_{1}|f\rangle$ ${\ displaystyle \ langle b_ {1} | f \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle b_ {1} | f \ rangle}$ :

L|f\rangle =|k_{1}\rangle \langle b_{1}|f\rangle

{\ displaystyle L | f \ rangle = | k_ {1} \ rangle \ langle b_ {1} | f \ rangle}

{\ displaystyle L | f \ rangle = | k_ {1} \ rangle \ langle b_ {1} | f \ rangle}

Mai general, un operator poate fi considerat definit astfel:

L=\lambda _{1}|e_{1}\rangle \langle f_{1}|+\lambda _{2}|e_{2}\rangle \langle f_{2}|+\lambda _{3}|e_{3}\rangle \langle f_{3}|+\dots

{\ displaystyle L = \ lambda _ {1} | e_ {1} \ rangle \ langle f_ {1} | + \ lambda _ {2} | e_ {2} \ rangle \ langle f_ {2} | + \ lambda _ {3} | e_ {3} \ rangle \ langle f_ {3} | + \ dots}

{\ displaystyle L = \ lambda _ {1} | e_ {1} \ rangle \ langle f_ {1} | + \ lambda _ {2} | e_ {2} \ rangle \ langle f_ {2} | + \ lambda _ {3} | e_ {3} \ rangle \ langle f_ {3} | + \ dots}

unde este $\{\,\lambda _{i}\,\}$ ${\ displaystyle \ {\, \ lambda _ {i} \, \}}$ ${\ displaystyle \ {\, \ lambda _ {i} \, \}}$ sunt scalari, $\{\,|e_{i}\rangle \,\}$ ${\ displaystyle \ {\, | e_ {i} \ rangle \, \}}$ ${\ displaystyle \ {\, | e_ {i} \ rangle \, \}}$ formează o bază și $\{\,\langle f_{i}|\,\}$ ${\ displaystyle \ {\, \ langle f_ {i} | \, \}}$ ${\ displaystyle \ {\, \ langle f_ {i} | \, \}}$ este baza spațiului dual . Relația dintre cele două baze este parțial descrisă de:

\langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}

{\ displaystyle \ langle f_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}

{\ displaystyle \ langle f_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}

Dacă se poate folosi un astfel de formalism, numerele $\{\,\lambda _{i}\,\}$ ${\ displaystyle \ {\, \ lambda _ {i} \, \}}$ ${\ displaystyle \ {\, \ lambda _ {i} \, \}}$ sunt valorile proprii ale $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ și funcții $\{\,|e_{i}\rangle \,\}$ ${\ displaystyle \ {\, | e_ {i} \ rangle \, \}}$ ${\ displaystyle \ {\, | e_ {i} \ rangle \, \}}$ sunt funcțiile de sine respective. ^[5]

Operatorul de identitate, de exemplu, poate fi scris ca:

I=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|

{\ displaystyle I = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} |}

{\ displaystyle I = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} |}

unde este $\{\,|e_{i}\rangle \,\}$ ${\ displaystyle \ {\, | e_ {i} \ rangle \, \}}$ ${\ displaystyle \ {\, | e_ {i} \ rangle \, \}}$ Și $\{\,\langle f_{i}|\,\}$ ${\ displaystyle \ {\, \ langle f_ {i} | \, \}}$ ${\ displaystyle \ {\, \ langle f_ {i} | \, \}}$ există încă două baze coduale astfel încât $\langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}$ ${\ displaystyle \ langle f_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ langle f_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}$ . Această relație este rezoluția la identitate , numită și reprezentare a identității și se bucură de proprietate:

I^{n}=I\qquad \forall n\in \mathbb {N}

{\ displaystyle I ^ {n} = I \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {N}}

{\ displaystyle I ^ {n} = I \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {N}}

Aplicarea identității la $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ obținem expresia lui $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ în ceea ce privește funcțiile de bază $\{\,e_{i}\,\}$ ${\ displaystyle \ {\, e_ {i} \, \}}$ ${\ displaystyle \ {\, e_ {i} \, \}}$ :

I|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}\ c_{i}|e_{i}\rangle \qquad I|\psi \rangle =|\psi \rangle

{\ displaystyle I | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ c_ {i} | e_ {i} \ rangle \ qquad I | \ psi \ rangle = | \ psi \ rangle}

{\ displaystyle I | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ c_ {i} | e_ {i} \ rangle \ qquad I | \ psi \ rangle = | \ psi \ rangle}

iar această relație este generalizată prin expansiunea seriei Fourier a $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ ca o funcție a $\{\,e_{i}\,\}$ ${\ displaystyle \ {\, e_ {i} \, \}}$ ${\ displaystyle \ {\, e_ {i} \, \}}$ . Pornind de la aceasta, ecuația generică:

O|\psi \rangle =|h\rangle

{\ displaystyle O | \ psi \ rangle = | h \ rangle}

{\ displaystyle O | \ psi \ rangle = | h \ rangle}

poate fi scris în elementele de bază $\{\,e_{i}\,\}$ ${\ displaystyle \ {\, e_ {i} \, \}}$ ${\ displaystyle \ {\, e_ {i} \, \}}$ Și $\{\,f_{i}\,\}$ ${\ displaystyle \ {\, f_ {i} \, \}}$ ${\ displaystyle \ {\, f_ {i} \, \}}$ În felul următor:

O|\psi \rangle =O(I|\psi \rangle )=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\left(O|e_{i}\rangle \right)=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle

{\ displaystyle O | \ psi \ rangle = O (I | \ psi \ rangle) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ left (O | e_ {i} \ rangle \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | h \ rangle}

{\ displaystyle O | \ psi \ rangle = O (I | \ psi \ rangle) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ left (O | e_ {i} \ rangle \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | h \ rangle}

De asemenea, se pot determina coeficienții $c_{j}$ ${\ displaystyle c_ {j}}$ $c_ {j}$ :

\langle f_{j}|O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle f_{j}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle =\langle f_{j}|h\rangle \qquad \forall j

{\ displaystyle \ langle f_ {j} | O | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ langle f_ {j} | O | e_ {i} \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ langle f_ {j} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | h \ rangle = \ langle f_ {j} | h \ rangle \ qquad \ forall j }

{\ displaystyle \ langle f_ {j} | O | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ langle f_ {j} | O | e_ {i} \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ langle f_ {j} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | h \ rangle = \ langle f_ {j} | h \ rangle \ qquad \ forall j }

În cele din urmă, dat un operator liniar $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ astfel încât:

L|e_{i}\rangle =\lambda _{i}|e_{i}\rangle

{\ displaystyle L | e_ {i} \ rangle = \ lambda _ {i} | e_ {i} \ rangle}

{\ displaystyle L | e_ {i} \ rangle = \ lambda _ {i} | e_ {i} \ rangle}

unde este $\{\,\lambda _{i}\,\}$ ${\ displaystyle \ {\, \ lambda _ {i} \, \}}$ ${\ displaystyle \ {\, \ lambda _ {i} \, \}}$ sunt valorile sale proprii, rezoluția identității permite să scrieți:

LI=L=\sum _{i=1}^{n}L|e_{i}\rangle \langle f_{i}|=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|

{\ displaystyle LI = L = \ sum _ {i = 1} ^ {n} L | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} |}

{\ displaystyle LI = L = \ sum _ {i = 1} ^ {n} L | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} |}

Prin urmare, teoria spectrală se referă la stabilirea naturii și existenței unei baze de funcții și a bazei duale respective.

Spectrul operatorilor limitați

Același subiect în detaliu: Spectru (matematică) .

Dat fiind un operator liniar limitat $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ definit într-un spațiu Banach (sau mai general într-un spațiu vector topologic ^[6] ), considerați transformarea:

R_{\zeta }=\left(\zeta I-T\right)^{-1}

{\ displaystyle R _ {\ zeta} = \ left (\ zeta IT \ right) ^ {- 1}}

{\ displaystyle R _ {\ zeta} = \ left (\ zeta I-T \ right) ^ {- 1}}

unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este identitatea și $\zeta$ ${\ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$ un număr complex . Reversul $T^{-1}$ ${\ displaystyle T ^ {- 1}}$ $T ^ {{- 1}}$ din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este definit ca:

TT^{-1}=T^{-1}T=I

{\ displaystyle TT ^ {- 1} = T ^ {- 1} T = I}

{\ displaystyle TT ^ {- 1} = T ^ {- 1} T = I}

Dacă există reversul, $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ se numește regulat , în timp ce dacă nu există, se numește singular .

Setul de rezolvare $\rho (T)$ ${\ displaystyle \ rho (T)}$ $\ rho (T)$ din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este mulțimea numerelor complexe $\zeta$ ${\ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$ astfel încât $R_{\zeta }$ ${\ displaystyle R _ {\ zeta}}$ ${\ displaystyle R _ {\ zeta}}$ există și este limitată. Spectrul $\sigma (T)$ ${\ displaystyle \ sigma (T)}$ $\ sigma (T)$ din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este mulțimea numerelor complexe $\zeta$ ${\ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$ astfel încât $R_{\zeta }$ ${\ displaystyle R _ {\ zeta}}$ ${\ displaystyle R _ {\ zeta}}$ nu există sau nu este limitată. Functia $R_{\zeta }$ ${\ displaystyle R _ {\ zeta}}$ ${\ displaystyle R _ {\ zeta}}$ (când există) se numește solventul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Prin urmare, spectrul este complementul solventului în planul complex. ^[7] Fiecare valoare proprie a $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ aparține spectrului $\sigma (T)$ ${\ displaystyle \ sigma (T)}$ $\ sigma (T)$ , dar $\sigma (T)$ ${\ displaystyle \ sigma (T)}$ $\ sigma (T)$ nu se limitează la conținerea numai a valorilor proprii. ^[8]

Spectrul include setul de valori proprii numite valori proprii aproximative , care sunt i $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ astfel încât $\lambda I-T$ ${\ displaystyle \ lambda IT}$ $\ lambda I-T$ nu este limitat sau nu există. Acest lucru face posibilă o subdiviziune diferită a spectrului într-un spectru punctual aproximativ , adică setul de numere $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ pentru care există o succesiune de vectori unitari $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ astfel încât:

\lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ | Tx_ {n} - \ lambda x_ {n} \ | = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ | Tx_ {n} - \ lambda x_ {n} \ | = 0}

și spectrul rezidual pur , adică setul de numere $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ pentru care $(\lambda I-T)^{-1}$ ${\ displaystyle (\ lambda IT) ^ {- 1}}$ $(\ lambda I-T) ^ {{- 1}}$ este limitată și imaginea de $\lambda I-T$ ${\ displaystyle \ lambda IT}$ $\ lambda I-T$ este un subspatiu propriu al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Se arată că setul de rezolvare $\rho (T)$ ${\ displaystyle \ rho (T)}$ $\ rho (T)$ este un subset deschis de $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ și că solventul $R_{\lambda }(T)$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda} (T)}$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda} (T)}$ este o funcție analitică definită pe un subset $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ deschis și conectat al planului complex la valorile din spațiul operatorilor mărginite pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . În special, $R_{\lambda }(T)$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda} (T)}$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda} (T)}$ este analitic pentru fiecare subset maxim conectat de $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . ^[9]

Operatorul de rezolvare

Același subiect în detaliu: delta lui Dirac și funcția lui Green .

Solventul $R_{\lambda }$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda}}$ poate fi evaluat pornind de la valorile proprii și funcțiile proprii ale $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Punerea în aplicare $R_{\lambda }$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda}}$ la o funcție arbitrară $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ avem:

R_{\lambda }|\varphi \rangle =(\lambda -T)^{-1}\ |\varphi \rangle =\Sigma _{i=1}^{n}{\frac {1}{\lambda -\lambda _{i}}}|e_{i}\rangle \langle f_{i},\varphi \rangle

{\ displaystyle R _ {\ lambda} | \ varphi \ rangle = (\ lambda -T) ^ {- 1} \ | \ varphi \ rangle = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1 } {\ lambda - \ lambda _ {i}}} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ varphi \ rangle}

{\ displaystyle R _ {\ lambda} | \ varphi \ rangle = (\ lambda -T) ^ {- 1} \ | \ varphi \ rangle = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1 } {\ lambda - \ lambda _ {i}}} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ varphi \ rangle}

Această funcție are poli în planul complex corespunzător valorilor proprii ale $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Apoi folosind metoda reziduurilor obținem:

{\frac {1}{2\pi i}}\ \oint _{C}\ d\lambda (\lambda -T)^{-1}\ |\varphi \rangle =-\Sigma _{i=1}^{n}\ |e_{i}\rangle \ \langle f_{i},\varphi \rangle =-|\varphi \rangle

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda (\ lambda -T) ^ {- 1} \ | \ varphi \ rangle = - \ Sigma _ { i = 1} ^ {n} \ | e_ {i} \ rangle \ \ langle f_ {i}, \ varphi \ rangle = - | \ varphi \ rangle}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda (\ lambda -T) ^ {- 1} \ | \ varphi \ rangle = - \ Sigma _ { i = 1} ^ {n} \ | e_ {i} \ rangle \ \ langle f_ {i}, \ varphi \ rangle = - | \ varphi \ rangle}

unde integralul este luat de-a lungul unei margini $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ care include toate valorile proprii. Asumand $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este definit pe coordonate $\{x_{i}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {i} \}}$ , adică: ^[10] ^[11]

\langle x,\ \varphi \rangle =\varphi (x_{1},\ x_{2},...\ )\qquad \langle x,\ y\rangle =\delta (x-y)=\delta (x_{1}-y_{1},x_{2}-y_{2},x_{3}-y_{3}\dots )

{\ displaystyle \ langle x, \ \ varphi \ rangle = \ varphi (x_ {1}, \ x_ {2}, ... \) \ qquad \ langle x, \ y \ rangle = \ delta (xy) = \ delta (x_ {1} -y_ {1}, x_ {2} -y_ {2}, x_ {3} -y_ {3} \ dots)}

{\ displaystyle \ langle x, \ \ varphi \ rangle = \ varphi (x_ {1}, \ x_ {2}, ... \) \ qquad \ langle x, \ y \ rangle = \ delta (xy) = \ delta (x_ {1} -y_ {1}, x_ {2} -y_ {2}, x_ {3} -y_ {3} \ dots)}

avem:

{\begin{aligned}\left\langle x,\ {\frac {1}{2\pi i}}\ \oint _{C}\ d\lambda (\lambda -T)^{-1}\varphi \right\rangle &={\frac {1}{2\pi i}}\ \oint _{C}\ d\lambda \ \langle x,\ (\lambda -T)^{-1}\ \varphi \rangle \\&={\frac {1}{2\pi i}}\ \oint _{C}\ d\lambda \int \ dy\ \ \langle x,\ (\lambda -T)^{-1}\ y\rangle \ \langle y,\ \varphi \rangle \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle x, \ {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda (\ lambda -T) ^ {- 1 } \ varphi \ right \ rangle & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda \ \ langle x, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} \ \ varphi \ rangle \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda \ int \ dy \ \ \ langle x, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} \ y \ rangle \ \ langle y, \ \ varphi \ rangle \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle x, \ {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda (\ lambda -T) ^ {- 1 } \ varphi \ right \ rangle & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda \ \ langle x, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} \ \ varphi \ rangle \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda \ int \ dy \ \ \ langle x, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} \ y \ rangle \ \ langle y, \ \ varphi \ rangle \ end {align}}}

Functia $G(x,y;\lambda )$ ${\ displaystyle G (x, y; \ lambda)}$ ${\ displaystyle G (x, y; \ lambda)}$ definit ca:

{\begin{aligned}G(x,\ y;\ \lambda )&=\langle x,\ (\lambda -T)^{-1}\ y\rangle \\&=\Sigma _{i=1}^{n}\Sigma _{j=1}^{n}\langle x,\ e_{i}\rangle \langle f_{i},\ (\lambda -T)^{-1}e_{j}\rangle \langle f_{j},\ y\rangle \\&=\Sigma _{i=1}^{n}{\frac {\langle x,\ e_{i}\rangle \langle f_{i},\ y\rangle }{\lambda -\lambda _{i}}}\\&=\Sigma _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(y)}{\lambda -\lambda _{i}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} G (x, \ y; \ \ lambda) & = \ langle x, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} \ y \ rangle \\ & = \ Sigma _ { i = 1} ^ {n} \ Sigma _ {j = 1} ^ {n} \ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} e_ {j} \ rangle \ langle f_ {j}, \ y \ rangle \\ & = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ y \ rangle} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} \\ & = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {e_ {i} (x) f_ {i} ^ {*} (y)} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} G (x, \ y; \ \ lambda) & = \ langle x, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} \ y \ rangle \\ & = \ Sigma _ { i = 1} ^ {n} \ Sigma _ {j = 1} ^ {n} \ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} e_ {j} \ rangle \ langle f_ {j}, \ y \ rangle \\ & = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ y \ rangle} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} \\ & = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {e_ {i} (x) f_ {i} ^ {*} (y)} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} \ end {align}}}

este funcția lui Green pentru $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și satisface: ^[12]

{\frac {1}{2\pi i}}\ \oint _{C}\ d\lambda \ G(x,\ y;\ \lambda )=-\Sigma _{i=1}^{n}\langle x,\ e_{i}\rangle \langle f_{i},\ y\rangle =-\langle x,\ y\rangle =-\delta (x-y)

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda \ G (x, \ y; \ \ lambda) = - \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} \ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ y \ rangle = - \ langle x, \ y \ rangle = - \ delta (xy)}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda \ G (x, \ y; \ \ lambda) = - \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} \ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ y \ rangle = - \ langle x, \ y \ rangle = - \ delta (xy)}

Funcția lui Green și ecuația valorii proprii

Același subiect în detaliu: ecuația integrală .

Luați în considerare ecuația valorii proprii pentru operator $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ :

(O-\lambda I)|\psi \rangle =|h\rangle

{\ displaystyle (O- \ lambda I) | \ psi \ rangle = | h \ rangle}

{\ displaystyle (O- \ lambda I) | \ psi \ rangle = | h \ rangle}

că explicând coordonatele scriem:

\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,\psi \rangle dy=h(x)

{\ displaystyle \ int \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle \ langle y, \ psi \ rangle dy = h (x)}

{\ displaystyle \ int \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle \ langle y, \ psi \ rangle dy = h (x)}

Funcția lui Green este:

\langle y,G(\lambda )z\rangle =\left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle =G(y,z;\lambda )

{\ displaystyle \ langle y, G (\ lambda) z \ rangle = \ left \ langle y, (O- \ lambda I) ^ {- 1} z \ right \ rangle = G (y, z; \ lambda)}

{\ displaystyle \ langle y, G (\ lambda) z \ rangle = \ left \ langle y, (O- \ lambda I) ^ {- 1} z \ right \ rangle = G (y, z; \ lambda)}

și satisface:

\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,G(\lambda )z\rangle dy=\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle dy=\langle x,z\rangle =\delta (x-z)

{\ displaystyle \ int \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle \ langle y, G (\ lambda) z \ rangle dy = \ int \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle \ left \ langle y, (O- \ lambda I) ^ {- 1} z \ right \ rangle dy = \ langle x, z \ rangle = \ delta (xz)}

{\ displaystyle \ int \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle \ langle y, G (\ lambda) z \ rangle dy = \ int \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle \ left \ langle y, (O- \ lambda I) ^ {- 1} z \ right \ rangle dy = \ langle x, z \ rangle = \ delta (xz)}

Folosind această proprietate avem:

\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )dy=\delta (x-z)

{\ displaystyle \ int \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle G (y, z; \ lambda) dy = \ delta (xz)}

{\ displaystyle \ int \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle G (y, z; \ lambda) dy = \ delta (x-z)}

Înmulțind ambele părți cu $h(z)$ ${\ displaystyle h (z)}$ ${\ displaystyle h (z)}$ și prin integrare obținem:

\int dzh(z)\int dy\langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )=\int dy\langle x,(O-\lambda I)y\rangle \int dzh(z)G(y,z;\lambda )=h(x)

{\ displaystyle \ int dzh (z) \ int dy \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle G (y, z; \ lambda) = \ int dy \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle \ int dzh (z) G (y, z; \ lambda) = h (x)}

{\ displaystyle \ int dzh (z) \ int dy \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle G (y, z; \ lambda) = \ int dy \ langle x, (O- \ lambda I) y \ rangle \ int dzh (z) G (y, z; \ lambda) = h (x)}

ceea ce sugerează că soluția este:

\psi (x)=\int h(z)G(x,z;\lambda )dz

{\ displaystyle \ psi (x) = \ int h (z) G (x, z; \ lambda) dz}

{\ displaystyle \ psi (x) = \ int h (z) G (x, z; \ lambda) dz}

Adică, puteți găsi funcția $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ care satisface ecuația valorii proprii a operatorului dacă spectrul de $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ . Puteți construi funcția $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , de exemplu, folosind relația:

G(x,z;\lambda )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(z)}{\lambda -\lambda _{i}}}

{\ displaystyle G (x, z; \ lambda) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {e_ {i} (x) f_ {i} ^ {*} (z)} {\ lambda - \ lambda _ {i}}}}

{\ displaystyle G (x, z; \ lambda) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {e_ {i} (x) f_ {i} ^ {*} (z)} {\ lambda - \ lambda _ {i}}}}

Notă

^ Jean Alexandre Dieudonné, Istoria analizei funcționale , Elsevier, 1981, ISBN 0-444-86148-3 .
^ William Arveson, Capitolul 1: teoria spectrală și algebrele Banach , în Un curs scurt despre teoria spectrală , Springer, 2002, ISBN 0-387-95300-0 .
^ Viktor Antonovich Sadovnichiĭ, Capitolul 4: Geometria spațiului Hilbert: teoria spectrală a operatorilor , în Teoria operatorilor , Springer, 1991, pp. 181 și următoarele , ISBN 0-306-11028-8 .
^ John von Neumann, Fundamentele matematice ale mecanicii cuantice; Volumul 2 din reperele Princeton din seria Matematică , Reeditare traducere original 1932, Princeton University Press, 1996, ISBN 0-691-02893-1 .
^ Bernard Friedman, Capitolul 2: Teoria spectrală a operatorilor , în op. cit. , 1990, p. 57, ISBN 0-486-66444-9 .
^ Helmut H. Schaefer, Manfred PH Wolff, Spații vectoriale topologice , 2nd, Springer, 1999, p. 36, ISBN 0-387-98726-6 .
^ Edgar Raymond Lorch, The Spectral Theory , Reprint of Oxford 1962, Textbook Publishers, 2003, p. 89, ISBN 0-7581-7156-0 .
^ Nicholas Young, op. cit , p. 81, ISBN 0-521-33717-8 .
^ Reed, Simon , P. 190 .
^ PAM Dirac, op. cit , pp. 65 și urm , ISBN 0-19-852011-5 .
^ PAM Dirac, op. cit , pp. 60 și urm , ISBN 0-19-852011-5 .
^ Bernard Friedman, op. cit , pp. 214, ec. 2.14, ISBN 0-486-66444-9 .

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
( EN ) Milan Vujičić, Algebra liniară explicată amănunțit , Springer, 2008, p. 274, ISBN 3-540-74637-4 .
( EN ) Arch W. Naylor, George R. Sell, Teoria operatorilor lineari în inginerie și știință; Vol. 40 de Științe matematice aplicate , Springer, 2000, p. 401, ISBN 0-387-95001-X .
( EN ) Steven Roman, Advanced linear algebra , 3rd, Springer, 2008, ISBN 0-387-72828-7 .
( EN ) I︠U︡riĭ Makarovich Berezanskiĭ, Extinderi în funcțiile proprii ale operatorilor autoadjuncti; Vol. 17 în Traduceri de monografii matematice , American Mathematical Society, 1968, ISBN 0-8218-1567-9 .
( EN ) Bernard Friedman, Principies and Techniques of Applied Mathematics , Reprint of 1956 Wiley, Dover Publications, 1990, p. 26, ISBN 0-486-66444-9 .
( EN ) PAM Dirac, Principiile mecanicii cuantice , a 4-a, Oxford University Press, 1981, pp. 29 și urm. , ISBN 0-19-852011-5 .
( EN ) Jürgen Audretsch, Capitolul 1.1.2: Operatori lineari pe spațiul Hilbert , în Sisteme încurcate: noi direcții în fizica cuantică , Wiley-VCH, 2007, p. 5, ISBN 3-527-40684-0 .
( EN ) RA Howland, Intermediate Dynamics: a linear algebraic approach , 2nd, Birkhäuser, 2006, pp. 69 și urm. , ISBN 0-387-28059-6 .
( EN ) Gerald B Folland, Convergence and completeeness , în Fourier Analysis and its Applications , Reprint of Wadsworth & Brooks / Cole 1992, American Mathematical Society, 2009, pp. 77 și urm. , ISBN 0-8218-4790-2 .
( EN ) John von Neumann, Bazele matematice ale mecanicii cuantice , ISBN 0-691-02893-1 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VS Shul'man, Teoria spectrală , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) MG Gasymov, Teoria spectrală a operatorilor diferențiali , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Evans M. Harrell II : O scurtă istorie a teoriei operatorilor
( EN ) Gregory H. Moore, The axiomatization of linear algebra: 1875-1940 , în Historia Mathematica , vol. 22, 1995, pp. 262-303, DOI : 10.1006 / hmat.1995.1025 .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 45387 · LCCN (EN) sh85126408 · BNF (FR) cb11966764q (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[Dieudonné-1] Jean Alexandre Dieudonné, Istoria analizei funcționale , Elsevier, 1981, ISBN 0-444-86148-3 .

[Arveson-2] William Arveson, Capitolul 1: teoria spectrală și algebrele Banach , în Un curs scurt despre teoria spectrală , Springer, 2002, ISBN 0-387-95300-0 .

[Sadovnichiĭ-3] Viktor Antonovich Sadovnichiĭ, Capitolul 4: Geometria spațiului Hilbert: teoria spectrală a operatorilor , în Teoria operatorilor , Springer, 1991, pp. 181 și următoarele , ISBN 0-306-11028-8 .

[vonNeumann-4] John von Neumann, Fundamentele matematice ale mecanicii cuantice; Volumul 2 din reperele Princeton din seria Matematică , Reeditare traducere original 1932, Princeton University Press, 1996, ISBN 0-691-02893-1 .

[Friedman2-5] Bernard Friedman, Capitolul 2: Teoria spectrală a operatorilor , în op. cit. , 1990, p. 57, ISBN 0-486-66444-9 .

[Wolff-6] Helmut H. Schaefer, Manfred PH Wolff, Spații vectoriale topologice , 2nd, Springer, 1999, p. 36, ISBN 0-387-98726-6 .

[Lorch-7] Edgar Raymond Lorch, The Spectral Theory , Reprint of Oxford 1962, Textbook Publishers, 2003, p. 89, ISBN 0-7581-7156-0 .

[Young2-8] Nicholas Young, op. cit , p. 81, ISBN 0-521-33717-8 .

[9] Reed, Simon , P. 190 .

[Dirac2-10] PAM Dirac, op. cit , pp. 65 și urm , ISBN 0-19-852011-5 .

[Dirac3-11] PAM Dirac, op. cit , pp. 60 și urm , ISBN 0-19-852011-5 .

[Friedman3-12] Bernard Friedman, op. cit , pp. 214, ec. 2.14, ISBN 0-486-66444-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema