Spațiu Hilbert extins

În analiza funcțională , un spațiu Hilbert mărit sau triplu Gelfand (în engleză , rigat Hilbert space ) este o structură matematică abstractă care leagă unele aspecte ale teoriei spațiului Hilbert de teoria distribuțiilor . Aceste spații au fost introduse pentru a permite un formalism mai fructuos în sfera teoriei spectrale și pentru a găsi numeroase aplicații în mecanica cuantică . În special, este posibil să se trateze spectrul continuu și discret al operatorilor autoadjuncti ca o unitate .

Spațiile Hilbert mărite au devenit obiectul de studiu al matematicii în prima jumătate a anilor 1950 .

Motive

Pentru a introduce motivele care conduc la definirea spațiului Hilbert mărit, luați în considerare spațiul $L^{2}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ a funcțiilor pătrate sumabile definite pe axa reală , operatorul:

A:=-i{\frac {d}{dx}}

{\ displaystyle A: = - i {\ frac {d} {dx}}}

{\ displaystyle A: = - i {\ frac {d} {dx}}}

Într-un anumit sens, funcția:

\mathbf {e} _{\alpha }(x):=e^{-i\alpha x}

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {\ alpha} (x): = e ^ {- i \ alpha x}}

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {\ alpha} (x): = e ^ {- i \ alpha x}}

este un vector propriu al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , ca formal $A\mathbf {e} _{\alpha }=-\alpha \mathbf {e} _{\alpha }$ ${\ displaystyle A \ mathbf {e} _ {\ alpha} = - \ alpha \ mathbf {e} _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle A \ mathbf {e} _ {\ alpha} = - \ alpha \ mathbf {e} _ {\ alpha}}$ . Cu toate acestea, nu are niciun pătrat însumabil $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ : poate fi, prin urmare, util să extindeți spațiul Hilbert $L^{2}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ , astfel încât aceste funcții să fie incluse acolo. Spațiile Hilbert mărite sunt structura matematică care permite realizarea acestei măriri și definirea vectorilor proprii generalizați .

Definiție matematică

Conceptul lui Hilbert de spațiu mărit specifică aceste idei într-un context analitic. Un spațiu Hilbert mărit este un triplu $(H,\Phi ,\imath )$ ${\ displaystyle (H, \ Phi, \ imath)}$ ${\ displaystyle (H, \ Phi, \ imath)}$ , unde este $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este un spațiu Hilbert, $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ este un spațiu vector topologic , ed $\imath :\Phi \mapsto H$ ${\ displaystyle \ imath: \ Phi \ mapsto H}$ ${\ displaystyle \ imath: \ Phi \ mapsto H}$ este o hartă continuă din $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

Rețineți în special că nu este restrictiv să vă gândiți $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ în ceea ce privește un sub spațiu liniar al $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , Echipat cu un final mai topologic al acelei relative induse de norma de $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ pe $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ , si in consecinta $\imath$ ${\ displaystyle \ imath}$ $\ imath$ ca scufundarea $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . În plus, imaginea $\imath$ ${\ displaystyle \ imath}$ $\ imath$ fii dens în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , deoarece, în general, vă puteți restrânge întotdeauna la închiderea $\imath (\Phi )$ ${\ displaystyle \ imath (\ Phi)}$ ${\ displaystyle \ imath (\ Phi)}$ (care va fi în mod natural un spațiu Hilbert).

Rezultate

Atâta timp cât $\imath$ ${\ displaystyle \ imath}$ $\ imath$ este continuu și dens, dualul lui $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ poate fi identificat cu un subspatiu al dualului $\Phi ^{\star }$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {\ star}}$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {\ star}}$ din $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ . Deoarece prin teorema de reprezentare a lui Riesz putem identifica un spațiu Hilbert cu dualul său (adică, putem seta $H=H^{\star }$ ${\ displaystyle H = H ^ {\ star}}$ ${\ displaystyle H = H ^ {\ star}}$ ) noi obținem:

\Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{\star }

{\ displaystyle \ Phi \ subseteq H \ subseteq \ Phi ^ {\ star}}

{\ displaystyle \ Phi \ subseteq H \ subseteq \ Phi ^ {\ star}}

și vă puteți gândi $\Phi ^{\star }$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {\ star}}$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {\ star}}$ ca o extindere a $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

Pentru a clarifica mai bine funcționarea acestei proceduri, luați în considerare spațiul Hilbert $H=L^{2}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle H = L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle H = L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ din exemplul anterior. În acest caz, luând ca subspatiu $\Phi =C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle \ Phi = C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle \ Phi = C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$ , setul de funcții infinit diferențiabile și suportate compact , echipat cu topologia indusă de norma de $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . În acest caz, $\imath$ ${\ displaystyle \ imath}$ $\ imath$ este pur și simplu scufundarea $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , și nu este greu să verificați dacă funcționează în $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ sunt dense în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ (de fapt, fiecare funcție pătrată însumabilă poate fi aproximată într-un compact cu o funcție infinit diferențiată). Spațiul dual al $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ cu toate acestea, va fi mult mai mare decât $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , întrucât, de exemplu, integralul lui $\mathbf {e} _{\alpha }(x)=e^{-i\alpha x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {\ alpha} (x) = e ^ {- i \ alpha x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {\ alpha} (x) = e ^ {- i \ alpha x}}$ pentru o funcție de suport compactă. Mai general, acest spațiu va consta în distribuții, iar pe acesta va fi posibil să se extindă operatorii hermitieni definiți pe $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

În general, cele mai semnificative exemple de spații Hilbert mărite sunt cele în care $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ constă din funcții regulate (funcții de testare ) sau - mai formal - în care $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ este un spațiu nuclear .

Aplicații

În plus față de teoria spectrală, spațiile Hilbert mărite au și aplicații în fizică . Acestea permit să se ocupe de mecanica cuantică într-un mod matematic riguros (dar nu și cele mai moderne teorii de câmp). În special, deși este posibil să se obțină o descriere riguroasă a stărilor legate , folosind doar formalismul spațiilor Hilbert separabile, în schimb este necesară extinderea acestei structuri în cazul statelor libere .

Bibliografie

( EN ) Jean Dieudonné , Elements d'analyse, VII , 1978, ISBN 2-87647-212-0 .
( EN ) K Maurin, Mecanica cuantică dincolo de spațiul Hilbert , Varșovia, Editura științifică poloneză, 1968, ISBN 978-3-540-64305-0 .
( EN ) J.-P. Antoine, Mecanica cuantică dincolo de spațiul Hilbert (1996), care apare în Irreversibilitate și cauzalitate, Semigroups and Rigged Hilbert Spaces , Arno Bohm, Heinz-Dietrich Doebner, Piotr Kielanowski, eds., Springer-Verlag, ISBN 3-540-64305-2 . (Oferă o prezentare generală a sondajului.)
( EN ) R. de la Madrid, "Mecanica cuantică în limbajul spațial Hilbert rigged", teză de doctorat (2001).
( EN ) R. de la Madrid, "Rolul spațiului Hilbert trucat în mecanica cuantică", Eur. J. Phys. 26, 287 (2005); quant-ph / 0502053 .
( EN ) K. Maurin, Extensii generalizate ale funcției proprii și reprezentări unitare ale grupurilor topologice , edituri științifice poloneze, Varșovia, 1968.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) RA Minlos, Rigged Hilbert space , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică