Imersiune (matematică)

În matematică, scufundarea indică relația dintre două structuri , astfel încât una dintre cele două conține în ea o „copie” a celeilalte sau un subset care păstrează aceleași structuri. Această relație poate fi văzută ca o extensie a conceptului set de incluziune .

O structură $A\$ ${\ displaystyle A \}$ $LA\$ se spune că este scufundat în structură $B\$ ${\ displaystyle B \}$ $B \$ dacă există o funcție injectivă $f:A\rightarrow B$ ${\ displaystyle f: A \ rightarrow B}$ $f: A \ rightarrow B$ astfel încât imaginea $f(A)$ ${\ displaystyle f (A)}$ $face)$ păstrează toate sau o parte din structurile matematice prezente în A, moștenindu-le din cele din $B\$ ${\ displaystyle B \}$ $B \$ . Funcția se mai numește scufundare. $B\$ ${\ displaystyle B \}$ $B \$ se numește o extensie a $A\$ ${\ displaystyle A \}$ $LA\$ . Prin urmare, definiția imersiunii poate lua semnificații diferite în funcție de contextul în care este utilizată și în special de structurile care sunt studiate; două structuri pot împărți mai multe scufundări, chiar dacă în mod normal una dintre acestea este considerată principala și se numește scufundare canonică ; este indicat cu o săgeată cu cârlig:

A\hookrightarrow B

{\ displaystyle A \ hookrightarrow B}

A \ hookrightarrow B

.

În ceea ce privește teoria categoriilor , imersiunea este un monomorfism (funcție injectivă care păstrează structura); întregul $A\$ ${\ displaystyle A \}$ $LA\$ și imaginea sa $f(A)\subset B$ ${\ displaystyle f (A) \ subset B}$ $f (A) \ subset B$ în schimb sunt izomorfe , adică echivalent din punctul de vedere al structurilor implicate. Această proprietate justifică utilizarea identificării $A\$ ${\ displaystyle A \}$ $LA\$ cu propria imagine și notație simplificată $A\subseteq B$ ${\ displaystyle A \ subseteq B}$ $A \ subseteq B$ .

Exemple

Iată câteva exemple notabile de scufundări, cu mai multe structuri păstrate.

Includere

Includerea setului $A\subseteq B$ ${\ displaystyle A \ subseteq B}$ $A \ subseteq B$ este cea mai simplă formă de imersiune și funcția care o realizează este identitatea (considerată pe domeniu $A\$ ${\ displaystyle A \}$ $LA\$ ):

${\begin{matrix}i:&A\rightarrow B\\&a\mapsto a\end{matrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} i: & A \ rightarrow B \\ & a \ mapsto a \ end {matrix}}}$ ${\ begin {matrix} i: & A \ rightarrow B \\ & a \ mapsto a \ end {matrix}}$

În acest caz nu există structuri matematice de păstrat, deci notațiile $A\hookrightarrow B$ ${\ displaystyle A \ hookrightarrow B}$ $A \ hookrightarrow B$ Și $A\subseteq B$ ${\ displaystyle A \ subseteq B}$ $A \ subseteq B$ sunt efectiv echivalente; funcția în acest caz se mai numește incluziune canonică .

Numere naturale și întregi

Setul de numere întregi (natural cu semn) $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ conține o copie a numerelor naturale $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ , format din numere întregi cu semn pozitiv; imersiunea canonică este:

${\begin{matrix}j:&\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} \\&n\mapsto +n\end{matrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} j: & \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {Z} \\ & n \ mapsto + n \ end {matrix}}}$ ${\ begin {matrix} j: & {\ mathbb {N}} \ rightarrow {\ mathbb {Z}} \\ & n \ mapsto + n \ end {matrix}}$

Este ușor de demonstrat că imersiunea canonică păstrează și structurile algebrice constituite prin adăugarea și produsul de numere întregi, precum și structurile obișnuite de ordine :

$j(z_{1}+z_{2})=j(z_{1})+j(z_{2})$ ${\ displaystyle j (z_ {1} + z_ {2}) = j (z_ {1}) + j (z_ {2})}$ $j (z_ {1} + z_ {2}) = j (z_ {1}) + j (z_ {2})$ ;
$j(z_{1}z_{2})=j(z_{1})j(z_{2})$ ${\ displaystyle j (z_ {1} z_ {2}) = j (z_ {1}) j (z_ {2})}$ $j (z_ {1} z_ {2}) = j (z_ {1}) j (z_ {2})$ ;
$z_{1}\leq z_{2}\Leftrightarrow j(z_{1})\leq j(z_{2})$ ${\ displaystyle z_ {1} \ leq z_ {2} \ Leftrightarrow j (z_ {1}) \ leq j (z_ {2})}$ $z_ {1} \ leq z_ {2} \ Leftrightarrow j (z_ {1}) \ leq j (z_ {2})$ , etc.

Aceste proprietăți justifică notația simplificată $\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ subseteq \ mathbb {Z}}$ ${\ mathbb {N}} \ subseteq {\ mathbb {Z}}$ și identificarea numărului natural $n\$ ${\ displaystyle n \}$ $n \$ cu întregul $+n\$ ${\ displaystyle + n \}$ $+ n \$ . Cu același raționament, se realizează celelalte extensii ale structurilor algebrice comune:

\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}

{\ displaystyle \ mathbb {N} \ subseteq \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q} \ subseteq \ mathbb {R} \ subseteq \ mathbb {C}}

{\ mathbb {N}} \ subseteq {\ mathbb {Z}} \ subseteq {\ mathbb {Q}} \ subseteq {\ mathbb {R}} \ subseteq {\ mathbb {C}}

.

Incluziunea topologică

O aplicație continuă și injectabilă $f:X\rightarrow Y$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$ $f: X \ rightarrow Y$ între două spații topologice $X\$ ${\ displaystyle X \}$ $X \$ Și $Y\$ ${\ displaystyle Y \}$ $Y \$ se numește incluziune topologică (adică incluziune continuă ) dacă este un homeomorfism pe imagine $f(X)$ ${\ displaystyle f (X)}$ $f (X)$ , adică $f\colon X\to f(X)$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to f (X)}$ $f \ colon X \ to f (X)$ este un homeomorfism cu $N=f(X)$ ${\ displaystyle N = f (X)}$ $N = f (X)$ considerat ca subspatiu topologic al $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , prin urmare dotat cu topologia indusă de spațiul ambiental $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . Aplicația $f\colon X\to f(X)$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to f (X)}$ $f \ colon X \ to f (X)$ indus de $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ și continuă. În special dacă $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ atunci este un homeomorfism $f\,$ ${\ displaystyle f \,}$ $f \,$ este o incluziune continuă ^[1] .

Existența unei incluziuni topologice este un invariant topologic pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , deci este posibil să distingem două spații dacă unul dintre cele două admite o anumită incluziune topologică și celălalt nu.

Imersiune între spații metrice

O hartă $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ între două spații metrice $(A,d_{A})$ ${\ displaystyle (A, d_ {A})}$ $(A, d_ {A})$ Și $(B,d_{B})$ ${\ displaystyle (B, d_ {B})}$ $(B, d_ {B})$ , $A\$ ${\ displaystyle A \}$ $LA\$ este cufundat în $B\$ ${\ displaystyle B \}$ $B \$ cu distorsiune $C>0$ ${\ displaystyle C> 0}$ $C> 0$ dacă există o constantă $L\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle L \ in \ mathbb {R}}$ $L \ in {\ mathbb {R}}$ astfel încât:

Ld_{A}(a_{1},a_{2})\leq d_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}))\leq CLd_{A}(a_{1},a_{2}),\,\forall a_{1},\,a_{2}\in A

{\ displaystyle Ld_ {A} (a_ {1}, a_ {2}) \ leq d_ {B} (\ phi (a_ {1}), \ phi (a_ {2})) \ leq CLd_ {A} ( a_ {1}, a_ {2}), \, \ forall a_ {1}, \, a_ {2} \ în A}

Ld_ {A} (a_ {1}, a_ {2}) \ leq d_ {B} (\ phi (a_ {1}), \ phi (a_ {2})) \ leq CLd_ {A} (a_ {1 }, a_ {2}), \, \ forall a_ {1}, \, a_ {2} \ în A

.

Copia documentului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are aceeași distanță ca a sa, minus factorul de distorsiune.

Notă

^ E. Sernesi , p. 44 .

Bibliografie

Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .
( EN ) RW Sharpe, Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program , Springer-Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94732-9 .
( EN ) FW Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Group , Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-387-90894-3 .

Elemente conexe

linkuri externe

Jiří Adámek, Horst Herrlich, George Strecker, Categorii abstracte și concrete (Bucuria pisicilor) , 2006.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] E. Sernesi , p. 44 .

[1]