Funcție pătrată sumabilă

În analiza matematică , o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ a unei variabile reale cu valori reale sau complexe se spune că este un pătrat sumabil , sau chiar un pătrat integrabil , într-un interval dat $I=[a,b]$ ${\ displaystyle I = [a, b]}$ $I = [a, b]$ dacă integrala pătratului modulului său în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ s-a terminat:

\int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\mathrm {d} x~<~\infty

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} | f (x) | ^ {2} \ mathrm {d} x ~ <~ \ infty}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} | f (x) | ^ {2} \ mathrm {d} x ~ <~ \ infty}

Noțiunea se extinde la funcțiile definite pe un spațiu de măsurare cu valori într-un spațiu vector topologic .

Ansamblul tuturor funcțiilor măsurabile pe un domeniu dat, care în el sunt un pătrat sumabil, formează un spațiu Hilbert , așa-numitul spațiu L ² .

Aplicații în mecanica cuantică

Condiția sumabilității pătratelor este deosebit de necesară în mecanica cuantică , deoarece constituie o cerință de bază pentru funcțiile de undă care descriu comportamentul particulelor elementare și, în special, probabilitatea de a observa sistemul într-o anumită stare cuantică . De exemplu, starea unei particule ( fără rotire ) asociată cu un câmp scalar este o funcție de undă a formei $\psi (x,y,z)$ ${\ displaystyle \ psi (x, y, z)}$ $\ psi (x, y, z)$ , unde integrala:

p(V)=\int _{V}|\psi (x,y,z)|^{2}\mathop {\mathrm {d} x} \mathop {\mathrm {d} y} \mathop {\mathrm {d} z}

{\ displaystyle p (V) = \ int _ {V} | \ psi (x, y, z) | ^ {2} \ mathop {\ mathrm {d} x} \ mathop {\ mathrm {d} y} \ mathop {\ mathrm {d} z}}

{\ displaystyle p (V) = \ int _ {V} | \ psi (x, y, z) | ^ {2} \ mathop {\ mathrm {d} x} \ mathop {\ mathrm {d} y} \ mathop {\ mathrm {d} z}}

reprezintă probabilitatea de a găsi particula în volum $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Din acest motiv, deoarece probabilitatea trebuie să fie în mod necesar finită și normalizabilă, este necesar ca o integrală a formei să existe și să aibă valoare finită:

\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} x\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} y\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} z|\psi (x,y,z)|^{2}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {d} x \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {d} y \ int _ {- \ infty } ^ {+ \ infty} \ mathrm {d} z | \ psi (x, y, z) | ^ {2}}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {d} x \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {d} y \ int _ {- \ infty } ^ {+ \ infty} \ mathrm {d} z | \ psi (x, y, z) | ^ {2}}

Această noțiune este generalizată la cea a funcției "p-summable" pentru p număr real pozitiv; sumabilitatea pătrată corespunde cazului particular p = 2.

Bibliografie

( EN ) Giovanni Sansone , Funcții ortogonale , Publicații Dover, 1991, pp. 1 -2, ISBN 978-0-486-66730-0 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Normalizarea funcției de undă , pe farside.ph.utexas.edu.

Portalul de fizică

Portalul de matematică