Funcția de undă

Comparația conceptelor de oscilator armonic clasic și cuantic pentru o singură particulă fără spin. Cele două procese diferă foarte mult. Procesul clasic (A - B) este reprezentat ca mișcarea unei particule de-a lungul unei traiectorii. Procesul cuantic (C - H) nu are o astfel de traiectorie. Mai degrabă, este reprezentat ca un val; aici, axa verticală arată partea reală (albastră) și imaginară (roșie) a funcției de undă. Panourile (C - F) prezintă patru soluții de unde staționare diferite ale ecuației Schrödinger . Panourile (G - H) prezintă, de asemenea, două funcții de undă diferite, care sunt soluții ale ecuației Schrödinger, dar nu unde staționare.

În mecanica cuantică , funcția de undă reprezintă starea unui sistem fizic . Este o funcție complexă care are coordonatele spațiale ca variabile reale $X, y, z$ ${\ displaystyle x, y, z}$ $x, y, z$ și timpul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , sensul căruia este acela al unei amplitudini de probabilitate ; adică modulul său pătrat reprezintă densitatea de probabilitate a stării pe poziții pe un anumit interval de timp.

Mai precis, este proiecția unei stări cuantice pe baza stărilor proprii ale unui observabil , a cărui dinamică este descrisă de ecuația Schrödinger . În reprezentarea coordonatelor, starea este proiectată pe stările proprii ale poziției, în timp ce sub aspectul vectorului se poate gândi la funcția de undă ca la un vector la limita componentelor infinite și continue. Densitatea de probabilitate pe care o are poziția particulei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ va fi deci modulul cadru al componentei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ -alea $|\psi (x)|^{2}$ ${\ displaystyle | \ psi (x) | ^ {2}}$ $| \ psi (x) | ^ {2}$ .

Spațiul Hilbert și funcția de undă

Funcția de undă este, în general, o funcție cu valori complexe, definită ca un element aparținând unui spațiu vectorial liniar complex, astfel încât se aplică principiul suprapunerii . De fapt, dacă $\psi _{1}$ ${\ displaystyle \ psi _ {1}}$ $\ psi _ {1}$ Și $\psi _{2}$ ${\ displaystyle \ psi _ {2}}$ $\ psi _ {2}$ sunt două funcții de undă care reprezintă stările posibile ale sistemului, atunci

\psi =c_{1}\psi _{1}+c_{2}\psi _{2}~~~~c_{1},c_{2}\in \mathbb {C}

{\ displaystyle \ psi = c_ {1} \ psi _ {1} + c_ {2} \ psi _ {2} ~~~~ c_ {1}, c_ {2} \ in \ mathbb {C}}

{\ displaystyle \ psi = c_ {1} \ psi _ {1} + c_ {2} \ psi _ {2} ~~~~ c_ {1}, c_ {2} \ in \ mathbb {C}}

trebuie să reprezinte și o posibilă stare a sistemului. Deci, trebuie să se aplice cele două reguli:

\psi _{1}+\psi _{2}=\psi _{2}+\psi _{1}\

{\ displaystyle \ psi _ {1} + \ psi _ {2} = \ psi _ {2} + \ psi _ {1} \}

\ psi _ {1} + \ psi _ {2} = \ psi _ {2} + \ psi _ {1} \

c(\psi _{1}+\psi _{2})=c\psi _{1}+c\psi _{2}\

{\ displaystyle c (\ psi _ {1} + \ psi _ {2}) = c \ psi _ {1} + c \ psi _ {2} \}

c (\ psi _ {1} + \ psi _ {2}) = c \ psi _ {1} + c \ psi _ {2} \

adică liniaritatea în ceea ce privește adunarea și multiplicarea cu o constantă. În mecanica cuantică, se postulează că statul

\psi _{0}=c\psi \

{\ displaystyle \ psi _ {0} = c \ psi \}

\ psi _ {0} = c \ psi \

reprezintă aceeași stare ca $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ de sine $|c|=1$ ${\ displaystyle | c | = 1}$ ${\ displaystyle | c | = 1}$ , adică funcțiile de undă sunt definite cu excepția cazului în care un factor de fază este irelevant și este adesea implicit. În schimb, doar modulul său pătrat este important și acest lucru implică faptul că funcțiile de undă trebuie să fie funcții pătrate însumabile , adică trebuie să conțină întotdeauna:

\int |\psi (q,t)|^{2}dq<\infty

{\ displaystyle \ int | \ psi (q, t) | ^ {2} dq <\ infty}

\ int | \ psi (q, t) | ^ {2} dq <\ infty

acest lucru ne determină să impunem că funcțiile de undă sunt definite într-un spațiu Hilbert complex.

Fiecare vector al acestui spațiu reprezintă o stare a sistemului. O bază posibilă este cea a statelor cu poziții bine definite, în notația lui Dirac $|x\rangle$ ${\ displaystyle | x \ rangle}$ $| x \ rangle$ .

Prin urmare, un vector generic V poate fi reprezentat de componentele sale față de această bază sau de produsele scalare

\langle x|V\rangle =\psi _{V}(x)

{\ displaystyle \ langle x | V \ rangle = \ psi _ {V} (x)}

{\ displaystyle \ langle x | V \ rangle = \ psi _ {V} (x)}

Interpretarea funcției de undă

Max Born a corelat conceptul funcției undei cu probabilitatea de a găsi o particulă oriunde în spațiu pe baza analogiei cu teoria undelor luminii , pentru care pătratul amplitudinii undei electromagnetice într-o regiune este intensitatea .

Potrivit lui Born, este posibil să se determine probabilitatea cu care un electron poate fi găsit în interiorul unui volum elementar $\mathrm {d} \tau$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ tau}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ tau}$ la un moment dat prin realizarea produsului $\psi ^{2}\,\mathrm {d} \tau$ ${\ displaystyle \ psi ^ {2} \, \ mathrm {d} \ tau}$ ${\ displaystyle \ psi ^ {2} \, \ mathrm {d} \ tau}$ . În cazul unei funcții de undă complexe , probabilitatea este proporțională cu produsul $(\psi ^{*})(\psi )$ ${\ displaystyle (\ psi ^ {*}) (\ psi)}$ ${\ displaystyle (\ psi ^ {*}) (\ psi)}$ , unde este $\psi ^{*}$ ${\ displaystyle \ psi ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ psi ^ {*}}$ este funcția conjugată complexă. Pentru ca funcția de undă să reprezinte o probabilitate, trebuie normalizată , adică trebuie îndeplinită condiția care afirmă că electronul este prezent undeva în univers. În termeni matematici trebuie să apară:

\|\psi \|=\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (q,t)|^{2}\,\mathrm {d} q=1

{\ displaystyle \ | \ psi \ | = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | \ psi (q, t) | ^ {2} \, \ mathrm {d} q = 1}

{\ displaystyle \ | \ psi \ | = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | \ psi (q, t) | ^ {2} \, \ mathrm {d} q = 1}

care exprimă, de asemenea, că probabilitatea de a găsi un electron corespunde 100% numai în cadrul volumului care reprezintă domeniul pe care se poate mișca electronul, care, în principiu, nu poate fi neapărat infinit.

Fiecare stare "pură" (cu matrice de densitate $\rho (q,t)=(\psi ^{*})(\psi )$ ${\ displaystyle \ rho (q, t) = (\ psi ^ {*}) (\ psi)}$ ${\ displaystyle \ rho (q, t) = (\ psi ^ {*}) (\ psi)}$ ) leagă funcția $\psi (q,t)$ ${\ displaystyle \ psi (q, t)}$ ${\ displaystyle \ psi (q, t)}$ , adică funcția sa de undă, unde cu $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ toate variabilele spațiale sunt indicate în general. Reprezintă o amplitudine de probabilitate, în sensul că probabilitatea ca particula să fie în interval $(q,q+\mathrm {d} q)$ ${\ displaystyle (q, q + \ mathrm {d} q)}$ ${\ displaystyle (q, q + \ mathrm {d} q)}$ Și:

\mathrm {d} P=|\psi (q,t)|^{2}\,\mathrm {d} q\

{\ displaystyle \ mathrm {d} P = | \ psi (q, t) | ^ {2} \, \ mathrm {d} q \}

{\ displaystyle \ mathrm {d} P = | \ psi (q, t) | ^ {2} \, \ mathrm {d} q \}

iar acest lucru explică de ce funcțiile de undă trebuie să fie însumabile la pătrat .

Funcția Wave și pachetul Wave

Același subiect în detaliu: pachetul Wave .

Din ipoteza lui de Broglie am văzut că un pachet de unde poate fi asociat cu o particulă. Cel mai general pachet de valuri de acest tip:

\psi (x,t)=C\int _{-\infty }^{\infty }dp\,\phi (p,t)e^{i(px-Et)/\hbar }

{\ displaystyle \ psi (x, t) = C \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dp \, \ phi (p, t) e ^ {i (px-Et) / \ hbar}}

\ psi (x, t) = C \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} dp \, \ phi (p, t) e ^ {{i (px-Et) / \ hbar} }

reprezintă o funcție de undă, adică o soluție a ecuației Schrödinger cu propria evoluție în timp, care poate fi generalizată imediat la cazul tridimensional. De cand $p=\hbar k$ ${\ displaystyle p = \ hbar k}$ $p = \ hbar k$ Și $E=\hbar \omega$ ${\ displaystyle E = \ hbar \ omega}$ ${\ displaystyle E = \ hbar \ omega}$ , puteți scrie și:

\psi (x,t)=C\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k,t)e^{i(kx-\omega t)}

{\ displaystyle \ psi (x, t) = C \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dk \, A (k, t) e ^ {i (kx- \ omega t)}}

\ psi (x, t) = C \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} dk \, A (k, t) e ^ {{i (kx- \ omega t)}}

unde C este o constantă care servește pentru normalizare.

Să căutăm acum semnificația funcției $\phi (p,t)$ ${\ displaystyle \ phi (p, t)}$ $\ phi (p, t)$ sau $A(k,t)$ ${\ displaystyle A (k, t)}$ $A (k, t)$ considerată în cadrul definiției funcției de undă. Luați de exemplu funcția de undă pentru simplitate unidimensională și la timp $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ normalizat corespunzător:

\psi (x,t=0)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dp\,\phi (p)e^{ipx/\hbar }={\sqrt {\frac {\hbar }{2\pi }}}\int dk\,\phi (\hbar k)e^{ikx}

{\ displaystyle \ psi (x, t = 0) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ int dp \, \ phi (p) e ^ {ipx / \ hbar} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2 \ pi}}} \ int dk \, \ phi (\ hbar k) și ^ {ikx}}

\ psi (x, t = 0) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}}} \ int dp \, \ phi (p) e ^ {{ipx / \ hbar}} = {\ sqrt {{\ frac {\ hbar} {2 \ pi}}}} \ int dk \, \ phi (\ hbar k) și ^ {{ikx}}

efectuând o transformată Fourier obținem:

A(\hbar ,k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dx\,\psi (x)e^{-ikx}

{\ displaystyle A (\ hbar, k) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ int dx \, \ psi (x) e ^ {- ikx}}

A (\ hbar, k) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}}} \ int dx \, \ psi (x) e ^ {{- ikx}}

sau:

\phi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dx\,\psi (x)e^{-ipx/\hbar }

{\ displaystyle \ phi (p) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ int dx \, \ psi (x) e ^ {- ipx / \ hbar}}

\ phi (p) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}}} \ int dx \, \ psi (x) și ^ {{- ipx / \ hbar}}

Ei bine, dacă funcția de undă $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ este normalizat, de asemenea:

\int dp\,\phi (p)\phi ^{*}(p)=1

{\ displaystyle \ int dp \, \ phi (p) \ phi ^ {*} (p) = 1}

\ int dp \, \ phi (p) \ phi ^ {*} (p) = 1

după cum puteți calcula cu ușurință. Apoi, de asemenea $\phi (p)$ ${\ displaystyle \ phi (p)}$ $\ phi (p)$ sau $\phi (\hbar k)$ ${\ displaystyle \ phi (\ hbar k)}$ $\ phi (\ hbar k)$ este o funcție de undă în spațiul impulsurilor, modulul său pătrat
$|\phi (p)|^{2}dp$ ${\ displaystyle | \ phi (p) | ^ {2} dp}$ $| \ phi (p) | ^ {2} dp$ reprezintă probabilitatea ca particula să aibă un impuls între $p,p+dp$ ${\ displaystyle p, p + dp}$ $p, p + dp$ . Adică, există o anumită simetrie între spațiul pozițiilor și funcția de undă $\psi (x,t)$ ${\ displaystyle \ psi (x, t)}$ $\ psi (x, t)$ și spațiul impulsurilor cu funcție de undă $\phi (p,t)$ ${\ displaystyle \ phi (p, t)}$ $\ phi (p, t)$ .

Operatori și funcții proprii

Același subiect în detaliu: Observabil .

Orice mărime fizică din mecanica cuantică care poate fi măsurată sau observată se numește observabilă și este reprezentată de un operator . Un operator acționează asupra funcției de undă cu rezultatul obținerii în general a unei alte funcții de undă, adică aplicația unui operator schimbă starea:

{\hat {A}}\Psi =\Phi

{\ displaystyle {\ hat {A}} \ Psi = \ Phi}

{\ hat A} \ Psi = \ Phi

unde este ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat A}$ este operatorul. Valorile pe care le poate asuma o mărime fizică în general pot fi discrete sau continue sau atât discrete, cât și continue. Se postulează că valorile pe care un operator le poate asuma sunt toate și numai valorile proprii ale acestuia. Aceasta implică faptul că o funcție de undă trebuie să conțină și informațiile despre valorile proprii ale unui observabil. Adică, trebuie exprimat ca o suprapunere de stări (în general) infinite deduse de un operator și care conțin informații despre valorile pe care operatorul însuși le poate asuma. Acesta este dat unui operator ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat A}$ trebuie să putem găsi valorile proprii și, în consecință, și stările pe care le reprezintă fiecare valoare proprie. Pentru a face acest lucru, ecuația valorii proprii trebuie rezolvată:

{\hat {A}}\psi _{a}=a\psi _{a}

{\ displaystyle {\ hat {A}} \ psi _ {a} = a \ psi _ {a}}

{\ hat A} \ psi _ {a} = a \ psi _ {a}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este valoarea proprie și $\psi _{a}$ ${\ displaystyle \ psi _ {a}}$ $\ psi _ {a}$ sunt vectorii proprii care reprezintă stările proprii sau funcțiile proprii ale sistemului. În cazul valorilor proprii discrete $\{a_{1},a_{2},\dots ,\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {1}, a_ {2}, \ dots, \}}$ $\ {a_ {1}, a_ {2}, \ dots, \}$ putem clasifica funcțiile proprii corespunzătoare ca fiind $\{\psi _{a_{1}},\psi _{a_{2}},\dots \}$ ${\ displaystyle \ {\ psi _ {a_ {1}}, \ psi _ {a_ {2}}, \ dots \}}$ $\ {\ psi _ {{a_ {1}}}, \ psi _ {{a_ {2}}}, \ dots \}$ . În general, în mecanica cuantică funcțiile sunt definite într-un spațiu vectorial complex cu dimensiuni infinite, care este deci un exemplu de spațiu Hilbert , pentru care toate mărimile sunt supuse să presupună un număr infinit de valori proprii și deci de funcții proprii infinite. În orice caz, spațiul Hilbert este complet și separabil, ceea ce implică în mecanica cuantică că există întotdeauna un set complet de funcții proprii. În acest caz, fiecare funcție de undă care reprezintă sistemul poate fi dezvoltată în funcție de funcțiile proprii ale unui operator în cazul discret:

\Psi =\sum _{n}c_{n}\psi _{n}\

{\ displaystyle \ Psi = \ sum _ {n} c_ {n} \ psi _ {n} \}

{\ displaystyle \ Psi = \ sum _ {n} c_ {n} \ psi _ {n} \}

unde este $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ sunt coeficienți complexi. Interpretarea funcției de undă implică faptul că modulele pătrate ale coeficienților $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ reprezintă o probabilitate ca funcția de stare $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ este în autostat $\psi _{a}$ ${\ displaystyle \ psi _ {a}}$ $\ psi _ {a}$ iar aceste probabilități trebuie normalizate la $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ :

\sum _{n}|c_{n}|^{2}=\sum _{n}c_{n}^{*}c_{n}=1

{\ displaystyle \ sum _ {n} | c_ {n} | ^ {2} = \ sum _ {n} c_ {n} ^ {*} c_ {n} = 1}

\ sum _ {n} | c_ {n} | ^ {2} = \ sum _ {n} c _ {{n}} ^ {{*}} c_ {n} = 1

Coeficienții sunt de fapt determinați automat de:

\sum _{n}c_{n}^{*}c_{n}=\sum _{n}\psi _{n}^{*}\Psi

{\ displaystyle \ sum _ {n} c_ {n} ^ {*} c_ {n} = \ sum _ {n} \ psi _ {n} ^ {*} \ Psi}

\ sum _ {n} c _ {{n}} ^ {{*}} c_ {n} = \ sum _ {n} \ psi _ {{n}} ^ {{*}} \ Psi

înmulțind cu conjugatul său complex:

\Psi ^{*}=\sum _{n}c_{n}^{*}\psi _{n}^{*}

{\ displaystyle \ Psi ^ {*} = \ sum _ {n} c_ {n} ^ {*} \ psi _ {n} ^ {*}}

{\ displaystyle \ Psi ^ {*} = \ sum _ {n} c_ {n} ^ {*} \ psi _ {n} ^ {*}}

primesti:

\sum _{n}c_{n}c_{n}^{*}=\sum _{n}\Psi ^{*}\Psi =\sum _{n}c_{n}^{*}\sum _{n}\psi _{n}^{*}\Psi

{\ displaystyle \ sum _ {n} c_ {n} c_ {n} ^ {*} = \ sum _ {n} \ Psi ^ {*} \ Psi = \ sum _ {n} c_ {n} ^ {* } \ sum _ {n} \ psi _ {n} ^ {*} \ Psi}

\ sum _ {n} c_ {n} c _ {{n}} ^ {{*}} = \ sum _ {n} \ Psi ^ {{*}} \ Psi = \ sum _ {n} c _ { {n}} ^ {{*}} \ sum _ {n} \ psi _ {{n}} ^ {{*}} \ Psi

de la care:

c_{n}=\sum _{n}\Psi \psi _{n}^{*}=\sum _{m}c_{m}\psi _{m}\psi _{n}^{*}=c_{m}

{\ displaystyle c_ {n} = \ sum _ {n} \ Psi \ psi _ {n} ^ {*} = \ sum _ {m} c_ {m} \ psi _ {m} \ psi _ {n} ^ {*} = c_ {m}}

c_ {n} = \ sum _ {n} \ Psi \ psi _ {{n}} ^ {{*}} = \ sum _ {m} c_ {m} \ psi _ {m} \ psi _ {{n }} ^ {{*}} = c_ {m}

intr-adevar

\sum _{m}\psi _{m}\psi _{n}^{*}=\delta _{mn}

{\ displaystyle \ sum _ {m} \ psi _ {m} \ psi _ {n} ^ {*} = \ delta _ {mn}}

\ sum _ {m} \ psi _ {{m}} \ psi _ {{n}} ^ {{*}} = \ delta _ {{mn}}

trebuie normalizate.

Valoarea medie a unui operator

Având în vedere o mărime fizică reprezentată de un operator ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat A}$ , suntem capabili să rezolvăm ecuația valorii proprii și să determinăm funcțiile proprii corespunzătoare. În plus, datorită acestora putem dezvolta funcția de undă în funcție de funcțiile proprii ale acestui operator și o putem normaliza astfel încât să reprezinte o probabilitate. În practică, dacă măsurăm A , trebuie să putem obține în cele din urmă una dintre valorile proprii pe baza probabilității de apariție. Apoi, funcția de undă care reprezintă starea fizică în urma unei măsurări a observabilului sub care a fost dezvoltată, trebuie plasată instantaneu în statul propriu al celei observabile, acest fenomen este cunoscut sub numele de colapsul funcției de undă și este unul dintre rezultate surprinzătoare ale mecanicii cuantice, pe cât de surprinzătoare pe cât de greu de interpretat. În orice caz, acesta este unul dintre postulatele fundamentale ale mecanicii cuantice: în urma unei măsurători, funcția de undă se prăbușește într-o stare proprie a unor observabile cu o anumită probabilitate. Singura excepție apare dacă funcția de undă se află deja într-o stare proprie a unor observabile pentru care o nouă măsurare produce același rezultat cu probabilitate $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

De asemenea, putem calcula valoarea medie a unui operator, intenționată ca valoare medie a operatorului corespunzător. De fapt dacă ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat A}$ este operator și $\{a_{1},a_{2},\dots \}$ ${\ displaystyle \ {a_ {1}, a_ {2}, \ dots \}}$ $\ {a_ {1}, a_ {2}, \ dots \}$ sunt valorile proprii discrete atunci:

{\bar {A}}=\sum _{n}a_{n}|c_{n}|^{2}

{\ displaystyle {\ bar {A}} = \ sum _ {n} a_ {n} | c_ {n} | ^ {2}}

{\ bar A} = \ sum _ {n} a_ {n} | c_ {n} | ^ {2}

care, după cum putem vedea, nu este altceva decât suma tuturor valorilor proprii ponderate, fiecare cu probabilitatea respectivă de apariție. Operatorii din mecanica cuantică sunt liniari pentru a satisface principiul suprapunerii stărilor și mai mult, din motive evidente, este necesar ca toate valorile proprii ale unui operator să fie, de asemenea, reale, ceea ce impune că valoarea medie a unui operator este, de asemenea, reală: aceasta impune că numai operatorii hermitieni sunt susceptibili să reprezinte cantități observabile în mecanica cuantică.

Caz continuu

Toate considerațiile făcute până acum în cazul unui spectru discret de valori proprii ale unui operator ${\hat {f}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ hat f}$ se aplică și în cazul continuu. În acest caz, fiecare operator având un spectru continuu poate da o dezvoltare a funcției de undă:

\Psi (q)=\int a(f)\psi _{f}(q)\,df

{\ displaystyle \ Psi (q) = \ int a (f) \ psi _ {f} (q) \, df}

\ Psi (q) = \ int a (f) \ psi _ {f} (q) \, df

unde este $a(f)$ ${\ displaystyle a (f)}$ $a (f)$ sunt coeficienți care au același sens ca $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ în cazul discret e $\psi _{f}(q)$ ${\ displaystyle \ psi _ {f} (q)}$ $\ psi _ {f} (q)$ sunt funcțiile proprii ale operatorului ${\hat {f}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ hat f}$ . De data aceasta interpretarea coeficienților de dezvoltare este ceea ce

|a(f)|^{2}df\

{\ displaystyle | a (f) | ^ {2} df \}

| a (f) | ^ {2} df \

reprezintă probabilitatea ca operatorul să aibă o valoare între $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și $f+df$ ${\ displaystyle f + df}$ ${\ displaystyle f + df}$ . Coeficienții sunt determinați automat:

a(f)=\int \Psi (q)\psi _{f}^{*}(q)\,dq

{\ displaystyle a (f) = \ int \ Psi (q) \ psi _ {f} ^ {*} (q) \, dq}

a (f) = \ int \ Psi (q) \ psi _ {{f}} ^ {{*}} (q) \, dq

odată ce funcțiile proprii sunt normalizate corespunzător:

\int \psi _{f'}\psi _{f}^{*}dq=\delta (f'-f)

{\ displaystyle \ int \ psi _ {f '} \ psi _ {f} ^ {*} dq = \ delta (f'-f)}

{\ displaystyle \ int \ psi _ {f '} \ psi _ {f} ^ {*} dq = \ delta (f'-f)}

unde intervine funcția delta Dirac , atunci:

a(f)=\int a_{f'}\delta (f'-f)\,df'=a(f)

{\ displaystyle a (f) = \ int a_ {f '} \ delta (f'-f) \, df' = a (f)}

a (f) = \ int a _ {{f '}} \ delta (f'-f) \, df' = a (f)

intr-adevar $\int \delta (f'-f)df'=1$ ${\ displaystyle \ int \ delta (f'-f) df '= 1}$ $\ int \ delta (f'-f) df '= 1$ . Valoarea medie a operatorului este calculată:

{\bar {f}}=\int \Psi ^{*}(q){\hat {f}}\Psi (q)

{\ displaystyle {\ bar {f}} = \ int \ Psi ^ {*} (q) {\ hat {f}} \ Psi (q)}

{\ bar f} = \ int \ Psi ^ {*} (q) {\ hat f} \ Psi (q)

.

Poziția și operatorii de impuls

Câteva exemple de operatori în mecanica cuantică care au un spectru continuu de valori proprii sunt operatorii de poziție și impuls . Există o simetrie între spațiul pozițiilor și spațiul impulsurilor, unde ne putem defini funcțiile de undă: se poate vedea prin calcularea valorilor medii.

În spațiul pozițiilor:

\langle {\hat {x}}\rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x,t){\hat {x}}\psi (x,t)=\int dx\,{\hat {x}}|\psi (x,t)|^{2}

{\ displaystyle \ langle {\ hat {x}} \ rangle = \ int dx \, \ psi ^ {*} (x, t) {\ hat {x}} \ psi (x, t) = \ int dx \ , {\ hat {x}} | \ psi (x, t) | ^ {2}}

{\ displaystyle \ langle {\ hat {x}} \ rangle = \ int dx \, \ psi ^ {*} (x, t) {\ hat {x}} \ psi (x, t) = \ int dx \ , {\ hat {x}} | \ psi (x, t) | ^ {2}}

întrucât operatorul de poziție în spațiul de poziție este un operator banal ${\hat {x}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ hat x}$ . Calculul valorii medii a ${\hat {p}}$ ${\ displaystyle {\ hat {p}}}$ ${\ hat p}$ în spațiul pozițiilor este în schimb:

\langle {\hat {p}}_{x}\rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x,t)\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi (x,t)

{\ displaystyle \ langle {\ hat {p}} _ {x} \ rangle = \ int dx \, \ psi ^ {*} (x, t) \ left (-i \ hbar {\ frac {\ partial} { \ partial x}} \ right) \ psi (x, t)}

\ langle {\ hat p} _ {x} \ rangle = \ int dx \, \ psi ^ {*} (x, t) \ left (-i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ dreapta) \ psi (x, t)

Acum să mergem în spațiul pulsului și să calculăm valoarea medie a ${\hat {p}}$ ${\ displaystyle {\ hat {p}}}$ ${\ hat p}$ :

\langle {\hat {p}}_{x}\rangle =\int dp\,\phi (p,t){\hat {p}}\phi (p,t)=\int dp\,{\hat {p}}|\phi (p,t)|^{2}

{\ displaystyle \ langle {\ hat {p}} _ {x} \ rangle = \ int dp \, \ phi (p, t) {\ hat {p}} \ phi (p, t) = \ int dp \ , {\ hat {p}} | \ phi (p, t) | ^ {2}}

\ langle {\ hat p} _ {x} \ rangle = \ int dp \, \ phi (p, t) {\ hat p} \ phi (p, t) = \ int dp \, {\ hat p} | \ phi (p, t) | ^ {2}

adică este un operator banal, în timp ce valoarea medie a ${\hat {x}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ hat x}$ :

\langle {\hat {x}}\rangle =\int dp\phi ^{*}(p,t)\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}\right)\phi (p,t)

{\ displaystyle \ langle {\ hat {x}} \ rangle = \ int dp \ phi ^ {*} (p, t) \ left (i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial p}} \ right ) \ phi (p, t)}

{\ displaystyle \ langle {\ hat {x}} \ rangle = \ int dp \ phi ^ {*} (p, t) \ left (i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial p}} \ right ) \ phi (p, t)}

Funcția de undă pentru o particulă liberă

De exemplu, luați în considerare o particulă care se mișcă liber în spațiu, cu anumite distribuții de probabilitate pentru poziție și viteză și să presupunem că măsurăm poziția acesteia, obținând o anumită valoare x . Apoi, se poate prezice că o măsurare ulterioară a poziției (destul de apropiată în timp) va duce cu siguranță la același rezultat tocmai obținut: funcția de undă s-a prăbușit la un moment dat, oferind o anumită probabilitate în acel moment.

Principiul incertitudinii lui Heisenberg duce, de asemenea, la conceptul de observabile incompatibile: acestea sunt perechi de observabile în care cunoașterea completă a unuia dintre cele două duce la lipsa completă de cunoaștere a celuilalt. În cazul anterior, o măsurare a poziției duce la ignorarea completă a vitezei. În același mod, energia și intervalul de timp în care se schimbă această energie sunt incompatibile. Cu alte cuvinte, prăbușirea funcției de undă asociată cu un observabil conduce la o funcție de distribuție uniformă, pe întregul domeniu al definiției, pentru observabilul conjugat la acesta.

Bibliografie

Peter Atkins , Julio De Paula, Chimie fizică , ediția a IV-a, Bologna, Zanichelli , 2004, ISBN 88-08-09649-1 .
LD Landau și EM Lifshitz , Fizică Teoretică: Vol . 3 Mecanică cuantică, Roma, Editorilor Riuniti , 2010, ISBN 978-88-64-73208-4 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Wave function / Wave function (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de fizică

Portalul de matematică

Portal cuantic

V · D · M Mecanica cuantică
Formalismul matematic	Notație Bra-KET · Hilbert Space · postulate ale mecanicii cuantice · utilizator comun · perturbațiilor (fizică)
Fundamente și principii	Heisenberg Principiul incertitudinii · Complementaritatea Principiul · Funcția de undă · colapsul funcției de undă · Copenhaga Interpretare · Spin · Teoria cuantică veche · Interpretarea Bohm
Operatori	Pulsul Operator · Poziția operatorului · Operatorul Hamiltoniene · Operator momentului cinetic · densitatea operatorului
Formulări	Mecanica Wave · Mecanica matricelor · Integral pe căile
Ecuații	Ecuația Dirac · ecuația Klein-Gordon · ecuația Pauli · ecuația Schrödinger
Paradoxuri	Schroedinger Cat · EPR paradox · cuantice Suicide