Ecuația Klein-Gordon

Ecuația Klein - Gordon este o primă încercare de a face ecuația Schrödinger relativistă. Cu toate acestea, ecuația KG nu admite o interpretare probabilistică naturală, în plus, nu ia în considerare una dintre caracteristicile fundamentale ale unei particule cuantice, și anume spinul .

Definiție

Ecuația Klein-Gordon , care descrie mișcarea particulelor scalare (cu rotire nulă), apare din necesitatea de a insera formalismul relativității speciale în cadrul mecanicii cuantice și, prin urmare, de a rescrie ecuația într-o formă covariantă de Schrödinger :

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = {\ hat {H}} \ psi}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = {\ hat {H}} \ psi}

cu

{\hat {H}}=-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\hat {U}}\left(\mathbf {x} \right).

{\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ hbar ^ {2} {\ frac {\ nabla ^ {2}} {2m}} + {\ hat {U}} \ left (\ mathbf {x} \ dreapta).}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ hbar ^ {2} {\ frac {\ nabla ^ {2}} {2m}} + {\ hat {U}} \ left (\ mathbf {x} \ dreapta).}

Pentru a scrie o ecuație sub formă covariantă, trebuie să folosim relația lui Einstein între energie și impuls: ^[1]

E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}

{\ displaystyle E ^ {2} = p ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}

{\ displaystyle E ^ {2} = p ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}

care, într-o formă operativă, devine

{\hat {E}}^{2}\psi =\left({\hat {p}}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi .

{\ displaystyle {\ hat {E}} ^ {2} \ psi = \ left ({\ hat {p}} ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4} \ right) \ psi.}

{\ displaystyle {\ hat {E}} ^ {2} \ psi = \ left ({\ hat {p}} ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4} \ right) \ psi.}

care, explicând operatorul energetic și operatorul pătrat al impulsului,

{\hat {E}}^{2}=-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\qquad {\hat {p}}^{2}=-\hbar ^{2}\nabla ^{2}

{\ displaystyle {\ hat {E}} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ qquad {\ hat {p }} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} \ nabla ^ {2}}

{\ displaystyle {\ hat {E}} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ qquad {\ hat {p }} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} \ nabla ^ {2}}

devine:

\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ right ) \ psi + {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi = 0}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ right ) \ psi + {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi = 0}

Scrisă pentru prima dată de Klein și Gordon, își asumă o formă foarte compactă în forma vădit covariantă: ^[2]

\left(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi =0

{\ displaystyle \ left (\ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} + {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ right) \ psi = 0}

{\ displaystyle \ left (\ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} + {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ right) \ psi = 0}

Definirea operatorului alembertian ca: $\Box \equiv \partial _{\mu }\partial ^{\mu }$ ${\ displaystyle \ Box \ equiv \ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu}}$ $\ Box \ equiv \ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu}$ ecuația este rescrisă:

\left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi =0

{\ displaystyle \ left (\ Box + {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ right) \ psi = 0}

{\ displaystyle \ left (\ Box + {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ right) \ psi = 0}

Mai mult, în unitățile naturale , ecuația ia următoarea formă și mai compactă ^[1]

(\Box +m^{2})\psi =0

{\ displaystyle (\ Box + m ^ {2}) \ psi = 0}

{\ displaystyle (\ Box + m ^ {2}) \ psi = 0}

Klein-Gordon Lagrangian

Ecuația Klein - Gordon poate fi derivată din următoarea acțiune

{\mathcal {S}}=c^{2}\int \left(\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\partial _{\nu }\psi -{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = c ^ {2} \ int \ left (\ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} {\ bar {\ psi}} \ partial _ {\ nu} \ psi - {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} {\ bar {\ psi}} \ psi \ right) \ mathrm {d} ^ {4 } X}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = c ^ {2} \ int \ left (\ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} {\ bar {\ psi}} \ partial _ {\ nu} \ psi - {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} {\ bar {\ psi}} \ psi \ right) \ mathrm {d} ^ {4 } X}

sau din următorul Lagrangian

{\mathcal {L}}=c^{2}\left(\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\partial _{\nu }\psi -{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}{\bar {\psi }}\psi \right)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = c ^ {2} \ left (\ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} {\ bar {\ psi}} \ partial _ {\ nu} \ psi - {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} {\ bar {\ psi}} \ psi \ right)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = c ^ {2} \ left (\ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} {\ bar {\ psi}} \ partial _ {\ nu} \ psi - {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} {\ bar {\ psi}} \ psi \ right)}

unde este $\eta ^{\mu \nu }$ ${\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu}}$ $\ eta ^ {{\ mu \ nu}}$ este metrica spațiului, $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi}$ este câmpul Klein - Gordon e $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este masa sa. Complexul conjugat al $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este scris ca ${\bar {\psi }}.$ ${\ displaystyle {\ bar {\ psi}}.}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ psi}}.}$

Dezavantaje ale ecuației Klein-Gordon

Avantajul acestei ecuații Klein-Gordon este acela de a trata timpul și spațiul în același mod, în timp ce operatorul alembertian se dovedește a fi un invariant. Pe de altă parte, însă, există unele dezavantaje . În primul rând, ca soluție la această ecuație, pot exista și stări de energie negative care implică densități de probabilitate negative, deci a existat problema acordării sensului funcției de undă .

Pentru ecuația Schrödinger, de fapt, Max Born oferă interpretarea că modulul pătrat al funcției de undă reprezintă densitatea probabilității :

|\psi \left({\vec {r}},t\right)|^{2}=\rho \left({\vec {r}},t\right)_{S}

{\ displaystyle | \ psi \ left ({\ vec {r}}, t \ right) | ^ {2} = \ rho \ left ({\ vec {r}}, t \ right) _ {S}}

{\ displaystyle | \ psi \ left ({\ vec {r}}, t \ right) | ^ {2} = \ rho \ left ({\ vec {r}}, t \ right) _ {S}}

prin urmare

\int \operatorname {d} ^{3}r|\psi \left({\vec {r}},t\right)|^{2}=1

{\ displaystyle \ int \ operatorname {d} ^ {3} r | \ psi \ left ({\ vec {r}}, t \ right) | ^ {2} = 1}

{\ displaystyle \ int \ operatorname {d} ^ {3} r | \ psi \ left ({\ vec {r}}, t \ right) | ^ {2} = 1}

obținerea:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\int \operatorname {d} ^{3}r\left|\psi \left({\vec {r}},t\right)\right|^{2}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} \ int \ operatorname {d} ^ {3} r \ left | \ psi \ left ({\ vec {r}}, t \ right) \ right | ^ {2} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} \ int \ operatorname {d} ^ {3} r \ left | \ psi \ left ({\ vec {r}}, t \ right) \ right | ^ {2} = 0}

Această proprietate trebuie verificată și pentru densitatea probabilității obținută din ecuația Klein-Gordon:

\rho \left({\vec {r}},t\right)_{KG}={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left[{\bar {\psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-{\psi }{\frac {\partial {\bar {\psi }}}{\partial t}}\right]

{\ displaystyle \ rho \ left ({\ vec {r}}, t \ right) _ {KG} = {\ frac {i \ hbar} {2mc ^ {2}}} \ left [{\ bar {\ psi }} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} - {\ psi} {\ frac {\ partial {\ bar {\ psi}}} {\ partial t}} \ right]}

{\ displaystyle \ rho \ left ({\ vec {r}}, t \ right) _ {KG} = {\ frac {i \ hbar} {2mc ^ {2}}} \ left [{\ bar {\ psi }} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} - {\ psi} {\ frac {\ partial {\ bar {\ psi}}} {\ partial t}} \ right]}

Acest ρ _KG nu este întotdeauna pozitiv definit, dar poate fi și negativ sau nul .

Înainte de a realiza că această ecuație a fost utilă pentru descrierea particulelor de spin întregi, Dirac a fost cel care a avut grijă să creeze o ecuație cuantică relativistă care să elimine, pe cât posibil, dezavantajele introduse de cea Klein-Gordon, obținând în cele din urmă faimosul Dirac. ecuație .

Observați bosonii masivi cu spin 1, ecuațiile de câmp sunt descrise de Proca Lagrangian .

Notă

^ ^a ^b ( EN ) Mark Thomson, Modern Particle Physics , Cambridge University Press, 2013, pp. 80-81, ISBN 978-1-107-03426-6 .
^ folosind semnătura (+, -, -, -)

Bibliografie

(EN) Sakurai, JJ, Advanced Quantum Mechanics, Addison Wesley, 1967, ISBN 0-201-06710-2 .
(EN) Davydov, AS, Mecanica cuantică, ediția a II-a, Pergamon, 1976, ISBN 0-08-020437-6 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, ecuația Klein-Gordon , în MathWorld , Wolfram Research.
Liniar Klein - Ecuația Gordon la EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice.
Ecuația neliniară Klein - Gordon la EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 45445 · LCCN (EN) sh89006586 · GND (DE) 4164132-2 · BNF (FR) cb144887138 (data)

Portalul relativității : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de relativitate

[:0-1] ( EN ) Mark Thomson, Modern Particle Physics , Cambridge University Press, 2013, pp. 80-81, ISBN 978-1-107-03426-6 .

[2] sind semnătura (+, -, -, -)

[1]

[2]

V · D · M Mecanica cuantică
Formalismul matematic	Notare Bra-ket · Hilbert Space · postulate ale mecanicii cuantice · utilizator comun · Interferență (fizică)
Fundamente și principii	Principiul incertitudinii Heisenberg · Principiul complementarității · Funcția de undă · prăbușirea funcției de undă · Interpretarea de la Copenhaga · Spin · Vechea teorie cuantică · Interpretarea lui Bohm
Operatori	Pulsul Operator · Poziția operatorului · Operatorul Hamiltoniene · Operator momentului cinetic · densitatea operatorului
Formulări	Mecanica undelor · Mecanica matricilor · Integrală pe căi
Ecuații	Ecuația Dirac · ecuația Klein-Gordon · ecuația Pauli · ecuația Schrödinger
Paradoxuri	Pisica lui Schrödinger · Paradoxul EPR · Cuanticul sinuciderii