Ecuația Sine-Gordon

Ecuația sinus-Gordon (sau ecuația sinus-Gordon ) este o ecuație diferențială parțială hiperbolică neliniară 1 + 1, care implică operatorul d'Alembert și sinusul funcției necunoscute. A fost inițial introdus de Edmond Bour (în 1862 ) în cursul studiului suprafețelor cu curbură negativă constantă , cum ar fi ecuația Gauss - Codazzi pentru suprafețele de curbură -1 într-un spațiu de dimensiunea 3, ^[1] și redescoperită de Frenkel și Kontorova (în 1939 ) în studiul lor despre dislocarea cristalelor cunoscut sub numele de modelul Frenkel-Kontorova. ^[2] Această ecuație a atras multă atenție în anii 1970 datorită prezenței soluțiilor de soliton .

Originea ecuației și numele acesteia

Există două forme echivalente ale ecuației sinus-Gordon. În coordonatele spațiu-timp ( reale ), notate cu ( x , t ), ecuația are forma: ^[3]

\,\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0,

{\ displaystyle \, \ varphi _ {tt} - \ varphi _ {xx} + \ sin \ varphi = 0,}

{\ displaystyle \, \ varphi _ {tt} - \ varphi _ {xx} + \ sin \ varphi = 0,}

unde derivatele parțiale sunt notate cu indicii. Trecând la coordonatele conului de lumină ( u , v ), similar cu coordonatele asimptotice unde

u={\frac {x+t}{2}},\quad v={\frac {x-t}{2}},

{\ displaystyle u = {\ frac {x + t} {2}}, \ quad v = {\ frac {xt} {2}},}

{\ displaystyle u = {\ frac {x + t} {2}}, \ quad v = {\ frac {x-t} {2}},}

ecuația ia forma: ^[4]

\varphi _{uv}=\sin \varphi .\,

{\ displaystyle \ varphi _ {uv} = \ sin \ varphi. \,}

{\ displaystyle \ varphi _ {uv} = \ sin \ varphi. \,}

Aceasta este forma originală a ecuației sinus-Gordon, așa cum a fost luată în considerare în secolul al XIX-lea la studierea suprafețelor de curbură gaussiană constantă K = - 1, numită și suprafețe pseudosferice . Alegerea unui sistem de coordonate pentru această suprafață în care grila de coordonate u = constantă, v = constantă este dată de curbele asimptotice parametrizate în raport cu lungimea arcului, prima formă fundamentală a suprafeței din aceste coordonate are o formă specială:

ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi \,du\,dv+dv^{2},\,

{\ displaystyle ds ^ {2} = du ^ {2} +2 \ cos \ varphi \, du \, dv + dv ^ {2}, \,}

{\ displaystyle ds ^ {2} = du ^ {2} +2 \ cos \ varphi \, du \, dv + dv ^ {2}, \,}

unde este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ exprimă unghiul dintre curbele asimptotice, iar pentru a doua formă fundamentală, L = N = 0. Prin urmare, ecuația Codazzi - Mainardi, care exprimă o condiție de compatibilitate între prima și a doua formă fundamentală, are ca rezultat ecuația breast-Gordon . Studiul acestei ecuații și a transformărilor aferente ale suprafețelor pseudosferei, în secolul al XIX-lea, de către Bianchi și Bäcklund, au condus la descoperirea transformărilor Bäcklund. O altă transformare a suprafețelor pseudosferice este transformata Lie introdusă de Sophus Lie în 1879, care corespunde transformărilor Lorentz în ceea ce privește coordonatele conului de lumină, deci ecuația sinus-Gordon este Lorentz-invariantă . ^[5]

Numele „ecuație sine-Gordon”, sau în italiană „sine-Gordon” (dar forma engleză este adesea folosită) este o piesă despre binecunoscuta ecuație Klein-Gordon din fizică: ^[3]

\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi \ =0.\,

{\ displaystyle \ varphi _ {tt} - \ varphi _ {xx} + \ varphi \ = 0. \,}

{\ displaystyle \ varphi _ {tt} - \ varphi _ {xx} + \ varphi \ = 0. \,}

Ecuația sine-Gordon este ecuația Euler-Lagrange a câmpului a cărei densitate lagrangiană este dată de

{\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2}\right)-1+\cos \varphi .

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {SG}} (\ varphi) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ varphi _ {t} ^ {2} - \ varphi _ {x} ^ {2} \ right) -1+ \ cos \ varphi.}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {SG}} (\ varphi) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ varphi _ {t} ^ {2} - \ varphi _ {x} ^ {2} \ right) -1+ \ cos \ varphi.}

Folosind expansiunea serie a lui Cosinus de către Taylor în Lagrangian,

\cos(\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-\varphi ^{2}\right)^{n}}{(2n)!}},

{\ displaystyle \ cos (\ varphi) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (- \ varphi ^ {2} \ right) ^ {n}} {(2n)! }},}

{\ displaystyle \ cos (\ varphi) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (- \ varphi ^ {2} \ right) ^ {n}} {(2n)! }},}

poate fi rescris ca termenii Klein-Gordon Lagrangian plus termeni de ordin superior

{\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2}\right)-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\left(-\varphi ^{2}\right)^{n}}{(2n)!}}\\&={\mathcal {L}}_{\text{KG}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\left(-\varphi ^{2}\right)^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {L}} _ {\ text {SG}} (\ varphi) & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ varphi _ {t} ^ {2} - \ varphi _ {x} ^ {2} \ right) - {\ frac {\ varphi ^ {2}} {2}} + \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (- \ varphi ^ {2} \ right) ^ {n}} {(2n)!}} \\ & = {\ mathcal {L}} _ {\ text {KG}} (\ varphi) + \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (- \ varphi ^ {2} \ right) ^ {n}} {(2n)!}}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {L}} _ {\ text {SG}} (\ varphi) & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ varphi _ {t} ^ {2} - \ varphi _ {x} ^ {2} \ right) - {\ frac {\ varphi ^ {2}} {2}} + \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (- \ varphi ^ {2} \ right) ^ {n}} {(2n)!}} \\ & = {\ mathcal {L}} _ {\ text {KG}} (\ varphi) + \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (- \ varphi ^ {2} \ right) ^ {n}} {(2n)!}}. \ end {align}}}

Model mecanic și aplicații

În 1970, Scott a propus un model mecanic ^[6] , care ar putea fi descris prin ecuația Sine-Gordon. Ideea este de luat în considerare $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ pendule atârnate de o panglică elastică în lungime $\ell$ ${\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ și constantă elastică $\kappa$ ${\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ , toate cu aceeași masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ și lungimea $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ , astfel încât să oscileze transversal spre direcția centurii. Prin urmare, aceste pendule vor fi supuse la două forțe diferite: cea a gravitației și cea a elasticității derivate din torsiunea panglicii, astfel încât cuplul va fi dat de ( $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aleargă de-a lungul panglicii în timp ce $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ descrie prin devierea pendulului de la verticală):

$T=\kappa {\frac {\Delta \theta }{\Delta x}}$ ${\ displaystyle T = \ kappa {\ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta x}}}$ ${\ displaystyle T = \ kappa {\ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta x}}}$ ,

și se presupune, de asemenea, că răsucirea resimțită de un pendul se datorează doar primilor săi vecini. Ecuația de mișcare pentru th pendulului j- va fi atunci:

$mL{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}={\frac {\kappa }{L\Delta x}}(\theta _{j+1}+\theta _{j-1}-2\theta _{j})-mg\sin \theta _{j}$ ${\ displaystyle mL {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} = {\ frac {\ kappa} {L \ Delta x}} (\ theta _ {j + 1} + \ theta _ {j-1} -2 \ theta _ {j}) - mg \ sin \ theta _ {j}}$ ${\ displaystyle mL {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} = {\ frac {\ kappa} {L \ Delta x}} (\ theta _ {j + 1} + \ theta _ {j-1} -2 \ theta _ {j}) - mg \ sin \ theta _ {j}}$

A face limita continuă, presupunând $N\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle N \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle N \ rightarrow \ infty}$ , $\Delta x\rightarrow 0$ ${\ displaystyle \ Delta x \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle \ Delta x \ rightarrow 0}$ Și $N\Delta x$ ${\ displaystyle N \ Delta x}$ ${\ displaystyle N \ Delta x}$ constantă și dezvoltându- se la ordinea a doua în $\Delta x$ ${\ displaystyle \ Delta x}$ $\ Delta x$ colțurile:

$\theta _{j\pm 1}=\theta (x\pm \Delta x)\simeq \theta (x)\pm \Delta x{\frac {d\theta }{dx}}+{\frac {1}{2}}\Delta x^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {j \ pm 1} = \ theta (x \ pm \ Delta x) \ simeq \ theta (x) \ pm \ Delta x {\ frac {d \ theta} {dx}} + {\ frac {1} {2}} \ Delta x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dx ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {j \ pm 1} = \ theta (x \ pm \ Delta x) \ simeq \ theta (x) \ pm \ Delta x {\ frac {d \ theta} {dx}} + {\ frac {1} {2}} \ Delta x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dx ^ {2}}}}$ ,

este situat:

${\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial t^{2}}}={\frac {\kappa \Delta x}{mL^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x^{2}}}-{\frac {g}{L}}\sin \theta$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ theta} {\ partial t ^ {2}}} = {\ frac {\ kappa \ Delta x} {mL ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ theta} {\ partial x ^ {2}}} - {\ frac {g} {L}} \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ theta} {\ partial t ^ {2}}} = {\ frac {\ kappa \ Delta x} {mL ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ theta} {\ partial x ^ {2}}} - {\ frac {g} {L}} \ sin \ theta}$ ,

care, rearanjând constantele fizice, este tocmai ecuația sinus-Gordon:

${\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x^{2}}}=\omega _{0}^{2}\sin \theta$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ theta} {\ partial t ^ {2}}} - c_ {0} ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} \ theta} {\ partial x ^ {2}}} = \ omega _ {0} ^ {2} \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ theta} {\ partial t ^ {2}}} - c_ {0} ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} \ theta} {\ partial x ^ {2}}} = \ omega _ {0} ^ {2} \ sin \ theta}$ .

Acest model poate fi construit cu ușurință în laborator, permițând observarea comportamentelor prezise de soluțiile analitice ale acestei ecuații. În acest model gravitația provoacă efectele neliniare și dispersive și, prin urmare, și soluțiile solitonice . Pot fi identificate alte sisteme fizice descrise de acest model matematic ^[7] , cum ar fi comportamentul unei joncțiuni Josephon în fizica supraconductorilor , variația direcției de magnetizare (sub formă de unde) în materialele feromagnetice , dislocarea în anumite cristale , sau propagarea impulsurilor laserului în anumite medii.

Solutii Soliton

O caracteristică interesantă a ecuației sinus-Gordon este existența soluțiilor soliton și multisolitonice.

1 soluții de soliton

Ecuația sine-Gordon are următoarele soluții la 1 soliton :

\varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan \left(e^{m\gamma (x-vt)+\delta }\right)\,

{\ displaystyle \ varphi _ {\ text {soliton}} (x, t): = 4 \ arctan \ left (e ^ {m \ gamma (x-vt) + \ delta} \ right) \,}

{\ displaystyle \ varphi _ {\ text {soliton}} (x, t): = 4 \ arctan \ left (e ^ {m \ gamma (x-vt) + \ delta} \ right) \,}

unde este

\gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}}.

{\ displaystyle \ gamma ^ {2} = {\ frac {1} {1-v ^ {2}}}.}

{\ displaystyle \ gamma ^ {2} = {\ frac {1} {1-v ^ {2}}}.}

și ia forma puțin mai generală a ecuației:

\,\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+m^{2}\sin \varphi =0.

{\ displaystyle \, \ varphi _ {tt} - \ varphi _ {xx} + m ^ {2} \ sin \ varphi = 0.}

{\ displaystyle \, \ varphi _ {tt} - \ varphi _ {xx} + m ^ {2} \ sin \ varphi = 0.}

Soluția cu 1 soliton pentru care am ales rădăcina pozitivă $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ se numește kink și reprezintă un wrap în variabilă $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ ceea ce aduce sistemul la o soluție $\varphi =0$ ${\ displaystyle \ varphi = 0}$ $\ varphi = 0$ la unul adiacent cu $\varphi =2\pi$ ${\ displaystyle \ varphi = 2 \ pi}$ ${\ displaystyle \ varphi = 2 \ pi}$ . Statele $\varphi =0\,({\textrm {mod}}\,2\pi )$ ${\ displaystyle \ varphi = 0 \, ({\ textrm {mod}} \, 2 \ pi)}$ ${\ displaystyle \ varphi = 0 \, ({\ textrm {mod}} \, 2 \ pi)}$ sunt cunoscute sub numele de stări de vid, deoarece sunt soluții constante de energie zero. Soluția cu 1 soliton a cărei rădăcină negativă $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ se numește antikink . Forma soluțiilor cu 1 soliton poate fi obținută prin aplicarea unei transformări Bäcklund la soluția trivială (vid constant) și integrarea diferențialelor de ordinul întâi rezultate:

{\varphi ^{\prime }}_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin \left({\frac {\varphi ^{\prime }+\varphi }{2}}\right),

{\ displaystyle {\ varphi ^ {\ prime}} _ {u} = \ varphi _ {u} +2 \ beta \ sin \ left ({\ frac {\ varphi ^ {\ prime} + \ varphi} {2} } \ dreapta),}

{\ displaystyle {\ varphi ^ {\ prime}} _ {u} = \ varphi _ {u} +2 \ beta \ sin \ left ({\ frac {\ varphi ^ {\ prime} + \ varphi} {2} } \ dreapta),}

{\varphi ^{\prime }}_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin \left({\frac {\varphi ^{\prime }-\varphi }{2}}\right){\text{ with }}\varphi =\varphi _{0}=0

{\ displaystyle {\ varphi ^ {\ prime}} _ {v} = - \ varphi _ {v} + {\ frac {2} {\ beta}} \ sin \ left ({\ frac {\ varphi ^ {\ prime} - \ varphi} {2}} \ right) {\ text {cu}} \ varphi = \ varphi _ {0} = 0}

{\ displaystyle {\ varphi ^ {\ prime}} _ {v} = - \ varphi _ {v} + {\ frac {2} {\ beta}} \ sin \ left ({\ frac {\ varphi ^ {\ prime} - \ varphi} {2}} \ right) {\ text {cu}} \ varphi = \ varphi _ {0} = 0}

pentru toate timpurile

Soluțiile Soliton 1 pot fi vizualizate cu ajutorul modelului de panglică elastică Gordon-breast, așa cum au discutat Dodd și colegii săi . ^[8] Aici luăm o răsucire în sensul acelor de ceasornic ( stânga ) a panglicii elastice ca o îndoială încărcată topologic $\vartheta _{\textrm {K}}=-1$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {\ textrm {K}} = - 1}$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {\ textrm {K}} = - 1}$ . Alternativa de răsucire în sens invers acelor de ceasornic ( dreapta ) cu încărcare topologică $\vartheta _{\textrm {AK}}=+1$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {\ textrm {AK}} = + 1}$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {\ textrm {AK}} = + 1}$ va fi un anti-link.

Solitonul de frânare călătorie reprezintă propagarea răsucirii în sensul acelor de ceasornic. ^[9] ^[10]

Solitonul anti-îndoire călătorie reprezintă propagarea răsucirii în sens invers acelor de ceasornic.

2 soluții de soliton

Soluțiile multi soliton pot fi obținute prin aplicarea continuă a transformatei Bäcklund la soluția 1 soliton , așa cum este indicat de o rețea Bianchi care raportează rezultatele transformate. ^[11] Soluțiile cu 2 solitoni ai ecuației sinus-Gordon arată unele dintre cele mai cunoscute caracteristici ale solitonilor. Răsucirile și / sau antidisciplinele care se deplasează trec unul în celălalt ca și cum ar fi perfect permeabile și singurul efect observat este schimbarea de fază . Deoarece solitonii își recuperează viteza și profilul după coliziuni, acest tip de interacțiune se numește coliziune elastică .

Coliziune antikink-kink . ^[9] ^[10]

Colecția Kink-Kink

Alte soluții interesante cu 2 solitoni derivă din posibilitatea unui comportament cuplat kink-antikink cunoscut sub numele de respirator . Se cunosc trei tipuri de respirație: respirația staționară, respirația care circulă la amplitudine mare și o respirație cu amplitudine mică care călătorește. ^[12]

O respirație staționară primește o pereche de solitoni pereche-kink-antikink, oscilând în timp. ^[9] ^[10]

Respirator călător de mare lățime .

Breather de călătorie cu lățime mică - arată exotic, dar are în esență un respirator ca un plic . ^[9] ^[10]

3 soluții de soliton

Ciocnirile cu 3 solitoni între un cot de călătorie și o gură de aer staționară sau o gură de aer de călătorie și o gură de aer staționară duc la o schimbare de fază a gurii de aer staționare. În procesul de coliziune dintre un șiret în mișcare și un respirator staționar, respirația se mișcă $\Delta _{\textrm {B}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {\ textrm {B}}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {\ textrm {B}}}$ este dat de:

\Delta _{B}={\frac {2{\textrm {arctanh}}{\sqrt {\left(1-\omega ^{2}\right)\left(1-v_{\text{K}}^{2}\right)}}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}

{\ displaystyle \ Delta _ {B} = {\ frac {2 {\ textrm {arctanh}} {\ sqrt {\ left (1- \ omega ^ {2} \ right) \ left (1-v _ {\ text {K}} ^ {2} \ right)}}} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2}}}}}

{\ displaystyle \ Delta _ {B} = {\ frac {2 {\ textrm {arctanh}} {\ sqrt {\ left (1- \ omega ^ {2} \ right) \ left (1-v _ {\ text {K}} ^ {2} \ right)}}} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2}}}}}

unde este $v_{\text{K}}$ ${\ displaystyle v _ {\ text {K}}}$ ${\ displaystyle v _ {\ text {K}}}$ este viteza kink e $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este frecvența respirației. ^[12] Dacă vechea poziție a respirației staționare este $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ , după coliziune, noua poziție va fi $x_{0}+\Delta _{\text{B}}$ ${\ displaystyle x_ {0} + \ Delta _ {\ text {B}}}$ ${\ displaystyle x_ {0} + \ Delta _ {\ text {B}}}$ .

Coliziune staționară de călătorie . ^[9] ^[10]

Coliziune staționară antiderapantă de călătorie -respirator .

Ecuații conexe

Ecuația sinh-Gordon este dată de ^[13]

\varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .\,

{\ displaystyle \ varphi _ {xx} - \ varphi _ {tt} = \ sinh \ varphi. \,}

{\ displaystyle \ varphi _ {xx} - \ varphi _ {tt} = \ sinh \ varphi. \,}

Aceasta este ecuația Euler-Lagrange a Lagrangianului

{\mathcal {L}}={1 \over 2}\left(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2}\right)-\cosh \varphi .\,

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {1 \ over 2} \ left (\ varphi _ {t} ^ {2} - \ varphi _ {x} ^ {2} \ right) - \ cosh \ varphi. \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {1 \ over 2} \ left (\ varphi _ {t} ^ {2} - \ varphi _ {x} ^ {2} \ right) - \ cosh \ varphi. \,}

O altă ecuație strâns legată este ecuația eliptică sine-Gordon , dată de:

\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,\,

{\ displaystyle \ varphi _ {xx} + \ varphi _ {yy} = \ sin \ varphi, \,}

{\ displaystyle \ varphi _ {xx} + \ varphi _ {yy} = \ sin \ varphi, \,}

unde este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este acum o funcție a variabilelor spațiale x și y . Aceasta nu mai este o ecuație cu soluții de soliton, dar are multe proprietăți similare, deoarece este legată de ecuația sinus-Gordon prin continuarea analitică (sau rotația Wick ) y = i t .

Ecuația eliptică Sinh-Gordon poate fi definită în mod similar.

O generalizare este dată de teoria câmpului lui Toda. ^[14]

Versiunea cuantică

În teoria câmpului cuantic modelul sinus-Gordon conține un parametru care poate fi identificat cu constanta lui Planck . Spectrul de particule constă dintr-un soliton, un anti-soliton și un număr finit (posibil zero) de respirație. Numărul de respirație depinde de valoarea parametrului. Producția de particule multiple dispare pe coaja de masă . Amplitudinea coliziunii cu două particule în patru particule a fost verificată în mod explicit într-o aproximare cu o buclă.

Cuantificarea semiclasică a modelului sine-Gordon a fost realizată de Ludwig Faddeev și Vladimir Korepin. ^[15] Matricea cuantică exactă de împrăștiere a fost descoperită de Alexander Zamolodchikov . Acest model este S-dual cu modelul Thirring.

Într-un volum finit și pe o rază

Putem considera, de asemenea, modelul sine-Gordon într-un cerc, pe un segment de linie sau pe o rază. Este posibil să se găsească condiții limită care să păstreze integrabilitatea modelului. Pe o rază, spectrul soluției conține stări limită, precum și solitoni și respirații.

Modelul sine-Gordon supersimetric

Există, de asemenea, o extensie supersimetrică a modelului sinus-Gordon. De asemenea, este posibil să se găsească, chiar și în această extensie, condiții limită care păstrează proprietatea de integrabilitate.

Notă

^ Bour E, Théorie de la déformation des surfaces , în Journal de l'École Impériale Polytechnique , vol. 19, 1862, pp. 1-48.
^ Despre teoria deformării plastice și a înfrățirii , în Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Seriya Fizicheskaya , vol. 1, 1939, pp. 137–149.
^ ^a ^b R. Rajaraman, Solitons and Instantons: An Introduction to Solitons and Instantons in Quantum Field Theory , în North-Holland Personal Library , vol. 15, Olanda de Nord, 1989, pp. 34–45, ISBN 978-0-444-87047-6 .
^ Andrei D. Polyanin și Valentin F. Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations , Chapman & Hall / CRC Press, 2004, pp. 470–492, ISBN 978-1-58488-355-5 .
^ Terng, CL și Uhlenbeck, K., Geometry of solitons ( PDF ), în Notices of AMS , vol. 47, nr. 1, 2000, pp. 17-25.
^ (EN) Scott, AC, AD și propagarea undelor neliniare în electronică, New York, Wiley-Interscience, 1970.
^ (EN) A. Baron, F. Edwards și CJ Magee, Theory and applications of the sine-Gordon ecuație , în The Journal of the Nuovo Cimento (1971-1977), vol. 1, nr. 2, 1 aprilie 1971, pp. 227-267, DOI : 10.1007 / BF02820622 . Adus la 8 decembrie 2020 .
^ Roger K. Dodd, JC Eilbeck și JD Gibbon, Solitons and Nonlinear Wave Equations , Londra, Academic Press, 1982, ISBN 978-0-12-219122-0 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e Sistem neuronic în interiorul neuronilor: biologie moleculară și biofizică a microtubulilor neuronali , în Biomedical Reviews , vol. 15, 2004, pp. 67–75, DOI : 10.14748 / bmr.v15.103 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e Efectele solitonice ale câmpului electromagnetic local asupra microtubulilor neuronali , în NeuroQuantology , vol. 5, nr. 3, 2007, pp. 276-291, DOI : 10.14704 / nq . 2007.5.3.137 .
^ C. Rogers și WK Schief, Bäcklund și Darboux Transformations: Geometry and Modern Applications in Soliton Theory , în Cambridge Texts in Applied Mathematics , New York, Cambridge University Press , 2002, ISBN 978-0-521-01288-1 .
^ ^a ^b Miroshnichenko A, Vasiliev A, Dmitriev S. Solitons și Soliton Collisions .
^ Andrei D. Polyanin și Valentin F. Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations , ediția a doua, Boca Raton, CRC Press, 2012, p. 485 , ISBN 978-1-4200-8723-9 .
^ Xie Yuanxi și Tang, Jiashi, O metodă unificată pentru rezolvarea ecuațiilor de tip sinh-Gordon , în Il Nuovo Cimento B , vol. 121, nr. 2, februarie 2006, pp. 115–121, Bibcode : 2006NCimB.121..115X , DOI : 10.1393 / ncb / i2005-10164-6 .
^ Teoria cuantică a solitonilor , în Physics Reports , vol. 42, n. 1, 1978, pp. 1–87, Bibcode : 1978 PhR .... 42 .... 1F , DOI : 10.1016 / 0370-1573 (78) 90058-3 .

Elemente conexe

linkuri externe

Ecuația Sine-Gordon în EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice.
Ecuația Sinh- Gordon în EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice.
Ecuația Sine-Gordon în NEQwiki, enciclopedia ecuațiilor neliniare.

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[Bour1862-1] Bour E, Théorie de la déformation des surfaces , în Journal de l'École Impériale Polytechnique , vol. 19, 1862, pp. 1-48.

[FrenkelKontorova1939-2] Despre teoria deformării plastice și a înfrățirii , în Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Seriya Fizicheskaya , vol. 1, 1939, pp. 137–149.

[Rajaraman1989-3] R. Rajaraman, Solitons and Instantons: An Introduction to Solitons and Instantons in Quantum Field Theory , în North-Holland Personal Library , vol. 15, Olanda de Nord, 1989, pp. 34–45, ISBN 978-0-444-87047-6 .

[Polyanin2004-4] Andrei D. Polyanin și Valentin F. Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations , Chapman & Hall / CRC Press, 2004, pp. 470–492, ISBN 978-1-58488-355-5 .

[terng-5] Terng, CL și Uhlenbeck, K., Geometry of solitons ( PDF ), în Notices of AMS , vol. 47, nr. 1, 2000, pp. 17-25.

[6] (EN) Scott, AC, AD și propagarea undelor neliniare în electronică, New York, Wiley-Interscience, 1970.

[7] (EN) A. Baron, F. Edwards și CJ Magee, Theory and applications of the sine-Gordon ecuație , în The Journal of the Nuovo Cimento (1971-1977), vol. 1, nr. 2, 1 aprilie 1971, pp. 227-267, DOI : 10.1007 / BF02820622 . Adus la 8 decembrie 2020 .

[Dodd1982-8] Roger K. Dodd, JC Eilbeck și JD Gibbon, Solitons and Nonlinear Wave Equations , Londra, Academic Press, 1982, ISBN 978-0-12-219122-0 .

[Georgiev2004-9] Sistem neuronic în interiorul neuronilor: biologie moleculară și biofizică a microtubulilor neuronali , în Biomedical Reviews , vol. 15, 2004, pp. 67–75, DOI : 10.14748 / bmr.v15.103 .

[Georgiev2007-10] Efectele solitonice ale câmpului electromagnetic local asupra microtubulilor neuronali , în NeuroQuantology , vol. 5, nr. 3, 2007, pp. 276-291, DOI : 10.14704 / nq . 2007.5.3.137 .

[Rogers2002-11] C. Rogers și WK Schief, Bäcklund și Darboux Transformations: Geometry and Modern Applications in Soliton Theory , în Cambridge Texts in Applied Mathematics , New York, Cambridge University Press , 2002, ISBN 978-0-521-01288-1 .

[mir-12] Miroshnichenko A, Vasiliev A, Dmitriev S. Solitons și Soliton Collisions .

[13] Andrei D. Polyanin și Valentin F. Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations , ediția a doua, Boca Raton, CRC Press, 2012, p. 485 , ISBN 978-1-4200-8723-9 .

[Yuanxi-14] Xie Yuanxi și Tang, Jiashi, O metodă unificată pentru rezolvarea ecuațiilor de tip sinh-Gordon , în Il Nuovo Cimento B , vol. 121, nr. 2, februarie 2006, pp. 115–121, Bibcode : 2006NCimB.121..115X , DOI : 10.1393 / ncb / i2005-10164-6 .

[Faddeev1978-15] Teoria cuantică a solitonilor , în Physics Reports , vol. 42, n. 1, 1978, pp. 1–87, Bibcode : 1978 PhR .... 42 .... 1F , DOI : 10.1016 / 0370-1573 (78) 90058-3 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]