Covarianța Lorentz

În fizică , în special în relativitatea specială , covarianța Lorentz sau invarianța Lorentz este o caracteristică a naturii pentru care legile fizice care o guvernează sunt independente de orientarea și viteza de translație a sistemului de referință utilizat pentru a le enunța. ^[1] În special, acestea sunt invariante în ceea ce privește o transformare Lorentz .

Istorie

Transformările Lorentz au fost descoperite și publicate pentru prima dată de Joseph Larmor în 1897. ^[2] Deja cu zece ani înainte, totuși, Woldemar Voigt publicase transformări care difereau doar într-un factor Lorentz , dar care prezentau toate caracteristicile principale ale relativității restricționate , cu singurul defect de a nu forma un grup. ^[3] ^[4] ^[5] În 1905 matematicianul Henri Poincaré a numit aceste transformări în cinstea fizicianului și matematicianului olandez Hendrik Antoon Lorentz , care își publicase versiunea finală în 1904. Poincarè însuși a revizuit formalismul transformându-l în forma coerentă și complet solidă pe care o cunoaștem astăzi.

Lorentz credea în ipoteza eterului luminifer . Albert Einstein a fost cel care, adoptând transformările fizicianului olandez în formularea relativității speciale, a dat aplicației un fundament teoretic adecvat, afirmând cu primul postulat al teoriei invarianța tuturor legilor fizice din sistemele de referință inerțiale .

Definiție

Covarianța Lorentz este o proprietate fundamentală a spațiului-timp care rezultă din teoria specială a relativității . Are două semnificații distincte, dar strâns legate:

O mărime fizică se numește covariantă sau covariantă Lorentz dacă se transformă într-o reprezentare specifică a grupului Lorentz . Conform teoriei reprezentării grupului Lorentz, aceste cantități sunt alcătuite din scalari , patru vectori, quadritensori și spinori . În special, un scalar care rămâne același sub transformările Lorentz se numește invariant Lorentz .
O ecuație se numește covariantă Lorentz dacă poate fi scrisă în termeni de cantități covariante Lorentz. Proprietatea fundamentală a unor astfel de ecuații este că dau același rezultat în orice cadru de referință inerțial . Această condiție este o cerință conform principiului relativității , adică toate legile fizice (cu excepția celor referitoare la interacțiunea gravitațională ) trebuie să facă aceleași predicții pentru experimente identice care au loc în același interval spațiu-timp în două sisteme de referință inerțiale diferite.

Grupul Poincaré

Același subiect în detaliu: grupul Poincare și grupul Lorentz .

Grupul Poincarè este grupul format din izometriile spațiului-timp Minkowski , adică setul de transformări care lasă intervalul neschimbat:

ds^{2}(x,y)=(x_{0}-y_{0})^{2}-(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})^{2}-(x_{3}-y_{3})^{2}

{\ displaystyle ds ^ {2} (x, y) = (x_ {0} -y_ {0}) ^ {2} - (x_ {1} -y_ {1}) ^ {2} - (x_ {2 } -y_ {2}) ^ {2} - (x_ {3} -y_ {3}) ^ {2}}

ds ^ 2 (x, y) = (x_0 - y_0) ^ 2 - (x_1 - y_1) ^ 2 - (x_2 - y_2) ^ 2 - (x_3 - y_3) ^ 2

Este un grup Lie necompact în 10 dimensiuni. Grupul de traduceri abelian este un subgrup normal, în timp ce grupul Lorentz este un subgrup, un stabilizator cu un singur punct. Prin urmare, întregul grup Poincaré este produsul semi-direct al traducerilor și transformărilor lorentziene . Algebra Lie a grupului Poincaré satisface următoarele ecuații:

[P_{\mu },P_{\nu }]=0\qquad [P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\,\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu })

{\ displaystyle [P _ {\ mu}, P _ {\ nu}] = 0 \ qquad [P _ {\ rho}, M _ {\ mu \ nu}] = i (\, \ eta _ {\ mu \ rho} P_ {\ nu} - \ eta _ {\ nu \ rho} P _ {\ mu})}

[P _ {\ mu}, P _ {\ nu}] = 0 \ qquad [P _ {\ rho}, M _ {{\ mu \ nu}}] = i (\, \ eta _ {{\ mu \ rho}} P _ {\ nu} - \ eta _ {{\ nu \ rho}} P _ {\ mu})

[M_{\rho \sigma },M_{\mu \nu }]\,=i(\,\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })

{\ displaystyle [M _ {\ rho \ sigma}, M _ {\ mu \ nu}] \, = i (\, \ eta _ {\ mu \ rho} M _ {\ nu \ sigma} - \ eta _ {\ mu \ sigma} M _ {\ nu \ rho} - \ eta _ {\ nu \ rho} M _ {\ mu \ sigma} + \ eta _ {\ nu \ sigma} M _ {\ mu \ rho} )}}

[M _ {{\ rho \ sigma}}, M _ {{\ mu \ nu}}] \, = i (\, \ eta _ {{\ mu \ rho}} M _ {{\ nu \ sigma} } - \ age _ {{\ mu \ sigma}} M _ {{\ nu \ rho}} - \ age _ {{\ nu \ rho}} M _ {{\ mu \ sigma}} + \ age _ { {\ nu \ sigma}} M _ {{\ mu \ rho}})

unde vectorul $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este generatorul de traduceri, tensorul $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este generatorul transformărilor Lorentz și al tensorului $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ este metrica Minkowski.

Grupul Lorentz este definit ca grupul ortogonal generalizat O (1,3), adică grupul Lie pe care $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ păstrează forma pătratică : ^[6]

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\

{\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} \}

ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} \

Prin urmare, grupul Lorentz este subgrupul grupului Poincarè format din izometriile care lasă originea sistemului de referință fixă. Din acest motiv, se mai numește și grupul Lorentz omogen , în timp ce grupul Poincarè este uneori numit grup Lorentz neomogen .

Cantitățile care sunt conservate în urma transformărilor grupului Lorentz se numesc covarianți . Ecuațiile care descriu fenomenele naturale sunt covariante. ^[7]

Transformări Lorentz

Același subiect în detaliu: transformarea Lorentz .

O transformare Lorentz este o transformare liniară astfel încât, pornind de la coordonatele unui eveniment în spațiu-timp în sistemul de referință cartesian inerțial $S(t,x,y,z)$ ${\ displaystyle S (t, x, y, z)}$ $S (t, x, y, z)$ , coordonatele sunt obținute în raport cu un sistem de referință analog $S'(t',x',y',z')$ ${\ displaystyle S '(t', x ', y', z ')}$ $S '(t', x ', y', z ')$ care se mișcă uniform față de primul. Setul tuturor transformărilor Lorentz formează un grup , grupul Lorentz.

În configurație, această configurație standard presupune că ${S.}^{'}$ ${\ displaystyle S '}$ $da$ are cele trei axe spațiale paralele cu cele ale $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , că sistemul ${S.}^{'}$ ${\ displaystyle S '}$ $da$ deplasează-te cu viteză $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ de-a lungul axei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și că originile celor două sisteme de referință coincid pentru $t'=t=0$ ${\ displaystyle t '= t = 0}$ $t '= t = 0$ . În acest context, transformările Lorentz iau forma: ^[8]

{\begin{cases}t'=\gamma \left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\\x'=\gamma \left(x-vt\right)\\y'=y\\z'=z\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} t '= \ gamma \ left (t - {\ frac {v} {c ^ {2}}} x \ right) \\ x' = \ gamma \ left (x-vt \ right) \\ y '= y \\ z' = z \ end {cases}}}

\ begin {cases} t '= \ gamma \ left (t - \ frac {v} {c ^ {2}} x \ right) \\ x' = \ gamma \ left (x - vt \ right) \\ y '= y \\ z' = z \ end {cases}

unde este:

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}

\ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}}

se numește factorul Lorentz , în timp ce $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii în vid. Prezentarea celor patru vectori:

x^{\mu }={\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}

{\ displaystyle x ^ {\ mu} = {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}}}

x ^ \ mu = \ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}

cele patru ecuații de mai sus pot fi exprimate printr-o relație matricială:

x'^{\lambda }=\Lambda ^{\lambda }{}_{\mu }x^{\mu }

{\ displaystyle x '^ {\ lambda} = \ Lambda ^ {\ lambda} {} _ {\ mu} x ^ {\ mu}}

x '^ \ lambda = \ Lambda ^ \ lambda {} _ \ mu x ^ \ mu

unde este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este matricea de transformare legată de transformări într-o configurație standard lungă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

{\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {v}{c}}\gamma &0&0\\-{\frac {v}{c}}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma & - {\ frac {v} {c}} \ gamma & 0 & 0 \\ - {\ frac {v} {c}} \ gamma & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \ \ z \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ gamma & - \ frac {v} {c} \ gamma & 0 & 0 \\ - \ frac {v} {c} \ gamma & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} ct \ \ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}

Transformările $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ cu $\det(\Lambda ^{a}{}_{b})\,=+1$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda ^ {a} {} _ {b}) \, = + 1}$ $\ det (\ Lambda ^ a {} _ b) \, = + 1$ aparțin propriului grup al lui Lorentz , care este format din amplificări și rotații spațiale, în timp ce cei cu $\det(\Lambda ^{a}{}_{b})\,=-1$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda ^ {a} {} _ {b}) \, = - 1}$ $\ det (\ Lambda ^ a {} _ b) \, = - 1$ sunt numite transformări improprii Lorentz și nu formează un grup. Acestea din urmă includ reflecții spațiale și / sau temporale, astfel încât să modifice paritatea sistemului celor patru axe de referință. În programul lui Erlangen , spațiul Minkowski poate fi văzut ca geometria definită de grupul Poincarè care combină transformările Lorentz cu traduceri.

Covarianța Lorentz și simetria CPT

Simetria CPT este considerată până în prezent singura simetrie discretă exactă a naturii. Există o teoremă care își derivă conservarea pentru toate fenomenele fizice, presupunând corectitudinea legilor cuantice.

În 2002, Oscar Greenberg a demonstrat că încălcarea simetriei CPT ar implica ruperea simetriei Lorentz ^[9] , ceea ce implică faptul că orice studiu pe unul îl include și pe celălalt. În ultimii ani au fost efectuate mai multe cercetări experimentale ale unor astfel de încălcări, fără a ajunge la dovezi directe. În articolul din 2010 al lui VA Kostelecky și N. Russell intitulat „Tabelele de date pentru încălcarea Lorentz și CPT” este raportată o listă detaliată a rezultatelor acestor cercetări ^[10] .

Notă

^ Încadrarea simetriei Lorentz - CERN Courier
^ Michael N. Macrossan, A Note on Relativity Before Einstein , în Marea Britanie. Jurnalul Philos. Știință , vol. 37, 1986, pp. 232–34, DOI : 10.1093 / bjps / 37.2.232 . Adus la 27 ianuarie 2020 (arhivat din original la 29 octombrie 2013) .
^ Voigt .
^ Ricardo Heras, transformările lui Voigt și începutul revoluției relativiste , 2014
^ A. Ernst și J.-P. Hsu, Prima propunere a vitezei universale a luminii de Voigt 1887 , în Chinese Journal of Physics , vol. 39, nr. 3, 2001, pp. 211-230.
^ Jackson , p. 527 .
^ Jackson , p. 540 .
^ Jackson , p. 525 .
^ OW Greenberg, CPT Violation Implies Violation of Lorentz Invariance , în Physical Review Letters , vol. 89, 2002, p. 231602, DOI : 10.1103 / PhysRevLett.89.231602 , arΧiv : hep-ph / 0201258 .
^ VA Kostelecky și N. Russell, Tabelele de date pentru încălcarea Lorentz și CPT , 2010, arΧiv : 0801.0287v3 .

Bibliografie

( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
(EN) Artin, Emil, Geometric Algebra, New York, Wiley, 1957, ISBN 0-471-60839-4 .
( EN ) Carmeli, Moshe, Theory Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and their Applications to the Gravitational Field , McGraw-Hill, New York, 1977, ISBN 0-07-009986-3 .
( EN ) Frankel, Theodore, The Geometry of Physics (Ediția a II-a) , Cambridge, Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-53927-7 .
( EN ) Hall, GS, Symmetries and Curvature Structure in General Relativity , Singapore, World Scientific, 2004, ISBN 981-02-1051-5 .
(EN) Hatcher, Allen, Topologie algebrică, Cambridge, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-79540-0 .
( EN ) Naber, Gregory, The Geometry of Minkowski Spacetime , New York, Springer-Verlag, 1992, ISBN 0-486-43235-1 .
(EN) Needham, Tristam, Visual Complex Analysis, Oxford, Oxford University Press, 1997, ISBN 0-19-853446-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

Programul Erlangen , la 143.225.237.3 . Adus la 28 octombrie 2010 (arhivat din original la 19 iunie 2004) .
( EN ) Biografia lui Felix Christian Klein , la www-history.mcs.st-and.ac.uk .

Portalul de matematică

Portalul relativității

[1] Încadrarea simetriei Lorentz - CERN Courier

[2] Michael N. Macrossan, A Note on Relativity Before Einstein , în Marea Britanie. Jurnalul Philos. Știință , vol. 37, 1986, pp. 232–34, DOI : 10.1093 / bjps / 37.2.232 . Adus la 27 ianuarie 2020 (arhivat din original la 29 octombrie 2013) .

[3] Voigt .

[4] Ricardo Heras, transformările lui Voigt și începutul revoluției relativiste , 2014

[5] A. Ernst și J.-P. Hsu, Prima propunere a vitezei universale a luminii de Voigt 1887 , în Chinese Journal of Physics , vol. 39, nr. 3, 2001, pp. 211-230.

[6] Jackson , p. 527 .

[7] Jackson , p. 540 .

[8] Jackson , p. 525 .

[Greenberg-9] OW Greenberg, CPT Violation Implies Violation of Lorentz Invariance , în Physical Review Letters , vol. 89, 2002, p. 231602, DOI : 10.1103 / PhysRevLett.89.231602 , arΧiv : hep-ph / 0201258 .

[DataTables-10] VA Kostelecky și N. Russell, Tabelele de date pentru încălcarea Lorentz și CPT , 2010, arΧiv : 0801.0287v3 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]