Grupul Lorentz

În matematică și fizică , grupul Lorentz este un grup format din ansamblul tuturor transformărilor Lorentz . Este un subgrup al grupului Poincaré , care include și traducerile sistemului de referință. Acesta poartă numele fizicianului olandez Hendrik Lorentz .

Grupul Lorentz este fundalul în care sunt tratate toate fenomenele clasice și cuantice (în afară de cele gravitaționale).

De exemplu, următoarele legi, ecuații și teorii respectă simetria Lorentz:

Legile cinematice ale relativității speciale
Ecuațiile lui Maxwell în teoria electromagnetismului
Ecuația Dirac din teoria electronului
Modelul standard al fizicii particulelor

Grupul Lorentz exprimă simetria fundamentală a spațiului și a timpului pentru toate legile naturii . În fizica relativității generale , în cazurile care implică regiuni spațiu-timp destul de mici în care variațiile gravitaționale sunt neglijabile, legile fizice sunt invarianți Lorentz în același mod în care sunt legile relativității speciale.

Prin urmare, grupul Lorentz este extrem de important în fizică, la fel și studiul reprezentărilor sale .

Definiție

Grupul Poincaré este grupul format din izometriile spațiului Minkowski , adică setul de transformări care lasă intervalul neschimbat:

ds^{2}(x,y)=(x_{0}-y_{0})^{2}-(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})^{2}-(x_{3}-y_{3})^{2}

{\ displaystyle ds ^ {2} (x, y) = (x_ {0} -y_ {0}) ^ {2} - (x_ {1} -y_ {1}) ^ {2} - (x_ {2 } -y_ {2}) ^ {2} - (x_ {3} -y_ {3}) ^ {2}}

ds ^ 2 (x, y) = (x_0 - y_0) ^ 2 - (x_1 - y_1) ^ 2 - (x_2 - y_2) ^ 2 - (x_3 - y_3) ^ 2

Grupul Lorentz este definit ca grupul ortogonal generalizat O (1,3), adică grupul Lie pe care $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ păstrează forma pătratică : ^[1]

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\

{\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} \}

ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} \

Prin urmare, grupul Lorentz este subgrupul grupului Poincarè format din izometriile care lasă originea sistemului de referință fixă. Din acest motiv, se mai numește și grupul Lorentz omogen ^[2] , în timp ce grupul Poincarè este uneori numit grup Lorentz neomogen .

Cantitățile care sunt conservate în urma transformărilor grupului Lorentz se numesc covarianți . Ecuațiile care descriu fenomenele naturale sunt covariante. ^[3]

Transformări Lorentz

Același subiect în detaliu: transformarea Lorentz .

În configurație, această configurație standard presupune că ${S.}^{'}$ ${\ displaystyle S '}$ $da$ are cele trei axe spațiale paralele cu cele ale $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , că sistemul ${S.}^{'}$ ${\ displaystyle S '}$ $da$ deplasează-te cu viteză $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ de-a lungul axei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și că originile celor două sisteme de referință coincid pentru $t'=t=0$ ${\ displaystyle t '= t = 0}$ $t '= t = 0$ . În acest context, transformările Lorentz iau forma: ^[4]

{\begin{cases}t'=\gamma \left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\\x'=\gamma \left(x-vt\right)\\y'=y\\z'=z\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} t '= \ gamma \ left (t - {\ frac {v} {c ^ {2}}} x \ right) \\ x' = \ gamma \ left (x-vt \ right) \\ y '= y \\ z' = z \ end {cases}}}

\ begin {cases} t '= \ gamma \ left (t - \ frac {v} {c ^ {2}} x \ right) \\ x' = \ gamma \ left (x - vt \ right) \\ y '= y \\ z' = z \ end {cases}

unde este:

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}

\ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}}

se numește factorul Lorentz , în timp ce $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii în vid. Prezentarea celor patru vectori:

x^{\mu }={\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}

{\ displaystyle x ^ {\ mu} = {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}}}

x ^ \ mu = \ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}

cele patru ecuații de mai sus pot fi exprimate printr-o relație matricială:

x'^{\lambda }=\Lambda ^{\lambda }{}_{\mu }x^{\mu }

{\ displaystyle x '^ {\ lambda} = \ Lambda ^ {\ lambda} {} _ {\ mu} x ^ {\ mu}}

x '^ \ lambda = \ Lambda ^ \ lambda {} _ \ mu x ^ \ mu

unde este $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ este matricea de transformare legată de transformări într-o configurație standard lungă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

{\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {v}{c}}\gamma &0&0\\-{\frac {v}{c}}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma & - {\ frac {v} {c}} \ gamma & 0 & 0 \\ - {\ frac {v} {c}} \ gamma & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \ \ z \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ gamma & - \ frac {v} {c} \ gamma & 0 & 0 \\ - \ frac {v} {c} \ gamma & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} ct \ \ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}

Pentru $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ , după cum se arată în paragraful următor, se aplică următoarele condiții:

${\begin{cases}\det(\Lambda ^{b}{}_{b})=\pm 1\\|\Lambda ^{0}{}_{0}|\geq 1\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ det (\ Lambda ^ {b} {} _ {b}) = \ pm 1 \\ | \ Lambda ^ {0} {} _ {0} | \ geq 1 \ end {cazuri}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ det (\ Lambda ^ {b} {} _ {b}) = \ pm 1 \\ | \ Lambda ^ {0} {} _ {0} | \ geq 1 \ end {cazuri}}}$

Transformările $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ cu $\det(\Lambda ^{a}{}_{b})\,=+1$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda ^ {a} {} _ {b}) \, = + 1}$ $\ det (\ Lambda ^ a {} _ b) \, = + 1$ aparțin grupului Lorentz , care este format de amplificări (transformări între două sisteme inerțiale în mișcare relativă) și de rotații spațiale, în timp ce cele cu $\det(\Lambda ^{a}{}_{b})\,=-1$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda ^ {a} {} _ {b}) \, = - 1}$ $\ det (\ Lambda ^ a {} _ b) \, = - 1$ sunt numite transformări improprii Lorentz și nu formează un grup. Acestea din urmă includ reflecții spațiale și / sau temporale, astfel încât să modifice paritatea sistemului celor patru axe de referință. În programul lui Erlangen , spațiul Minkowski poate fi văzut ca geometria definită de grupul Poincaré care combină transformările Lorentz cu traduceri.

Structura grupului

O transformare a coordonatelor spațiu-timp $(ct,x,y,z)=(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})$ ${\ displaystyle (ct, x, y, z) = (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ ${\ displaystyle (ct, x, y, z) = (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ că lăsați intervalul neschimbat:

ds^{2}(x,y)=(x_{0}-y_{0})^{2}-(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})^{2}-(x_{3}-y_{3})^{2}

{\ displaystyle ds ^ {2} (x, y) = (x_ {0} -y_ {0}) ^ {2} - (x_ {1} -y_ {1}) ^ {2} - (x_ {2 } -y_ {2}) ^ {2} - (x_ {3} -y_ {3}) ^ {2}}

ds ^ 2 (x, y) = (x_0 - y_0) ^ 2 - (x_1 - y_1) ^ 2 - (x_2 - y_2) ^ 2 - (x_3 - y_3) ^ 2

se numește transformarea Lorentz. Prin plasare $(y_{0},y_{1},y_{2},y_{3})=(0,0,0,0)$ ${\ displaystyle (y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}) = (0,0,0,0)}$ ${\ displaystyle (y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}) = (0,0,0,0)}$ avem o transformare Lorentz care lasă forma neschimbată:

s^{2}(x,0)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}

{\ displaystyle s ^ {2} (x, 0) = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}}

{\ displaystyle s ^ {2} (x, 0) = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}}

Dacă definiți:

x^{\mu }\equiv (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{0},{\overrightarrow {x}})

{\ displaystyle x ^ {\ mu} \ equiv (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = (x_ {0}, {\ overrightarrow {x}})}

{\ displaystyle x ^ {\ mu} \ equiv (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = (x_ {0}, {\ overrightarrow {x}})}

Și:

x_{\mu }\equiv (x_{0},-x_{1},-x_{2},-x_{3})=(x_{0},-{\overrightarrow {x}})

{\ displaystyle x _ {\ mu} \ equiv (x_ {0}, - x_ {1}, - x_ {2}, - x_ {3}) = (x_ {0}, - {\ overrightarrow {x}} )}}

{\ displaystyle x _ {\ mu} \ equiv (x_ {0}, - x_ {1}, - x_ {2}, - x_ {3}) = (x_ {0}, - {\ overrightarrow {x}} )}}

avem asta $s^{2}(x,0)=x^{\mu }x_{\mu }$ ${\ displaystyle s ^ {2} (x, 0) = x ^ {\ mu} x _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle s ^ {2} (x, 0) = x ^ {\ mu} x _ {\ mu}}$ . De asemenea, este definită o matrice cu 4 rânduri și 4 coloane $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ astfel încât $x^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }x_{\nu }$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} = \ eta ^ {\ mu \ nu} x _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} = \ eta ^ {\ mu \ nu} x _ {\ nu}}$ (folosind convenția de însumare pe indici repetați: atunci când există doi indici egali într-un termen, este implicată o sumă pentru toate valorile indexului posibile, în acest caz $\mu ,\nu =0,1,2,3$ ${\ displaystyle \ mu, \ nu = 0,1,2,3}$ ${\ displaystyle \ mu, \ nu = 0,1,2,3}$ ). $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ este tensorul metric al spațiului Minkowski și deține:

\eta ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ eta = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ \\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ eta = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ \\ end {pmatrix}}}

Așa să fie atunci $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ o transformare a coordonatelor în spațiu-timp $x^{\mu }\rightarrow x'^{\mu }$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} \ rightarrow x '^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} \ rightarrow x '^ {\ mu}}$ . $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ va fi astfel încât $x^{\mu }x_{\mu }=x'^{\mu }x'_{\mu }$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} x _ {\ mu} = x '^ {\ mu} x' _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} x _ {\ mu} = x '^ {\ mu} x' _ {\ mu}}$ . $x'^{\mu }$ ${\ displaystyle x '^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle x '^ {\ mu}}$ Seamana cu $x^{\mu }$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu}}$ $x ^ {\ mu}$ din relația matricială $x'=\Lambda x$ ${\ displaystyle x '= \ Lambda x}$ ${\ displaystyle x '= \ Lambda x}$ care în componente este scris ca. $x'^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }$ ${\ displaystyle x '^ {\ mu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} x ^ {\ nu}}$ ${\ displaystyle x '^ {\ mu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} x ^ {\ nu}}$ . Tot ce rămâne este să impui că este valabil $x^{\mu }x_{\mu }=x'^{\mu }x'_{\mu }$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} x _ {\ mu} = x '^ {\ mu} x' _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} x _ {\ mu} = x '^ {\ mu} x' _ {\ mu}}$ și derivă condițiile $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ astfel încât $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ aparține grupului transformărilor Lorentz:

x^{\mu }x_{\mu }=x'^{\mu }x'_{\mu }=\underbrace {{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }} _{x'^{\mu }}\overbrace {\eta _{\mu \delta }\underbrace {{\Lambda ^{\delta }}_{\rho }\underbrace {\eta ^{\rho \sigma }x_{\sigma }} _{x^{\rho }}} _{x'^{\delta }}} ^{x'_{\mu }}={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\eta _{\mu \delta }{\Lambda ^{\delta }}_{\rho }\eta ^{\rho \sigma }x^{\nu }x_{\sigma }

{\ displaystyle x ^ {\ mu} x _ {\ mu} = x '^ {\ mu} x' _ {\ mu} = \ underbrace {{\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} x ^ {\ nu}} _ {x '^ {\ mu}} \ overbrace {\ eta _ {\ mu \ delta} \ underbrace {{\ Lambda ^ {\ delta}} _ {\ rho} \ underbrace {\ eta ^ {\ rho \ sigma} x _ {\ sigma}} _ {x ^ {\ rho}}} _ {x '^ {\ delta}}} ^ {x' _ {\ mu}} = {\ Lambda ^ { \ mu}} _ {\ nu} \ eta _ {\ mu \ delta} {\ Lambda ^ {\ delta}} _ {\ rho} \ eta ^ {\ rho \ sigma} x ^ {\ nu} x _ { \ sigma}}

{\ displaystyle x ^ {\ mu} x _ {\ mu} = x '^ {\ mu} x' _ {\ mu} = \ underbrace {{\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} x ^ {\ nu}} _ {x '^ {\ mu}} \ overbrace {\ eta _ {\ mu \ delta} \ underbrace {{\ Lambda ^ {\ delta}} _ {\ rho} \ underbrace {\ eta ^ {\ rho \ sigma} x _ {\ sigma}} _ {x ^ {\ rho}}} _ {x '^ {\ delta}}} ^ {x' _ {\ mu}} = {\ Lambda ^ { \ mu}} _ {\ nu} \ eta _ {\ mu \ delta} {\ Lambda ^ {\ delta}} _ {\ rho} \ eta ^ {\ rho \ sigma} x ^ {\ nu} x _ { \ sigma}}

Este evident că primul și ultimul termen nu vor fi aceleași pentru o alegere generică de $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ . De fapt, pentru ca egalitatea să fie verificată, este necesar să se solicite ca matricea:

${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\eta _{\mu \delta }{\Lambda ^{\delta }}_{\rho }\eta ^{\rho \sigma }$ ${\ displaystyle {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} \ eta _ {\ mu \ delta} {\ Lambda ^ {\ delta}} _ {\ rho} \ eta ^ {\ rho \ sigma}}$ ${\ displaystyle {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} \ eta _ {\ mu \ delta} {\ Lambda ^ {\ delta}} _ {\ rho} \ eta ^ {\ rho \ sigma}}$ (unde se vede că $\nu ,\sigma$ ${\ displaystyle \ nu, \ sigma}$ ${\ displaystyle \ nu, \ sigma}$ sunt indici liberi) corespunde matricei de identitate din 4D $I_{4}=\delta _{\nu \sigma }$ ${\ displaystyle I_ {4} = \ delta _ {\ nu \ sigma}}$ ${\ displaystyle I_ {4} = \ delta _ {\ nu \ sigma}}$ unde este $\delta _{\nu \sigma }$ ${\ displaystyle \ delta _ {\ nu \ sigma}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {\ nu \ sigma}}$ este Delta Kronecker . Revenind la scrierea relațiilor în formă matricială și observând că termenul ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }(\eta _{\mu \delta }{\Lambda ^{\delta }}_{\rho }\eta ^{\rho \sigma })$ ${\ displaystyle {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} (\ eta _ {\ mu \ delta} {\ Lambda ^ {\ delta}} _ {\ rho} \ eta ^ {\ rho \ sigma} )}}$ ${\ displaystyle {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} (\ eta _ {\ mu \ delta} {\ Lambda ^ {\ delta}} _ {\ rho} \ eta ^ {\ rho \ sigma} )}}$ corespunde unui produs coloană cu coloană și, prin urmare, este necesar să se ia transpunerea $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ , am notat asta $\eta ^{-1}=\eta$ ${\ displaystyle \ eta ^ {- 1} = \ eta}$ ${\ displaystyle \ eta ^ {- 1} = \ eta}$ și în acest fel starea de mai sus devine clară $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ :

\Lambda ^{tr}\eta \Lambda \eta =I_{4}\qquad \Lambda ^{tr}\eta \Lambda =\eta

{\ displaystyle \ Lambda ^ {tr} \ eta \ Lambda \ eta = I_ {4} \ qquad \ Lambda ^ {tr} \ eta \ Lambda = \ eta}

{\ displaystyle \ Lambda ^ {tr} \ eta \ Lambda \ eta = I_ {4} \ qquad \ Lambda ^ {tr} \ eta \ Lambda = \ eta}

Prin urmare, această ultimă formă oferă definiția transformării Lorentz. Reamintind regula produsului determinanților: $\det(A)\det(B)=\det(AB)$ ${\ displaystyle \ det (A) \ det (B) = \ det (AB)}$ ${\ displaystyle \ det (A) \ det (B) = \ det (AB)}$ , primim (rețineți că $\det(\Lambda ^{tr})=\det(\Lambda )$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda ^ {tr}) = \ det (\ Lambda)}$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda ^ {tr}) = \ det (\ Lambda)}$ ) din definiția $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ acea $\det(\Lambda )^{2}=1\rightarrow \det(\Lambda )=\pm 1$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda) ^ {2} = 1 \ rightarrow \ det (\ Lambda) = \ pm 1}$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda) ^ {2} = 1 \ rightarrow \ det (\ Lambda) = \ pm 1}$ . Este corect să subliniem că $\det(\Lambda )=\pm 1$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda) = \ pm 1}$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda) = \ pm 1}$ este o condiție necesară, dar nu suficientă: există matrici determinante $\pm 1$ ${\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$ care nu aparțin grupului Lorentz.

A fost apoi definit grupul transformărilor Lorentz, dar au fost verificate doar matricile $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ formează de fapt un grup. Este necesar să se verifice existența identității, inversul, asociativitatea compoziției elementelor grupului și faptul că compoziția elementelor nu îi face pe oameni să părăsească grupul. Asociativitatea este imediat verificată prin faptul că compoziția dintre elementele grupului este produsul obișnuit între matrice (care este asociativ). Identitatea grupului este $I_{4}$ ${\ displaystyle I_ {4}}$ ${\ displaystyle I_ {4}}$ care aparține grupului deoarece $\Lambda =I_{4}$ ${\ displaystyle \ Lambda = I_ {4}}$ ${\ displaystyle \ Lambda = I_ {4}}$ satisface definiția transformărilor $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ . Existența transformării inverse $\Lambda ^{-1}$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {- 1}}$ este asigurat de faptul că $\det(\Lambda )\neq 0$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda) \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda) \ neq 0}$ . Prin urmare, rămâne să verificăm dacă, dacă $\Lambda _{1},\Lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {1}, \ Lambda _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {1}, \ Lambda _ {2}}$ sunt două transformări Lorentz, de asemenea compoziția $\Lambda _{1}\Lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {1} \ Lambda _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {1} \ Lambda _ {2}}$ este în sine o transformare Lorentz. Cu alte cuvinte, este necesar să se calculeze:

(\Lambda _{1}\Lambda _{2})^{tr}\eta \Lambda _{1}\Lambda _{2}=\Lambda _{2}^{tr}\Lambda _{1}^{tr}\eta \Lambda _{1}\Lambda _{2}=\Lambda _{2}^{tr}\eta \Lambda _{2}=\eta

{\ displaystyle (\ Lambda _ {1} \ Lambda _ {2}) ^ {tr} \ eta \ Lambda _ {1} \ Lambda _ {2} = \ Lambda _ {2} ^ {tr} \ Lambda _ { 1} ^ {tr} \ eta \ Lambda _ {1} \ Lambda _ {2} = \ Lambda _ {2} ^ {tr} \ eta \ Lambda _ {2} = \ eta}

{\ displaystyle (\ Lambda _ {1} \ Lambda _ {2}) ^ {tr} \ eta \ Lambda _ {1} \ Lambda _ {2} = \ Lambda _ {2} ^ {tr} \ Lambda _ { 1} ^ {tr} \ eta \ Lambda _ {1} \ Lambda _ {2} = \ Lambda _ {2} ^ {tr} \ eta \ Lambda _ {2} = \ eta}

și de aceea se verifică că $\Lambda _{1}\Lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {1} \ Lambda _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {1} \ Lambda _ {2}}$ este încă o transformare Lorentz.

Componente ale grupei O (1,3)

Să presupunem că avem o funcție continuă care asociază anumite transformări Lorentz cu realele: $\phi :t\in [0,1]\rightarrow \Lambda (t)\in O(1,3)$ ${\ displaystyle \ phi: t \ in [0,1] \ rightarrow \ Lambda (t) \ in O (1,3)}$ ${\ displaystyle \ phi: t \ in [0,1] \ rightarrow \ Lambda (t) \ in O (1,3)}$ cu previziunea de a avea $\Lambda (0)=I_{4}$ ${\ displaystyle \ Lambda (0) = I_ {4}}$ ${\ displaystyle \ Lambda (0) = I_ {4}}$ . Vedem cum doar cu aceste instrumente nu este posibil să se ajungă la toate elementele $O(1,3)$ ${\ displaystyle O (1,3)}$ ${\ displaystyle O (1,3)}$ , adică, nu pentru toate transformările Lorentz există o cale complet conținută în cadrul grupului, astfel încât să aibă identitate ca punct de plecare și să fie continuă (și, prin urmare, cu alte cuvinte, să nu prezinte discontinuități). De fapt, se observă că $\det(\Lambda (t))=\pm 1$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda (t)) = \ pm 1}$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda (t)) = \ pm 1}$ : aceasta înseamnă că $\det(\Lambda (0))=\det(I_{4})=1$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda (0)) = \ det (I_ {4}) = 1}$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda (0)) = \ det (I_ {4}) = 1}$ și din moment ce determinantul este o formă continuă multiliniară (în termeni simpli: mici variații ale elementelor matricei produc mici variații ale determinantului), nu vom putea niciodată să inventăm o cale astfel încât $\det(\Lambda (1))=-1$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda (1)) = - 1}$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda (1)) = - 1}$ . Prin urmare, transformările Lorentz cu determinant negativ nu pot fi conectate la identitate. Acestea sunt numite transformări necorespunzătoare, spre deosebire de cele adecvate pentru care există $\det(\Lambda )=1$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda) = 1}$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda) = 1}$ . Transformările necorespunzătoare singure nu formează un grup deoarece le lipsește identitatea. Dimpotrivă, transformările Lorentz propriu-zise formează grupul $SO(1,3)$ ${\ displaystyle SO (1,3)}$ ${\ displaystyle SO (1,3)}$ unde „S” înseamnă engleză „special”, adică un determinant 1.

Atunci ia în considerare grupul $SO(1,3)$ ${\ displaystyle SO (1,3)}$ ${\ displaystyle SO (1,3)}$ Și $\Lambda \in SO(1,3)$ ${\ displaystyle \ Lambda \ în SO (1,3)}$ ${\ displaystyle \ Lambda \ în SO (1,3)}$ . Fiind $SO(1,3)$ ${\ displaystyle SO (1,3)}$ ${\ displaystyle SO (1,3)}$ un subgrup de $O(1,3)$ ${\ displaystyle O (1,3)}$ ${\ displaystyle O (1,3)}$ vei avea asta: $\Lambda ^{tr}\eta \Lambda =\eta$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {tr} \ eta \ Lambda = \ eta}$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {tr} \ eta \ Lambda = \ eta}$ . Este convenabil să rescrieți această relație în componente: ${\Lambda _{\nu }}^{\mu }\eta _{\mu \rho }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }=\eta _{\nu \sigma }$ ${\ displaystyle {\ Lambda _ {\ nu}} ^ {\ mu} \ eta _ {\ mu \ rho} {\ Lambda ^ {\ rho}} _ {\ sigma} = \ eta _ {\ nu \ sigma} }$ ${\ displaystyle {\ Lambda _ {\ nu}} ^ {\ mu} \ eta _ {\ mu \ rho} {\ Lambda ^ {\ rho}} _ {\ sigma} = \ eta _ {\ nu \ sigma} }$ . Acum calculăm explicit elementul $\nu =\sigma =0$ ${\ displaystyle \ nu = \ sigma = 0}$ ${\ displaystyle \ nu = \ sigma = 0}$ , se pare: ${\Lambda _{0}}^{\mu }\eta _{\mu \rho }{\Lambda ^{\rho }}_{0}=\eta _{00}=1$ ${\ displaystyle {\ Lambda _ {0}} ^ {\ mu} \ eta _ {\ mu \ rho} {\ Lambda ^ {\ rho}} _ {0} = \ eta _ {00} = 1}$ ${\ displaystyle {\ Lambda _ {0}} ^ {\ mu} \ eta _ {\ mu \ rho} {\ Lambda ^ {\ rho}} _ {0} = \ eta _ {00} = 1}$ . Tensorul $\eta _{\mu \rho }$ ${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ rho}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ rho}}$ este nul dacă $\mu \neq \rho$ ${\ displaystyle \ mu \ neq \ rho}$ ${\ displaystyle \ mu \ neq \ rho}$ și apoi avem (indicii sunt scrise în partea de jos pentru a nu le confunda cu exponențierea):

\Lambda _{00}^{2}-(\Lambda _{01}^{2}+\Lambda _{02}^{2}+\Lambda _{03}^{2})=1\rightarrow \Lambda _{00}^{2}=1+(\Lambda _{01}^{2}+\Lambda _{02}^{2}+\Lambda _{03}^{2})

{\ displaystyle \ Lambda _ {00} ^ {2} - (\ Lambda _ {01} ^ {2} + \ Lambda _ {02} ^ {2} + \ Lambda _ {03} ^ {2}) = 1 \ rightarrow \ Lambda _ {00} ^ {2} = 1 + (\ Lambda _ {01} ^ {2} + \ Lambda _ {02} ^ {2} + \ Lambda _ {03} ^ {2})}

{\ displaystyle \ Lambda _ {00} ^ {2} - (\ Lambda _ {01} ^ {2} + \ Lambda _ {02} ^ {2} + \ Lambda _ {03} ^ {2}) = 1 \ rightarrow \ Lambda _ {00} ^ {2} = 1 + (\ Lambda _ {01} ^ {2} + \ Lambda _ {02} ^ {2} + \ Lambda _ {03} ^ {2})}

de la care:

\Lambda _{00}=\pm {\sqrt {1+(\Lambda _{01}^{2}+\Lambda _{02}^{2}+\Lambda _{03}^{2})}}

{\ displaystyle \ Lambda _ {00} = \ pm {\ sqrt {1 + (\ Lambda _ {01} ^ {2} + \ Lambda _ {02} ^ {2} + \ Lambda _ {03} ^ {2 })}}}

{\ displaystyle \ Lambda _ {00} = \ pm {\ sqrt {1 + (\ Lambda _ {01} ^ {2} + \ Lambda _ {02} ^ {2} + \ Lambda _ {03} ^ {2 })}}}

ceea ce implică faptul că elementul $\Lambda _{00}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {00}}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {00}}$ nu poate asuma valorile incluse în interval (deschis) $(-1,1)$ ${\ displaystyle (-1,1)}$ $(-1,1)$ . Atunci nu pot exista căi continue care să conecteze identitatea (de fapt $(I_{4})_{00}=1$ ${\ displaystyle (I_ {4}) _ {00} = 1}$ ${\ displaystyle (I_ {4}) _ {00} = 1}$ ) cu transformări Lorentz pe care le au $\Lambda _{00}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {00}}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {00}}$ mai puțin decât $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ . Prin urmare $SO(1,3)$ ${\ displaystyle SO (1,3)}$ ${\ displaystyle SO (1,3)}$ nu este conectat, dar are un subgrup $SO(1,3)_{I}$ ${\ displaystyle SO (1,3) _ {I}}$ ${\ displaystyle SO (1,3) _ {I}}$ , care pe lângă faptul că are determinantul 1 este format din matrici $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ care au componentă $\Lambda _{00}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {00}}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {00}}$ mai mare sau egal cu 1. Condiția $\det(\Lambda )=1$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda) = 1}$ ${\ displaystyle \ det (\ Lambda) = 1}$ nu este suficient să se izoleze componenta conectată a grupului Lorentz.

Indicând cu ${\tilde {\Lambda }}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ Lambda}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ Lambda}}}$ un element generic al $SO(1,3)_{I}$ ${\ displaystyle SO (1,3) _ {I}}$ ${\ displaystyle SO (1,3) _ {I}}$ și definind 2 matrici după cum urmează:

{\mathcal {P}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 și -1 \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 și -1 \\\ end {pmatrix}}}

Și

{\mathcal {T}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ mathcal {T}} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {T}} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}}}

cu ${\mathcal {P}}^{2}={\mathcal {T}}^{2}=({\mathcal {PT}})^{2}=I_{4}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {2} = {\ mathcal {T}} ^ {2} = ({\ mathcal {PT}}) ^ {2} = I_ {4}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {2} = {\ mathcal {T}} ^ {2} = ({\ mathcal {PT}}) ^ {2} = I_ {4}}$ Și ${\mathcal {PT}}=-I_{4}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {PT}} = - I_ {4}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {PT}} = - I_ {4}}$ , nu este dificil de verificat, cel puțin prin forță brută, că mulțimea formată din matrici $\{I_{4},{\mathcal {P}},{\mathcal {T}},{\mathcal {PT}}\}$ ${\ displaystyle \ {I_ {4}, {\ mathcal {P}}, {\ mathcal {T}}, {\ mathcal {PT}} \}}$ ${\ displaystyle \ {I_ {4}, {\ mathcal {P}}, {\ mathcal {T}}, {\ mathcal {PT}} \}}$ formează un grup abelian numit $Z_{2}\times Z_{2}$ ${\ displaystyle Z_ {2} \ times Z_ {2}}$ ${\ displaystyle Z_ {2} \ times Z_ {2}}$ . Are asta $Z_{2}\times Z_{2}$ ${\ displaystyle Z_ {2} \ times Z_ {2}}$ ${\ displaystyle Z_ {2} \ times Z_ {2}}$ este grupul de coeficient :

{\dfrac {O(1,3)}{SO(1,3)_{I}}}=Z_{2}\times Z_{2}

{\ displaystyle {\ dfrac {O (1,3)} {SO (1,3) _ {I}}} = Z_ {2} \ times Z_ {2}}

{\ displaystyle {\ dfrac {O (1,3)} {SO (1,3) _ {I}}} = Z_ {2} \ times Z_ {2}}

Aceasta înseamnă că una generică $\Lambda \in O(1,3)$ ${\ displaystyle \ Lambda \ în O (1,3)}$ ${\ displaystyle \ Lambda \ în O (1,3)}$ poate fi descompus în unul din cele patru moduri:

\Lambda ={\begin{cases}{\tilde {\Lambda }}\\{\mathcal {P}}{\tilde {\Lambda }}\\{\mathcal {T}}{\tilde {\Lambda }}\\({\mathcal {PT}}){\tilde {\Lambda }}\end{cases}}

{\ displaystyle \ Lambda = {\ begin {cases} {\ tilde {\ Lambda}} \\ {\ mathcal {P}} {\ tilde {\ Lambda}} \\ {\ mathcal {T}} {\ tilde { \ Lambda}} \\ ({\ mathcal {PT}}) {\ tilde {\ Lambda}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ Lambda = {\ begin {cases} {\ tilde {\ Lambda}} \\ {\ mathcal {P}} {\ tilde {\ Lambda}} \\ {\ mathcal {T}} {\ tilde { \ Lambda}} \\ ({\ mathcal {PT}}) {\ tilde {\ Lambda}} \ end {cases}}}

Transformările lorentz care păstrează linia cronologică sunt denumite ortocrone. Transformările cuprinse în $SO(1,3)_{I}$ ${\ displaystyle SO (1,3) _ {I}}$ ${\ displaystyle SO (1,3) _ {I}}$ Prin urmare, sunt ortocron.

Algebra lui O (1,3)

Algebra unui grup de matrice Lie este spațiul vectorial al matricilor $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât $e^{tX}\in G$ ${\ displaystyle e ^ {tX} \ în G}$ ${\ displaystyle e ^ {tX} \ în G}$ pentru fiecare $t\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ . Pentru a găsi, prin urmare, o bază pentru algebra grupului Lorentz, este necesar $\Lambda (t)=e^{tX}\in O(1,3)$ ${\ displaystyle \ Lambda (t) = e ^ {tX} \ în O (1,3)}$ ${\ displaystyle \ Lambda (t) = e ^ {tX} \ în O (1,3)}$ pentru fiecare $t\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ . Definiția transformării Lorentz este scrisă după cum urmează:

\Lambda ^{tr}\eta \Lambda =\eta \rightarrow \eta \Lambda ^{tr}\eta =\Lambda ^{-1}

{\ displaystyle \ Lambda ^ {tr} \ eta \ Lambda = \ eta \ rightarrow \ eta \ Lambda ^ {tr} \ eta = \ Lambda ^ {- 1}}

{\ displaystyle \ Lambda ^ {tr} \ eta \ Lambda = \ eta \ rightarrow \ eta \ Lambda ^ {tr} \ eta = \ Lambda ^ {- 1}}

prin urmare, dacă $\Lambda (t)\in O(1,3)$ ${\ displaystyle \ Lambda (t) \ în O (1,3)}$ ${\ displaystyle \ Lambda (t) \ în O (1,3)}$ pentru fiecare $t\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ , avem:

\eta (e^{tX})^{tr}\eta =(e^{tX})^{-1}\qquad e^{t\eta X^{tr}\eta }=e^{-tX}

{\ displaystyle \ eta (e ^ {tX}) ^ {tr} \ eta = (e ^ {tX}) ^ {- 1} \ qquad e ^ {t \ eta X ^ {tr} \ eta} = e ^ {-tX}}

{\ displaystyle \ eta (e ^ {tX}) ^ {tr} \ eta = (e ^ {tX}) ^ {- 1} \ qquad e ^ {t \ eta X ^ {tr} \ eta} = e ^ {-tX}}

Din care este clar ce stare este suficientă $\eta X^{tr}\eta =-X$ ${\ displaystyle \ eta X ^ {tr} \ eta = -X}$ ${\ displaystyle \ eta X ^ {tr} \ eta = -X}$ , dar este necesar și pentru că se presupune că este adevărat pentru fiecare valoare a variabilei $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , apoi diferențierea în 0 ajungem la aceeași relație. Cu această condiție activată $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , $e^{tX}=\Lambda (t)$ ${\ displaystyle e ^ {tX} = \ Lambda (t)}$ ${\ displaystyle e ^ {tX} = \ Lambda (t)}$ este o cale continuă conectată la identitatea cuprinsă în întregime în grupul Lorentz. În special, atunci, $\Lambda (t)\in SO(1,3)_{I}$ ${\ displaystyle \ Lambda (t) \ în SO (1,3) _ {I}}$ ${\ displaystyle \ Lambda (t) \ în SO (1,3) _ {I}}$ pentru toate elementele algebrei Lorentz. Din relația care definește $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ scris în componente:

\eta _{\sigma \rho }X_{\mu \rho }\eta _{\mu \nu }=-X_{\sigma \nu }

{\ displaystyle \ eta _ {\ sigma \ rho} X _ {\ mu \ rho} \ eta _ {\ mu \ nu} = - X _ {\ sigma \ nu}}

{\ displaystyle \ eta _ {\ sigma \ rho} X _ {\ mu \ rho} \ eta _ {\ mu \ nu} = - X _ {\ sigma \ nu}}

Observăm că matricea $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ are elementele pe diagonală $(\sigma =\nu )$ ${\ displaystyle (\ sigma = \ nu)}$ ${\ displaystyle (\ sigma = \ nu)}$ nul; de asemenea, pentru elementele cu $\sigma ,\nu$ ${\ displaystyle \ sigma, \ nu}$ ${\ displaystyle \ sigma, \ nu}$ ambele mai mari sau egale cu 1 avem asta $X_{\sigma \nu }=-X_{\sigma \nu }$ ${\ displaystyle X _ {\ sigma \ nu} = - X _ {\ sigma \ nu}}$ ${\ displaystyle X _ {\ sigma \ nu} = - X _ {\ sigma \ nu}}$ , în timp ce pentru elementele de pe primul rând sau de pe prima coloană se întâmplă că $X_{\sigma \nu }=X_{\sigma \nu }$ ${\ displaystyle X _ {\ sigma \ nu} = X _ {\ sigma \ nu}}$ ${\ displaystyle X _ {\ sigma \ nu} = X _ {\ sigma \ nu}}$ . O bază pentru acest tip de matrice este:

J_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\qquad J_{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{pmatrix}}\qquad J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle J_ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ \\ end {pmatrix}} \ qquad J_ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} \ qquad J_ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\\ end {pmatrix}}

{\ displaystyle J_ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ \\ end {pmatrix}} \ qquad J_ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} \ qquad J_ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\\ end {pmatrix}}

K_{1}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\qquad K_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\qquad K_{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle K_ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ end {pmatrix}} \ qquad K_ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ \ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} \ qquad K_ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ \ 1 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle K_ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ end {pmatrix}} \ qquad K_ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ \ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} \ qquad K_ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ \ 1 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}}}

Și au loc următoarele relații de comutare:

[J_{i},J_{j}]=\epsilon _{ijk}J_{k}\qquad [K_{i},K_{j}]=\epsilon _{ijk}J_{k}\qquad [J_{i},K_{j}]=-\epsilon _{ijk}K_{k}

{\ displaystyle [J_ {i}, J_ {j}] = \ epsilon _ {ijk} J_ {k} \ qquad [K_ {i}, K_ {j}] = \ epsilon _ {ijk} J_ {k} \ qquad [J_ {i}, K_ {j}] = - \ epsilon _ {ijk} K_ {k}}

{\ displaystyle [J_ {i}, J_ {j}] = \ epsilon _ {ijk} J_ {k} \ qquad [K_ {i}, K_ {j}] = \ epsilon _ {ijk} J_ {k} \ qquad [J_ {i}, K_ {j}] = - \ epsilon _ {ijk} K_ {k}}

unde este $\epsilon _{ijk}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}$ este simbolul Levi-Civita . Observăm că matricile $K_{i}$ ${\ displaystyle K_ {i}}$ $K_ {i}$ nu formează o algebră închisă pentru operație $[\cdot ,\cdot ]$ ${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]}$ ${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]}$ .

Notă

^ Jackson , pagina 527 .
^ SilvanS. Schweber, An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory , Row, Peterson and Company, 1961, p. 38 .
^ Jackson , p. 540
^ Jackson , pagina 525 .

Bibliografie

( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
Artin, Emil, Geometric Algebra , New York, Wiley, 1957, ISBN 0-471-60839-4 . Vezi Capitolul III pentru grupurile ortogonale O (p, q).
( EN ) Carmeli, Moshe, Theory Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and their Applications to the Gravitational Field , McGraw-Hill, New York, 1977, ISBN 0-07-009986-3 . O referință canonică; vezi capitolele 1-6 pentru reprezentări ale grupului Lorentz.
( EN ) Frankel, Theodore, The Geometry of Physics (Ediția a II-a) , Cambridge, Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-53927-7 . O resursă excelentă pentru teoria Lie, pachete de fibre, acoperiri spinoriale și multe alte subiecte.
( EN ) Hall, GS, Symmetries and Curvature Structure in General Relativity , Singapore, World Scientific, 2004, ISBN 981-02-1051-5 . Vezi Capitolul 6 pentru subalgebrele algebrei Lie a grupului Lorentz.
(EN) Hatcher, Allen, Topologie algebrică, Cambridge, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-79540-0 . Vezi și versiunea online , la math.cornell.edu . Adus pe 3 iulie . Vezi Secțiunea 1.3 pentru o discuție frumos ilustrată despre acoperirea spațiilor. A se vedea secțiunea 3D pentru topologia grupurilor de rotație.
( EN ) Naber, Gregory, The Geometry of Minkowski Spacetime , New York, Springer-Verlag, 1992, ISBN 0-486-43235-1 , (ediția de reeditare Dover). O referință excelentă despre spațiu-timp Minkowski și grupul Lorentz.
(EN) Needham, Tristam, Visual Complex Analysis, Oxford, Oxford University Press, 1997, ISBN 0-19-853446-9 . Vezi Capitolul 3 pentru o discuție superb ilustrată despre transformările lui Möbius.

Elemente conexe

Portalul relativității : accesați intrările Wikipedia referitoare la relativitate

[1] Jackson , pagina 527 .

[2] SilvanS. Schweber, An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory , Row, Peterson and Company, 1961, p. 38 .

[3] Jackson , p. 540

[4] Jackson , pagina 525 .

[1]

[2]

[3]

[4]