Grupul Poincaré

În fizică și matematică , grupul Poincaré este grupul de izometrie spațiu-timp Minkowski . Este produsul semidirect al traducerilor și transformărilor Lorentz și este un grup Lie non- compact în 10 dimensiuni. Algebra Poincaré este algebra Lie a grupului Poincaré. Acest grup poartă numele lui Henri Poincaré .

Grupul de traduceri abelian este un subgrup normal al acestuia , în timp ce grupul Lorentz este un subgrup, un stabilizator al unui punct.

Grupul Poincaré poate fi definit și ca un grup de extensie al grupului Lorentz determinat de reprezentarea sa vectorială. Reprezentările sale de energie pozitivă unitară sunt indicate prin masă (număr non-negativ) și rotire (întreg sau jumătate) și, în mecanica cuantică, sunt asociate cu particule.

Conform programului lui Erlangen , geometria spațiului Minkowski este definită de acțiunea grupului Poincaré: spațiul Minkowski este considerat, pentru grup, ca un spațiu omogen .

Definiție

Grupul Poincaré este Minkowski spațiu - timp izometrie grup . Este un grup Lie necompact în 10 dimensiuni și este un subgrup minim al grupului de transformări afine inversabile dintr-un spațiu în sine. Mai exact, grupul Poincaré este un produs semi-direct al traducerilor și al grupului Lorentz (grupul transformărilor Lorentz ):

\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes O(1,3)

{\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {1,3} \ rtimes O (1,3)}

{\ mathbf {R}} ^ {{1,3}} \ rtimes O (1,3)

Algebra Poincaré este algebra Lie a grupului Poincaré și este dată de relațiile de comutare :

[P_{\mu },P_{\nu }]\,=\,0\qquad [P_{\rho },M_{\mu \nu }]\,=i(\,\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu })

{\ displaystyle [P _ {\ mu}, P _ {\ nu}] \, = \, 0 \ qquad [P _ {\ rho}, M _ {\ mu \ nu}] \, = i (\, \ eta _ {\ mu \ rho} P _ {\ nu} - \ eta _ {\ nu \ rho} P _ {\ mu})}

[P _ {\ mu}, P _ {\ nu}] \, = \, 0 \ qquad [P _ {\ rho}, M _ {{\ mu \ nu}}] \, = i (\, \ eta _ {{\ mu \ rho}} P _ {\ nu} - \ age _ {{\ nu \ rho}} P _ {\ mu})

[M_{\rho \sigma },M_{\mu \nu }]\,=i(\,\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })

{\ displaystyle [M _ {\ rho \ sigma}, M _ {\ mu \ nu}] \, = i (\, \ eta _ {\ mu \ rho} M _ {\ nu \ sigma} - \ eta _ {\ mu \ sigma} M _ {\ nu \ rho} - \ eta _ {\ nu \ rho} M _ {\ mu \ sigma} + \ eta _ {\ nu \ sigma} M _ {\ mu \ rho} )}}

[M _ {{\ rho \ sigma}}, M _ {{\ mu \ nu}}] \, = i (\, \ eta _ {{\ mu \ rho}} M _ {{\ nu \ sigma} } - \ age _ {{\ mu \ sigma}} M _ {{\ nu \ rho}} - \ age _ {{\ nu \ rho}} M _ {{\ mu \ sigma}} + \ age _ { {\ nu \ sigma}} M _ {{\ mu \ rho}})

unde vectorul $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este generatorul de traduceri, tensorul $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este generatorul transformărilor Lorentz și al tensorului $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ este metrica Minkowski.

Bibliografie

Emil Artin, Geometric Algebra , New York, Wiley, 1957, ISBN 0-471-60839-4 . Vezi Capitolul III pentru grupurile ortogonale O (p, q).
Moshe Carmeli, Teoria grupului și relativitatea generală, reprezentări ale grupului Lorentz și aplicațiile lor în câmpul gravitațional , McGraw-Hill, New York, 1977, ISBN 0-07-009986-3 . O referință canonică; vezi capitolele 1-6 pentru reprezentări ale grupului Lorentz.
Theodore Frankel, Geometria fizicii (Ediția a II-a) , Cambridge, Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-53927-7 . O resursă excelentă pentru teoria Lie, pachete de fibre, acoperiri spinoriale și multe alte subiecte.
GS Hall, Symmetries and Curvature Structure in General Relativity , Singapore, World Scientific, 2004, ISBN 981-02-1051-5 . Vezi Capitolul 6 pentru subalgebrele algebrei Lie a grupului Lorentz.
Allen Hatcher, Topologie algebrică , Cambridge, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-79540-0 . Vezi și versiunea online , la math.cornell.edu . Adus pe 3 iulie . Vezi Secțiunea 1.3 pentru o discuție frumos ilustrată despre acoperirea spațiilor. A se vedea secțiunea 3D pentru topologia grupurilor de rotație.
Gregory Naber, The Geometry of Minkowski Spacetime , New York, Springer-Verlag, 1992, ISBN 0-486-43235-1 , (ediția de reeditare Dover). O referință excelentă despre spațiu-timp Minkowski și grupul Lorentz.
Tristam Needham, Visual Complex Analysis , Oxford, Oxford University Press, 1997, ISBN 0-19-853446-9 . Vezi Capitolul 3 pentru o discuție superb ilustrată despre transformările lui Möbius.

Elemente conexe

linkuri externe

Programul Erlangen , la 143.225.237.3 . Adus la 9 august 2005 (arhivat din original la 19 iunie 2004) .
( EN ) Biografia lui Felix Christian Klein , la www-history.mcs.st-and.ac.uk .

Portalul de matematică

Portalul relativității