Transformare afină

Franța și imaginea ei după o transformare similară. Liniile grilei rămân drepte și paralele între ele, dar unghiurile și lungimile se schimbă.

În geometrie , o transformare afină a spațiului euclidian este definită ca orice compoziție a unei transformări liniare $\mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ $\ mathbf {L}$ cu o traducere ; în simboluri, transformarea afină mai generală poate fi scrisă ca

A=T_{\mathbf {b} }\circ L

{\ displaystyle A = T _ {\ mathbf {b}} \ circ L}

{\ displaystyle A = T _ {\ mathbf {b}} \ circ L}

unde este $L:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle L: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle L: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ este o transformare liniară e $T_{\mathbf {b} }:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle T _ {\ mathbf {b}}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle T _ {\ mathbf {b}}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ este o traducere; în mod explicit, acțiunea de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este dat de

\mathbf {x} \mapsto \mathbf {L} \cdot \mathbf {x} +\mathbf {b} \

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ mapsto \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {x} + \ mathbf {b} \}

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ mapsto \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {x} + \ mathbf {b} \}

,

unde este $\mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ $\ mathbf {L}$ este matricea pătrată pe care o reprezintă $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ vectorul care determină traducerea.

Transformările afine sunt cele mai generale transformări care păstrează subspatiile afine . Dintre acestea, afinitățile joacă un rol important: acestea sunt transformările afine ale unui spațiu în sine, care sunt, de asemenea, o corespondență unu-la-unu.

Exemple de afinitate sunt rotațiile , homotetica , translațiile , rototraduțiile , reflexiile . Afinitățile nu sunt neapărat izometrii , adică nu păstrează unghiuri și distanțe, în timp ce mențin întotdeauna paralelismul între linii.

Definiție

În spațiul euclidian

O transformare a rudelor

f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}

{\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}

{\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}

între două spații euclidiene este o transformare de tip

x\mapsto Ax+b

{\ displaystyle x \ mapsto Ax + b}

{\ displaystyle x \ mapsto Ax + b}

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este un vector al $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ R ^ m$ fix și se utilizează produsul dintre o matrice și un vector .

Într-un spațiu vectorial

O transformare afină între două spații vectoriale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ mai generală este compoziția unei transformări liniare

f:V\to W

{\ displaystyle f: V \ to W}

f: V \ to W

cu o traducere

t:w\mapsto w+b

{\ displaystyle t: w \ mapsto w + b}

{\ displaystyle t: w \ mapsto w + b}

determinat de un vector fix $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ din $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ .

Într-un spațiu similar

O transformare afină între două spații afine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și ${LA}^{'}$ ${\ displaystyle A '}$ $LA'$ este o funcție

f:A\to A'

{\ displaystyle f: A \ to A '}

{\ displaystyle f: A \ to A '}

pentru care există o funcție liniară

\phi :V\to V'

{\ displaystyle \ phi: V \ to V '}

{\ displaystyle \ phi: V \ to V '}

între cele două spații vectoriale asociate cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și ${LA}^{'}$ ${\ displaystyle A '}$ $LA'$ astfel încât

{\overrightarrow {f(P)f(Q)}}=\phi ({\overrightarrow {PQ}}).

{\ displaystyle {\ overrightarrow {f (P) f (Q)}} = \ phi ({\ overrightarrow {PQ}}).}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {f (P) f (Q)}} = \ phi ({\ overrightarrow {PQ}}).}

Legături între definiții

Fiecare definiție o generalizează pe cea anterioară: ultima definiție este deci cea mai generală și nu depinde de o referință afină fixă. Pe de altă parte, setați două referințe pentru spații afine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și ${LA}^{'}$ ${\ displaystyle A '}$ $LA'$ , o transformare afină este oricât de exprimabilă ca

x\mapsto Ax+b

{\ displaystyle x \ mapsto Ax + b}

{\ displaystyle x \ mapsto Ax + b}

ca în prima definiție.

Afinitate

O afinitate este o bijectivă afină de transformare în care domeniul și codomainul coincid.

Unii autori, în definiția transformării afine, necesită ca aceasta să fie injectivă .

Exemple

Transformări liniare

În notație

x\mapsto Ax+b

{\ displaystyle x \ mapsto Ax + b}

{\ displaystyle x \ mapsto Ax + b}

Vectorul $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ corespunde imaginii sursei

0\mapsto A0+b=b.

{\ displaystyle 0 \ mapsto A0 + b = b.}

{\ displaystyle 0 \ mapsto A0 + b = b.}

O transformare liniară este o transformare afină care nu schimbă originea: cu alte cuvinte, o transformare afină cu $b=0$ ${\ displaystyle b = 0}$ $b = 0$ .

Există multe asemănări între transformările liniare, cum ar fi rotațiile în jurul originii și reflexiile cu privire la subspatiile care trec prin origine. De exemplu, rotația unghiului $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ în plan cartezian este de tipul

{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} \ mapsto {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} \ mapsto {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}.}

Traduceri

Pe de altă parte, o afinitate unde $A=I$ ${\ displaystyle A = I}$ ${\ displaystyle A = I}$ este matricea de identitate este o traducere

x\mapsto I\cdot x+b=x+b.

{\ displaystyle x \ mapsto I \ cdot x + b = x + b.}

{\ displaystyle x \ mapsto I \ cdot x + b = x + b.}

O traducere, spre deosebire de o transformare liniară, nu are niciodată un punct fix .

Compoziții

Fiecare afinitate este compoziția unei transformări liniare și a unei traduceri. Un exemplu în acest sens este rototranslarea în spațiu tridimensional, obținută prin compunerea rotației unui unghi $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ de-a lungul unei axe cu o translație a înălțimii $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ de-a lungul aceluiași. De exemplu, dacă axa este cea a $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ roto-traducerea are forma

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\0\\t\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \ mapsto {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta & 0 \\\ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ t \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \ mapsto {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta & 0 \\\ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ t \ end {bmatrix}}.}

Reprezentarea matricei

O afinitate

x\mapsto Ax+b

{\ displaystyle x \ mapsto Ax + b}

{\ displaystyle x \ mapsto Ax + b}

este determinată de o matrice pătrată $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și un vector $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Pentru a folosi instrumentele algebrei liniare, este totuși util să reprezentați o afinitate cu o singură matrice: pentru a face acest lucru, adăugați o valoare fictivă „1” în partea de jos a vectorului $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ iar transformarea este reprezentată în felul următor

{\begin{bmatrix}x\\1\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}A&b\ \\0,\ldots ,0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Ax+b\\1\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ 1 \ end {bmatrix}} \ mapsto {\ begin {bmatrix} A & b \ \\ 0, \ ldots, 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} Ax + b \\ 1 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ 1 \ end {bmatrix}} \ mapsto {\ begin {bmatrix} A & b \ \\ 0, \ ldots, 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} Ax + b \\ 1 \ end {bmatrix}}}

Prin urmare, matricea asociată cu afinitatea cu aceste notații este

{\begin{bmatrix}A&b\ \\0,\ldots ,0&1\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A & b \ \\ 0, \ ldots, 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A & b \ \\ 0, \ ldots, 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}

În acest fel, compoziția a două transformări afine este reprezentată de produsul celor două matrice corespunzătoare. Transformarea identității este reprezentată de matricea identității .

Pentru a fi inversabil, determinantul $\det A$ ${\ displaystyle \ det A}$ $\ det A$ trebuie să fie diferită de zero. Matricea inversă , care reprezintă transformarea inversă, este următoarea

{\begin{bmatrix}A^{-1}&-A^{-1}b\ \\0,\ldots ,0&1\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A ^ {- 1} & - A ^ {- 1} b \ \\ 0, \ ldots, 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A ^ {- 1} & - A ^ {- 1} b \ \\ 0, \ ldots, 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}

Cu această notație, transformările afine ale $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ se dovedește a fi un subgrup al grupului liniar general

\operatorname {GL} _{n+1}(K)

{\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n + 1} (K)}

{\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n + 1} (K)}

a matricilor inversabile $(n+1)\times (n+1)$ ${\ displaystyle (n + 1) \ times (n + 1)}$ ${\ displaystyle (n + 1) \ times (n + 1)}$ la coeficienți în domeniu $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Proprietate

Puncte fixe

O afinitate este reprezentată de o matrice pătrată $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu are 1 printre valorile proprii , afinitatea are întotdeauna un punct fix . Într-adevăr, ecuația $Ax+b=x$ ${\ displaystyle Ax + b = x}$ ${\ displaystyle Ax + b = x}$ poate fi rescris ca:

(A-I)x=b.

{\ displaystyle (AI) x = b.}

{\ displaystyle (A-I) x = b.}

Deoarece 1 nu este o valoare proprie a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , nucleul $(A-I)$ ${\ displaystyle (AI)}$ ${\ displaystyle (A-I)}$ are dimensiune zero și deci $(A-I)$ ${\ displaystyle (AI)}$ ${\ displaystyle (A-I)}$ este surjectiv , adică matricea $(A-I)$ ${\ displaystyle (AI)}$ ${\ displaystyle (A-I)}$ este inversabil și există un $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care satisface ecuația. Aceasta este dată de:

x=(A-I)^{-1}b.

{\ displaystyle x = (AI) ^ {- 1} b.}

{\ displaystyle x = (A-I) ^ {- 1} b.}

Traducerile nu au puncte fixe: de fapt pentru acestea $A=I$ ${\ displaystyle A = I}$ ${\ displaystyle A = I}$ are valoarea proprie 1.

Puncte și linii unite

Având în vedere afinitatea $f:A\to A$ ${\ displaystyle f: A \ to A}$ ${\ displaystyle f: A \ to A}$ se spune că fiecare punct este un punct unit $P\in A$ ${\ displaystyle P \ în A}$ ${\ displaystyle P \ în A}$ astfel încât $f(P)=P$ ${\ displaystyle f (P) = P}$ ${\ displaystyle f (P) = P}$ și linia a unit fiecare linie $r\subseteq A$ ${\ displaystyle r \ subseteq A}$ ${\ displaystyle r \ subseteq A}$ astfel încât $f(r)=r$ ${\ displaystyle f (r) = r}$ ${\ displaystyle f (r) = r}$ .

Independență afină

O afinitate a unui spațiu similar $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ trimite independente afine puncte la puncte independente afine.

Dacă spațiul afin are dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și

\{P_{0},\ldots ,P_{n}\},\quad \{Q_{0},\ldots ,Q_{n}\}

{\ displaystyle \ {P_ {0}, \ ldots, P_ {n} \}, \ quad \ {Q_ {0}, \ ldots, Q_ {n} \}}

{\ displaystyle \ {P_ {0}, \ ldots, P_ {n} \}, \ quad \ {Q_ {0}, \ ldots, Q_ {n} \}}

sunt două seturi de $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ puncte similare independente, există o singură afinitate $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care îi trimite pe primul în acesta din urmă, adică astfel încât $f(P_{i})=Q_{i}$ ${\ displaystyle f (P_ {i}) = Q_ {i}}$ ${\ displaystyle f (P_ {i}) = Q_ {i}}$ pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ .

Bibliografie

( EN ) RW Sharpe, Geometrie diferențială: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program , New York, Springer, 1997, ISBN 0-387-94732-9 .
(EN) HSM Coxeter, Introducere în geometrie, Wiley (1961)
(EN) BE Meserve, Concepte fundamentale de geometrie, Addison-Wesley

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre transformarea afină

linkuri externe

( EN ) AS Parkhomenko, Transformare afină , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Transformare afină în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Exemplu de transformare afină , la haberdar.org , Hakan Haberdar, Universitatea din Houston. Adus în martie 2012 (arhivat din original la 31 iulie 2012) .
( EN ) Operațiuni geometrice: Transformare afină , R. Fisher, S. Perkins, A. Walker și E. Wolfart.
( EN ) Transformare afină de Bernard Vuilleumier, Wolfram Demonstrations Project .
(EN) Transformare afină pe PlanetMath pe planetmath.org.
( EN ) Software-ul gratuit de transformare afină , pe uavmapping.com . Adus la 1 iulie 2013 (arhivat din original la 10 mai 2013) .

Controlul autorității	GND ( DE ) 4141560-7

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică