Omotomie

În matematică , în special în geometrie , o omotitudine (compusă din termenii greci omos , „similar” și tìthemi , „eu pozez ”) este o transformare geometrică particulară a planului sau a spațiului , care extinde sau contractă obiecte, păstrând unghiurile neschimbate care este forma (în sensul intuitiv al termenului).

Utilizarea acestui termen este relativ nouă, apărând pentru prima dată cu Michel Chasles în 1827 .

Definiție

Exemplu grafic: omotitatea centrului

LA

{\ displaystyle A}

LA

și relație

\scriptstyle -{1 \over 2}.

{\ displaystyle \ scriptstyle - {1 \ peste 2}.}

{\ displaystyle \ scriptstyle - {1 \ peste 2}.}

Corespondența homotetică între două proiecții coplanare ale unei secțiuni a unui con cvadric efectuat cu un plan paralel cu planul de proiecție.

O omotitate a centrului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o transformare a spațiului euclidian care „dilată” distanțele față de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ a tuturor punctelor în funcție de un factor $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , lăsând neschimbate liniile care trec prin ele $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ că din acest motiv spun că sunt uniți . Cu alte cuvinte, orice punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ spațiul este mutat în raza de ieșire din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și trecând prin $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , astfel încât distanța sa de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ schimbați în funcție de un factor constant $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ pozitiv. Singurul punct care corespunde lui însuși și care, prin urmare, este numit unit este punctul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Ideea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este centrul, în timp ce $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este raportul de omotitate. Această transformare geometrică este numită și cu termeni mai cunoscuți:

dilatare, dacă $|c|>1;$ ${\ displaystyle | c |> 1;}$ ${\ displaystyle | c |> 1;}$
contracție, dacă $0<|c|<1;$ ${\ displaystyle 0 <| c | <1;}$ ${\ displaystyle 0 <| c | <1;}$
de sine $c=1$ ${\ displaystyle c = 1}$ $c = 1$ identitatea se obține în mod evident, adică transformarea în care fiecare punct îi corespunde.

Homotetia este o asemănare specială.

Coeficient negativ

Putem extinde definiția la cazul în care $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este negativ: în acest caz punctul $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este mutat în punctul razei opus razei $LA P.$ ${\ displaystyle AP}$ ${\ displaystyle AP}$ și având ca distanță de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cel al $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ înmulțit cu $|c|$ ${\ displaystyle | c |}$ ${\ displaystyle | c |}$ . Prin urmare, observăm că o multitudine de factori $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ este simetria centrală a punctului central $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sau rotație centrală $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ egal cu un unghi plat.

Prin intermediul vectorilor , omotitatea centrului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și relație $c\neq 0$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$ este mai corect definit ca transformarea geometrică pe care o poartă fiecare punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ într-un singur punct ${P.}^{'}$ ${\ displaystyle P '}$ $P '$ soluția ecuației vectoriale:

{\overrightarrow {AP'}}=c\cdot {\overrightarrow {AP}}.

{\ displaystyle {\ overrightarrow {AP '}} = c \ cdot {\ overrightarrow {AP}}.}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {AP '}} = c \ cdot {\ overrightarrow {AP}}.}

De foarte multe ori se spune că omotitatea este directă sau inversă în funcție de relația corespunzătoare este pozitivă sau negativă. Dar este întotdeauna direct.

Proprietate

O omotime, pe lângă multiplicarea tuturor distanțelor cu $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , înmulțiți toate zonele cu $c^{2}$ ${\ displaystyle c ^ {2}}$ $c ^ {2}$ , toate volumele pentru $c^{3}$ ${\ displaystyle c ^ {3}}$ ${\ displaystyle c ^ {3}}$ , etc.

Algebră liniară

O homotie este o transformare afină , definită într-un spațiu euclidian de orice dimensiune .

Dacă centrul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ homotezia coincide cu originea spațiului, atunci omotia este o transformare liniară , a cărei matrice asociată cu orice bază este dată de matricea identității înmulțită cu factorul $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , adică din matricea diagonală având toate elementele diagonalei principale egale cu $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ .