Reflecție (geometrie)

Reflecție în plan de-a lungul unei linii verticale.

În matematică și mai precis în geometrie, o reflecție este o transformare a liniei , planului sau spațiului care „oglindește” toate punctele față de (respectiv) un punct , o linie sau un plan (respectiv numit centru , axă sau reflexie avion ).

Definiție

Fie π un hiperplan într-un spațiu euclidian de dimensiune n care trece prin origine. Cu alte cuvinte, π este un subspatiu vectorial de dimensiunea n - 1.

O reflecție cu privire la π este transformarea liniară dată de

\mathrm {Ref} _{a}({\vec {v}})={\vec {v}}-2{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {a}}}{{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}{\vec {a}}

{\ displaystyle \ mathrm {Ref} _ {a} ({\ vec {v}}) = {\ vec {v}} - 2 {\ frac {{\ vec {v}} \ cdot {\ vec {a} }} {{\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}}}} {\ vec {a}}}

{\ displaystyle \ mathrm {Ref} _ {a} ({\ vec {v}}) = {\ vec {v}} - 2 {\ frac {{\ vec {v}} \ cdot {\ vec {a} }} {{\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}}}} {\ vec {a}}}

unde a este orice vector ortogonal cu π , iar v · a este produsul scalar dintre v și a .

Fie p un punct în spațiul euclidian . O reflecție cu privire la p este transformarea liniară dată de

\mathrm {Ref} _{p}({\vec {v}})=2{\vec {p}}-{\vec {v}}

{\ displaystyle \ mathrm {Ref} _ {p} ({\ vec {v}}) = 2 {\ vec {p}} - {\ vec {v}}}

{\ displaystyle \ mathrm {Ref} _ {p} ({\ vec {v}}) = 2 {\ vec {p}} - {\ vec {v}}}

Proprietate

Matricea asociată cu o reflecție față de o bază ortonormală ale cărei prime n - 1 elemente sunt conținute în hiperplan este foarte simplă: este o matrice diagonală care are toate 1 valori pe diagonală, cu excepția ultimei, care este -1.
Compoziția a două reflexii de-a lungul aceluiași hiperplan p este funcția de identitate .
Compoziția a două reflexii ale planului de -a lungul liniilor distincte poate fi o rotație sau o translație.
Fiecare matrice asociată cu o reflecție față de orice bază este o matrice ortogonală cu determinant egal cu - 1.
Folosind definiția unei matrici Householder, ecuațiile legate de acest tip de transformare pot fi obținute foarte ușor.

Geometria planului euclidian

Simetrie în raport cu un punct sau central

În planul euclidian, se spune că două puncte A și A 'sunt simetrice față de o dreaptă r (de care nu aparțin) când r este axa segmentului [AA']. Punctul A 'este simetricul lui A față de r și invers.

Corespondența unu-la-unu care asociază fiecărui punct A care nu aparține lui r punctul simetric A ', și fiecărui punct C din r asociază punctul C în sine, se numește simetrie axială a axei r în planul considerat .

Simetria axială este o izometrie a planului , adică păstrează lungimea segmentelor.

Unii autori folosesc notația $\eta _{r}$ ${\ displaystyle \ eta _ {r}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {r}}$ pentru a indica simetria axială a axei r ; simetricul lui A este deci scris ${\rm {A}}'=\eta _{r}({\rm {A}})$ ${\ displaystyle {\ rm {A}} '= \ eta _ {r} ({\ rm {A}})}$ ${\ displaystyle {\ rm {A}} '= \ eta _ {r} ({\ rm {A}})}$ .

Simetria axială este involutivă , adică coincide cu propriul său invers și compusă cu sine dă identitate .

În cele din urmă, simetria axială este o izometrie inversă , adică inversează orientarea obiectelor (de exemplu, o pereche de axe ortogonale, direcția de deplasare a laturilor unui triunghi etc.)

Definiția axial symmetry

Simetria axială a axei r este transformarea geometrică care lasă nemodificată dreapta r care asociază punctul Q cu fiecare punct P al planului care nu aparține lui r în așa fel încât segmentul PQ să fie perpendicular pe dreapta re are ca punctul mijlociu H, piciorul perpendicularului condus de la P la r.

Simetria axială în geometria analitică

Având în vedere ecuația axei de simetrie $y=mx+q$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ iar segmentul extremelor $P(x;y)$ ${\ displaystyle P (x; y)}$ $P (x; y)$ Și $Q(x';y')$ ${\ displaystyle Q (x '; y')}$ ${\ displaystyle Q (x '; y')}$ , linia prin P și Q este perpendiculară pe axa de simetrie (deci $m_{PQ}=-{\frac {1}{m}}$ ${\ displaystyle m_ {PQ} = - {\ frac {1} {m}}}$ ${\ displaystyle m_ {PQ} = - {\ frac {1} {m}}}$ ) și o intersectează la punctul de mijloc H al coordonatelor

$\left({\frac {x+x'}{2}};{\frac {y+y'}{2}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {x + x '} {2}}; {\ frac {y + y'} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {x + x '} {2}}; {\ frac {y + y'} {2}} \ right)}$

Deoarece H aparține axei, se menține următoarea ecuație:

${\frac {y+y'}{2}}=m{\frac {x+x'}{2}}+q$ ${\ displaystyle {\ frac {y + y '} {2}} = m {\ frac {x + x'} {2}} + q}$ ${\ displaystyle {\ frac {y + y '} {2}} = m {\ frac {x + x'} {2}} + q}$

Coeficientul unghiular al liniei drepte care trece prin P și Q poate fi scris ca

$m_{PQ}={\frac {y-y'}{x-x'}}$ ${\ displaystyle m_ {PQ} = {\ frac {y-y '} {x-x'}}}$ ${\ displaystyle m_ {PQ} = {\ frac {y-y '} {x-x'}}}$

Prin urmare,

${\frac {y-y'}{x-x'}}=-{\frac {1}{m}}$ ${\ displaystyle {\ frac {y-y '} {x-x'}} = - {\ frac {1} {m}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {y-y '} {x-x'}} = - {\ frac {1} {m}}}$

Pentru a determina coordonatele punctului Q, simetric al lui P, folosim sistemul de ecuații

${\begin{cases}{\frac {y+y'}{2}}=m{\frac {x+x'}{2}}+q\\{\frac {y-y'}{x-x'}}=-{\frac {1}{m}}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {y + y '} {2}} = m {\ frac {x + x'} {2}} + q \\ {\ frac {y-y '} {xx '}} = - {\ frac {1} {m}} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {y + y '} {2}} = m {\ frac {x + x'} {2}} + q \\ {\ frac {y-y '} {xx '}} = - {\ frac {1} {m}} \ end {cases}}}$

Din care derivă

${\begin{cases}x'={\frac {-2mq+x-m^{2}x+2my}{m^{2}+1}}\\y'={\frac {2q+2mx-y+m^{2}y}{m^{2}+1}}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= {\ frac {-2mq + xm ^ {2} x + 2my} {m ^ {2} +1}} \\ y' = {\ frac {2q + 2mx -y + m ^ {2} y} {m ^ {2} +1}} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= {\ frac {-2mq + xm ^ {2} x + 2my} {m ^ {2} +1}} \\ y' = {\ frac {2q + 2mx -y + m ^ {2} y} {m ^ {2} +1}} \ end {cases}}}$

Cazuri speciale

Simetrie axială în raport cu linia dreaptă $y=x$ ${\ displaystyle y = x}$ $y = x$ , bisectoarea primului și celui de-al treilea cadran

${\begin{cases}x'=y\\y'=x\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= y \\ y' = x \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= y \\ y' = x \ end {cases}}}$

Simetrie axială în raport cu linia dreaptă $y=-x$ ${\ displaystyle y = -x}$ $y = -x$ , bisectoarea al doilea și al patrulea cadran

${\begin{cases}x'=-y\\y'=-x\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= - y \\ y' = - x \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= - y \\ y' = - x \ end {cases}}}$

Simetrie axială în raport cu linia dreaptă $x=k$ ${\ displaystyle x = k}$ ${\ displaystyle x = k}$ , paralel cu axa y

${\begin{cases}x'=2k-x\\y'=y\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= 2k-x \\ y' = y \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= 2k-x \\ y' = y \ end {cases}}}$

Simetrie axială în raport cu linia dreaptă $y=k$ ${\ displaystyle y = k}$ $y = k$ , paralel cu axa x

${\begin{cases}x'=x\\y'=2k-y\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= x \\ y' = 2k-y \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= x \\ y' = 2k-y \ end {cases}}}$

Simetrie axială în raport cu linia dreaptă $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ , axă ordonată

${\begin{cases}x'=-x\\y'=y\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= - x \\ y' = y \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= - x \\ y' = y \ end {cases}}}$

Simetrie axială în raport cu linia dreaptă $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ , axă abscisă

${\begin{cases}x'=x\\y'=-y\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= x \\ y' = - y \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= x \\ y' = - y \ end {cases}}}$

În geometrie descriptivă

Reflecția este un tip de corespondență unu-la-unu numită afinitate care poate fi ortogonală, atunci când planul de reflecție (oglindă) este ortogonal față de planul figurii obiective, altfel oblic.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere care reflectă

Controlul autorității	GND ( DE ) 4447875-6

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică