În matematică și mai precis în algebră liniară , matricea de transformare , numită și matrice asociată cu o transformare sau matrice reprezentativă a operatorului în raport cu bazele sale , este matricea care reprezintă o transformare liniară între spațiile vectoriale față de o bază pentru fiecare dintre spații.
După ce a stabilit o bază pentru domeniu și una pentru interval, fiecare transformare liniară poate fi descrisă prin intermediul unei matrice {\ displaystyle M} în felul următor:
- {\ displaystyle \ mathbf {y} = M \ mathbf {x} \, \!}
unde este {\ displaystyle \ mathbf {x}} este vectorul coloană al coordonatelor unui punct al domeniului în raport cu baza domeniului e {\ displaystyle \ mathbf {y}} este vectorul coloană al coordonatelor imaginii, în timp ce produsul{\ displaystyle M \ mathbf {x}} este produsul rând cu coloană .
Definiție
Lasa-i sa fie {\ displaystyle V} Și {\ displaystyle W} două spații vectoriale pe un câmp {\ displaystyle K} de mărime finită, e {\ displaystyle T: V \ to W} o aplicație liniară . Sunt:
- {\ displaystyle B = (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}) \ quad C = (\ mathbf {w} _ {1}, \ ldots, \ mathbf { w} _ {m})}
două baze respectiv pentru {\ displaystyle V} Și {\ displaystyle W} .
Matricea {\ displaystyle M} asociat cu {\ displaystyle T} în baze {\ displaystyle B} Și {\ displaystyle C} este matricea {\ displaystyle m \ times n} având în {\ displaystyle i} -a coloana coordonatele vectorului {\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {i})} decât baza {\ displaystyle C} : [1]
- {\ displaystyle M = {\ Bigg (} M ^ {1} {\ Bigg |} \ cdots {\ Bigg |} M ^ {n} {\ Bigg)}}
unde coloana {\ displaystyle M ^ {i}} este imaginea {\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {i})} de {\ displaystyle i} -al vectorul bazei de pornire {\ displaystyle B} scris prin coordonatele cu privire la baza sosirii {\ displaystyle C} . [2]
Elementele {\ displaystyle m_ {i, j}} din {\ displaystyle M} sunt, prin urmare, astfel încât:
- {\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {1}) = m_ {1,1} \ mathbf {w} _ {1} + \ dots + m_ {m, 1} \ mathbf {w} _ {m} }
- {\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {2}) = m_ {1,2} \ mathbf {w} _ {1} + \ dots + m_ {m, 2} \ mathbf {w} _ {m} }
- {\ displaystyle \ dots}
- {\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {n}) = m_ {1, n} \ mathbf {w} _ {1} + \ dots + m_ {m, n} \ mathbf {w} _ {m} }
și avem:
- {\ displaystyle {\ Bigg (} T (\ mathbf {v} _ {1}) {\ Bigg |} \ cdots {\ Bigg |} T (\ mathbf {v} _ {n}) {\ Bigg)} = (\ mathbf {w} _ {1} | \ cdots | \ mathbf {w} _ {m}) {\ Bigg (} M ^ {1} {\ Bigg |} \ cdots {\ Bigg |} M ^ {n } {\ Bigg)}}
Într-un mod echivalent putem scrie:
- {\ displaystyle [T (\ mathbf {v})] _ {C} = M [\ mathbf {v}] _ {B}}
Unde parantezele pătrate indică coordonatele față de baza relativă.
Corespondența unu la unu definită între hărți liniare și matrice este un izomorfism între spațiul vectorial al hărților liniare din {\ displaystyle V} în {\ displaystyle W} și spațiul matricilor {\ displaystyle m \ times n} : [3]
- {\ displaystyle \ operatorname {Hom} (V, W) \ to M (m, n)}
Acest izomorfism depinde de bazele alese pentru ambele spații.
Compoziția aplicațiilor liniare
În reprezentarea aplicațiilor prin matrice, compoziția funcțiilor are ca rezultat produsul obișnuit între matrice . Să luăm în considerare aplicațiile liniare:
- {\ displaystyle T: V \ to W \ quad U: W \ to Z}
Lasa-i sa fie {\ displaystyle M_ {U}} Și {\ displaystyle M_ {T}} matricile reprezentative respective cu privire la trei baze ale spațiilor relative. Avem:
- {\ displaystyle M_ {U \ circ T} = M_ {U} M_ {T}}
adică matricea asociată cu compoziția este produsul matricilor asociate {\ displaystyle U} este la {\ displaystyle T} . [4]
Spus {\ displaystyle B} , {\ displaystyle C} bazele respectiv de {\ displaystyle V} Și {\ displaystyle Z} avem:
- {\ displaystyle [({U \ circ T}) (\ mathbf {v})] _ {C} = M_ {U} M_ {T} [\ mathbf {v}] _ {B}}
Endomorfisme
Endomorfismul reprezentat de o matrice. Determinantul matricei este -1: aceasta implică faptul că endomorfismul este inversabil și inversează orientarea planului. Colțul orientat este de fapt trimis în colț cu orientare opusă.
În prezența unui endomorfism {\ displaystyle T: V \ to V} este firesc să alegeți aceeași bază {\ displaystyle B} plecând și sosind. Este {\ displaystyle B = (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n})} acea bază și să fie {\ displaystyle M = (m_ {ij})} matricea asociată cu {\ displaystyle T} decât baza {\ displaystyle B} . Avem apoi: [3]
- {\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {j}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {ij} \ mathbf {v} _ {i}}
În special, {\ displaystyle M} este o matrice pătrată {\ displaystyle n \ times n} .
Multe proprietăți ale endomorfismului pot fi citite prin matricea reprezentativă:
- {\ displaystyle T} este dacă și numai dacă identitate {\ displaystyle M} este matricea identică .
- {\ displaystyle T} este nula constant dacă și numai dacă funcția {\ displaystyle M} este matricea nulă .
- {\ displaystyle T} este de două mod , dacă și numai dacă {\ displaystyle M} este inversabil , adică dacă are determinant {\ displaystyle \ det M} non-zero.
- {\ displaystyle T} păstrează orientarea spațiului dacă {\ displaystyle \ det M> 0} , în timp ce îl inversează dacă {\ displaystyle \ det M <0.}
Alte proprietăți mai complexe ale aplicațiilor liniare, cum ar fi diagonalizabilitatea , pot fi studiate mai ușor prin reprezentarea matricială.
Matrici similare
Două matrice pătrate {\ displaystyle A} Și {\ displaystyle B} sunt similare atunci când există o matrice inversabilă {\ displaystyle M} astfel încât: [5] [6]
- {\ displaystyle \ A = M ^ {- 1} BM}
În special, matricea de identitate și matricea nulă sunt similare doar cu ele însele.
Matrici similare sunt de o importanță considerabilă, deoarece două matrice similare reprezintă același endomorfism față de două baze diferite. [7] Dacă {\ displaystyle B} Și {\ displaystyle C} sunt două baze ale spațiului vectorial {\ displaystyle V} , dat un endomorfism {\ displaystyle T} pe {\ displaystyle V} avem:
- {\ displaystyle [T] _ {B} = M ^ {- 1} [T] _ {C} M \}
Matricea {\ displaystyle M} este matricea de schimbare a bazei de la bază {\ displaystyle B} până la bază {\ displaystyle C} .
Exemple
- În plan cartezian, indicând cu {\ displaystyle (x, y)} un punct generic, transformarea liniară {\ displaystyle T (x, y) = (x, y)} este reprezentată în raport cu orice bază de matricea identității de ordinul 2. O astfel de transformare este cunoscută și ca funcție de identitate .
- În plan cartezian, fie {\ displaystyle T} reflectarea cu privire la bisectoarea cadranului I și III. Matrice asociate cu {\ displaystyle T} folosind baza canonică și respectiv baza {\ displaystyle B = ((1,1), (1, -1))} Sunt:
- {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ qquad {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}
- În plan, rotația unui unghi θ în sens invers acelor de ceasornic în jurul originii este liniară și definită de {\ displaystyle x '= x \ cos \ theta -y \ sin \ theta} Și {\ displaystyle y '= x \ sin \ theta + y \ cos \ theta} . În formă matricială se exprimă cu:
- {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '\\ y' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}}
- În mod similar pentru o rotație în sensul acelor de ceasornic în jurul originii, funcția este definită de {\ displaystyle x '= x \ cos \ theta + y \ sin \ theta} Și {\ displaystyle y '= - x \ sin \ theta + y \ cos \ theta} și sub formă de matrice corespunde transpunerii matricei anterioare, adică:
- {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '\\ y' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}}
- Functia {\ displaystyle T: \ mathbb {R} ^ {2} [x] \ to \ mathbb {R} ^ {2} [x]} din spațiul polinoamelor de grad cel mult două în sine, pe care le asociază cu un polinom {\ displaystyle p} derivatul său {\ displaystyle T (p) = p '} este liniar. Matricea asociată cu baza{\ displaystyle B = (1, x, x ^ {2})} Și:
- {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}
Notă
- ^ S. Lang , pagina 106 .
- ^ Hoffman, Kunze , p. 87 .
- ^ a b Hoffman, Kunze , P. 88 .
- ^ Hoffman, Kunze , pagina 90 .
- ^ S. Lang , pagina 115 .
- ^ Hoffman, Kunze , pagina 94 .
- ^ Hoffman, Kunze , pagina 92 .
Bibliografie
- Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
- (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, NJ, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
- F. Odetti, M. Raimondo, Elements of Linear Algebra and Analytical Geometry , ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4 .
Elemente conexe
Alte proiecte
linkuri externe