Grup ortogonal
În matematică , grupul ortogonal de grad n pe un câmp K este grupul matricilor ortogonale n × n cu valori în K. Se notează cu O ( n , K ).
Când K este câmpul numerelor reale , grupul poate fi interpretat ca grupul de izometrii ale spațiului euclidian de dimensiunea n . Matricile având un determinant egal cu +1 formează un subgrup , care este indicat de SO ( n ), numit grup ortogonal special . Grupul ortogonal special este grupul de rotații ale spațiului.
Definiție
Grupul ortogonal este un subgrup al grupului liniar general GL ( n , K ) al tuturor matricilor inversabile , definit astfel:
Cu alte cuvinte, este subgrupul format din toate matricile ortogonale [1] .
Când câmpul K nu este menționat, se presupune că K este câmpul numerelor reale R. În această intrare, vom vorbi doar despre cazul K = R.
Proprietăți de bază
O matrice ortogonală are determinantul +1 sau - 1. Subsetul lui O ( n ) format din toate matricile cu determinantul +1 este la rândul său un subgrup, numit grup ortogonal special . Este indicat cu SO ( n ). Elementele acestui grup sunt rotațiile .
Grupul O ( n ) este grupul izometriilor sferei de dimensiune n - 1. Subgrupul SO ( n ) este dat de toate izometriile care păstrează orientarea sferei.
Topologie
Grupul O ( n ) este o varietate diferențiată și împreună cu structura sa de grup formează un grup Lie compact . Nu este conectat : are două componente conectate, dintre care una este SO ( n ).
Dimensiuni reduse
- Pentru n = 1, grupul O ( 1 ) este format din două elemente, 1 și - 1.
- Pentru n = 2, grupul SO ( 2 ) este izomorf pentru grupul coeficient R / Z unde R sunt numerele reale și Z subgrupul de numere întregi . Acest grup este de obicei notat cu S 1 , iar topologic este un cerc .
- Pentru n = 3, grupul SO ( 3 ) este homeomorf pentru spațiul proiectiv real al dimensiunii 3, care este de obicei indicat ca P 3 ( R ).
Grup fundamental
Grupul fundamental al SO ( 2 ) este Z , grupul întregilor . Pentru fiecare n > 2 grupul fundamental al SO ( n ) este în schimb Z / 2 Z , grupul ciclic cu două elemente. Prin urmare, are o acoperire universală compactă, care este notată prin Spin ( n ) și care se dovedește, de asemenea, a fi un grup Lie. Grupul Spin ( n ) se numește grupul Spin .
Notă
- ^ Edoardo Sernesi, Geometry 2 , 1st ed., Turin, Bollati Boringhieri, 1994, p. 58, ISBN 88-339-5548-6 .
Bibliografie
- ( EN ) Anthony Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction , Ediția a doua, Progress in Mathematics, vol. 140, Boston, Birkhäuser, 2002, ISBN 0-8176-4259-5 .
- Edoardo Sernesi, Geometria 2 , ed. I, Torino, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 88-339-5548-6 .
