Grup general liniar

În matematică și mai precis în algebră liniară , grupul liniar general este grupul tuturor n × n matrice inversabile cu valori într-un câmp K , unde n este un număr întreg pozitiv. Grupul liniar general este indicat cu GL ( n , K ) sau cu GL _n ( K ) și se mai numește un grup de matrice .

Grupul liniar special este subgrupul de matrici având un determinant egal cu +1. Grupul liniar special este indicat cu SL ( n , K ) sau cu SL _n ( K ).

Definiție de bază și proprietăți

Set GL (n, K) formează un grup cumultiplicarea operațieiîntre matrici . Acesta este, de asemenea, setul tuturor matricilor care au un alt determinant decât zero. Prin teorema lui Binet , funcția

\mathrm {GL} (n,K)\to K^{*};\qquad A\mapsto \det(A)

{\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, K) \ to K ^ {*}; \ qquad A \ mapsto \ det (A)}

{\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, K) \ to K ^ {*}; \ qquad A \ mapsto \ det (A)}

care își asociază determinantul cu o matrice A în GL ( n , K ), este un omomorfism din GL ( n , K ) în K ^* , adică K minus zero (care formează un grup cu operația produsului).

Subgrupul normal SL ( n , K ) este nucleul acestui homomorfism . Cu alte cuvinte, este subgrupul matricilor cu determinant +1.

Spații vectoriale

Grupul liniar general GL ( V ) al unui spațiu vectorial V pe câmpul K este definit ca grupul tuturor automorfismelor spațiului, adică ale transformărilor liniare inversabile ale lui V în sine. Dacă spațiul are dimensiunea finită n , atunci GL ( V ) este izomorf pentru GL ( n , K ). Izomorfismul nu este canonic, deoarece depinde de alegerea bazei lui V : dacă reprezentăm automorfismul T ca

Te_{k}=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j}\quad \forall k=1,...,n

{\ displaystyle Te_ {k} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {jk} e_ {j} \ quad \ forall k = 1, ..., n}

Te_ {k} = \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} a _ {{jk}} e_ {j} \ quad \ forall k = 1, ..., n

unde este $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ ${\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}$ $(e_ {1}, \ ldots, e_ {n})$ este o bază dată, atunci matricea corespunzătoare lui T este exact matricea cu venituri $(a_{jk})_{jk}$ ${\ displaystyle (a_ {jk}) _ {jk}}$ $(a _ {{jk}}) _ {{jk}}$ , adică matricea sa asociată .

Caz real

Algebră

Grupurile GL ( n , R ) și SL ( n , R ) nu sunt niciodată comutative pentru n > 1.
Matricile diagonale formează un subgrup de GL ( n , R ).

Topologie

Grupul GL ( n , R ) este, de asemenea, o varietate diferențiată și împreună cu structura grupului formează un grup Lie . Nu este nici compact, nici conectat , deoarece determinantul este o funcție continuă și surjectivă cu valori în R minus zero, care nu este nici compactă, nici conectată. Are două componente conectate , dintre care una conține SL ( n , R ).

Cu toate acestea, este echivalent homotopic cu grupul ortogonal O ( n ), care este un grup Lie compact.

Subgrupul SL ( n , R ) este conectat dar nu compact, dar este echivalent homotopic cu grupul ortogonal special SO ( n ), care este un grup Lie conectat și compact.

Pe un câmp finit

Dacă K este un câmp finit cu q elemente, uneori scriem GL ( n , q ) în loc de GL ( n , K ) (și în mod similar SL ( n , q ) în loc de SL ( n , K )). Când q = p este un număr prim , GL ( n , p ) este grupul automorfismelor externe ale grupului $\left(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \right)^{n}$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ right) ^ {n}}$ $\ left ({\ mathbb Z} / p {\ mathbb Z} \ right) ^ {n}$ și de atunci $\left(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \right)^{n}$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ right) ^ {n}}$ $\ left ({\ mathbb Z} / p {\ mathbb Z} \ right) ^ {n}$ este un grup abelian și, prin urmare, are un grup trivial de automorfisme interne , GL ( n , p ) este, de asemenea, grupul de automorfisme .

Ordinea GL ( n , q ), care în acest caz este un grup finit , este

\prod _{k=0}^{n-1}(q^{n}-q^{k})=(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\dots (q^{n}-q^{n-1}).

{\ displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (q ^ {n} -q ^ {k}) = (q ^ {n} -1) (q ^ {n} -q) ( q ^ {n} -q ^ {2}) \ dots (q ^ {n} -q ^ {n-1}).}

{\ displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (q ^ {n} -q ^ {k}) = (q ^ {n} -1) (q ^ {n} -q) ( q ^ {n} -q ^ {2}) \ dots (q ^ {n} -q ^ {n-1}).}

Acest lucru poate fi calculat prin numărarea coloanelor posibile ale matricei: prima coloană poate fi orice vector diferit de zero, a doua poate fi orice vector liniar independent de prima coloană și, în general, a k-a coloană poate fi orice vector liniar independent de primele k -1 coloane.

Ordinea SL ( n , q ), care în acest caz este un grup finit , este

{\frac {(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\dots (q^{n}-q^{n-1})}{q-1}}=(1+q+\dots +q^{n-1})(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\dots (q^{n}-q^{n-1}),

{\ displaystyle {\ frac {(q ^ {n} -1) (q ^ {n} -q) (q ^ {n} -q ^ {2}) \ dots (q ^ {n} -q ^ { n-1})} {q-1}} = (1 + q + \ dots + q ^ {n-1}) (q ^ {n} -q) (q ^ {n} -q ^ {2} ) \ dots (q ^ {n} -q ^ {n-1}),}

{\ displaystyle {\ frac {(q ^ {n} -1) (q ^ {n} -q) (q ^ {n} -q ^ {2}) \ dots (q ^ {n} -q ^ { n-1})} {q-1}} = (1 + q + \ dots + q ^ {n-1}) (q ^ {n} -q) (q ^ {n} -q ^ {2} ) \ dots (q ^ {n} -q ^ {n-1}),}

unde egalitatea se menține pentru suma seriei geometrice trunchiate la n-1 . Calculul ordinii rezultă din faptul că SL ( n , q ) este nucleul homomorfismului surjectiv

\mathrm {GL} (n,K)\to K^{*};\qquad A\mapsto \det(A)

{\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, K) \ to K ^ {*}; \ qquad A \ mapsto \ det (A)}

{\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, K) \ to K ^ {*}; \ qquad A \ mapsto \ det (A)}

unde codomainul are ordinea q-1 .

Exemple

De exemplu GL (3,2) are ordinea (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168 și este grupul de automorfisme ale planului Fano și al grupului $\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)^{3}$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ right) ^ {3}}$ $\ left ({\ mathbb Z} / 2 {\ mathbb Z} \ right) ^ {3}$

Mai mult, SL (3,2) are ordinea (1 + 2 + 4) (8-2) (8-4) = 168 și de fapt GL (3,2) este izomorf pentru SL (3,2).

În general, dacă q = 2 avem întotdeauna că GL (n, 2) este izomorf pentru SL (n, 2).

Dacă n = 2 , formulele anterioare sunt reduse la

(q^{2}-1)(q^{2}-q)=(q-1)^{2}q(q+1)

{\ displaystyle (q ^ {2} -1) (q ^ {2} -q) = (q-1) ^ {2} q (q + 1)}

(q ^ {2} -1) (q ^ {2} -q) = (q-1) ^ {2} q (q + 1)

pentru GL (2, q) ea

(1+q)(q^{2}-q)=(q-1)q(q+1)

{\ displaystyle (1 + q) (q ^ {2} -q) = (q-1) q (q + 1)}

(1 + q) (q ^ {2} -q) = (q-1) q (q + 1)

pentru SL (2, q).

Istorie

Grupul liniar general pe un prim câmp GL ( ν , p ), a fost construit și ordinea acestuia a fost calculată de Évariste Galois în 1832, în al doilea (din cele trei) manuscrise atașate ultimei sale scrisori (către Chevalier). Utilizarea sa a fost legată de studiul ecuației generale a ordinii p ^ν de către grupul Galois . ^[1]

Generalizare

Grupul liniar general poate fi definit și pe un inel comutativ unitar $LA .$ ${\ displaystyle A.}$ ${\ displaystyle A.}$ Set GL (n, A) formează un grup cumultiplicarea operațieiîntre matrici . Acesta este, de asemenea, setul tuturor matricilor care au un determinant inversabil în $LA .$ ${\ displaystyle A.}$ ${\ displaystyle A.}$ Prin teorema lui Binet (care se menține în fiecare inel comutativ), funcția

\mathrm {GL} (n,A)\to A^{*};\qquad M\mapsto \det(M)

{\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, A) \ to A ^ {*}; \ qquad M \ mapsto \ det (M)}

{\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, A) \ to A ^ {*}; \ qquad M \ mapsto \ det (M)}

care își asociază determinantul cu o matrice M în GL ( n , A ), este un homomorfism din GL ( n , A ) în A ^* , adică setul de unități de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (care formează un grup cu operațiunea produsului).

Subgrupul normal SL ( n , A ) este nucleul acestui homomorfism . Cu alte cuvinte, este subgrupul matricilor cu determinantul 1.

Pe întregul modul m

Este $m\geq 2$ ${\ displaystyle m \ geq 2}$ ${\ displaystyle m \ geq 2}$ un număr întreg cu factorizare primă unică: $m=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{r_{i}}$ ${\ displaystyle m = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {r_ {i}}}$ ${\ displaystyle m = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {r_ {i}}}$ . Grupul liniar general cu elemente în inel $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}}$ $\ Z / m \ Z$ are cardinalitate

\#\mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n^{2}(r_{i}-1)}\prod _{s=0}^{n-1}\left(p_{i}^{n}-p_{i}^{s}\right),

{\ displaystyle \ # \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {n ^ {2} (r_ {i} -1)} \ prod _ {s = 0} ^ {n-1} \ left (p_ {i} ^ {n} -p_ {i} ^ {s} \ right),}

{\ displaystyle \ # \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {n ^ {2} (r_ {i} -1)} \ prod _ {s = 0} ^ {n-1} \ left (p_ {i} ^ {n} -p_ {i} ^ {s} \ right),}

care se obține folosind teorema restului chinezesc separându-l pe primul și apoi luând în considerare elementele lui $\mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} /p_{i}\mathbb {Z} ),$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {Z} / p_ {i} \ mathbb {Z}),}$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {Z} / p_ {i} \ mathbb {Z}),}$ pentru fiecare $p_{i},$ ${\ displaystyle p_ {i},}$ ${\ displaystyle p_ {i},}$ și ridicându-le la $\mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} /p_{i}^{r_{i}}\mathbb {Z} )$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {Z} / p_ {i} ^ {r_ {i}} \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {Z} / p_ {i} ^ {r_ {i}} \ mathbb {Z})}$ în toate modurile posibile

Notă

^ Évariste Galois, Lettre de Galois către M. Auguste Chevalier , în Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , XI, 1846, pp. 408-415. Accesat la 4 februarie 2009 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[chevalier-letter-1] Évariste Galois, Lettre de Galois către M. Auguste Chevalier , în Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , XI, 1846, pp. 408-415. Accesat la 4 februarie 2009 .

[1]