Automorfism

În matematică , un automorfism este un izomorfism al unui obiect matematic în sine. Este, într-un anumit sens, o simetrie a obiectului și un mod de cartografiere a obiectului în sine, păstrând în același timp toate structurile sale caracteristice. Ansamblul tuturor automorfismelor unui obiect formează un grup în ceea ce privește compoziția funcțiilor , numit grupul de automorfisme . Este, în mod informal, grupul de simetrie al obiectului.

Definiție

Definiția exactă a automorfismului depinde de tipul de „obiect matematic” în cauză și de ceea ce constituie exact un „izomorfism” al acelui obiect. Mediul mai general în care aceste cuvinte au sens este o ramură abstractă a matematicii numită teoria categoriilor . Teoria categoriilor tratează obiecte abstracte și morfismele dintre astfel de obiecte.

În teoria categoriilor, un automorfism este un endomorfism (adică un morfism al unui obiect în sine) care este, de asemenea, un izomorfism (în sensul teoriei categoriilor). Aceasta este o definiție foarte abstractă, deoarece în teoria categoriilor morfismele nu sunt neapărat funcții și obiectele nu sunt neapărat seturi. Cu toate acestea, în medii mai concrete, obiectele sunt seturi cu o structură suplimentară, iar morfismele sunt funcții care păstrează această structură.

În contextul algebrei abstracte , de exemplu, un obiect matematic este o structură algebrică , cum ar fi un grup , un inel sau un spațiu vectorial . Un izomorfism este pur și simplu un homomorfism bijectiv . (Evident, definiția homomorfismului depinde de tipul de structură algebrică; a se vedea de exemplu omomorfism de grup , homomorfism inelar și operator liniar .)

Grup de automorfisme

Setul de automorfisme ale unui obiect X formează un grup în raport cu operația de compoziție a morfismului . Acest grup se numește grupul de automorfism al lui X. Se poate vedea cu ușurință că este un grup:

Închidere : compoziția pe două endomorfisme este un alt endomorfism.
Asociativitate : compoziția morfismelor este asociativă prin definiție.
Element neutru : elementul neutru este morfismul identic al unui obiect în sine, care există prin definiție.
Invers : prin definiție, fiecare izomorfism are un izomorfism invers și, din moment ce inversul este încă un endomorfism al obiectului pe sine, este un automorfism.

Grupul de automorfisme ale unui obiect X al unei categorii C este notat cu Aut _C ( X ), sau pur și simplu cu Aut ( X ) dacă categoria este clară din context.

Exemple

În teoria mulțimilor , un automorfism al unei mulțimi X este o permutare arbitrară a elementelor lui X. Grupul de automorfism al lui X se mai numește și grupul simetric pe X.

Grupul de automorfisme ale unui grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este format din toate izomorfismele din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ in sinea lui. Automorfismele interne ale unui grup formează un subgrup al grupului de automorfisme, izomorf la grupul de coeficient de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ cu privire la centrul său.

În algebra liniară , un endomorfism al unui spațiu vectorial V este un operator liniar V → V. Un automorfism este un operator liniar inversabil pe V. Grupul de automorfism al lui V este tocmai grupul liniar general , GL ( V ).

Un automorfism al câmpurilor este un homomorfism inelar bijectiv un câmp pe sine. În cazul numerelor raționale , $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , sau numere reale , $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , nu există automorfism de câmp nontrivial. În cazul numerelor complexe , $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ , există un singur automorfism non-trivial pe care îl trimite $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ : conjugare complexă , dar există un număr infinit de automorfisme „sălbatice” (vezi publicația Yale din bibliografie). Automorfismele de câmp sunt importante pentru teoria extensiei de câmp, în special pentru extensiile Galois . În cazul unei extensii Galois L / K , subgrupul tuturor automorfismelor lui L care trimit fiecare element al lui K în sine se numește grupul Galois al extensiei.

Setul de numere întregi , $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , considerat ca un grup aditiv, are un singur automorfism non-banal: negația. Considerat, totuși, ca un inel , are doar un automorfism banal. În general, negația este un automorfism pentru orice grup abelian , dar nu pentru un inel sau un câmp.

În teoria graficelor, un automorfism al unui grafic este o permutare a nodurilor care păstrează muchiile și non-muchiile. Prin urmare, două noduri sunt conectate printr-un arc dacă și numai dacă imaginile lor sunt conectate prin permutația dată.

În teoria ordinii, vezi automorfismul ordinii .

Un automorfism al unui colector diferențial M este un difeomorfism al lui M în sine. Grupul de automorfisme este uneori notat cu Diff ( M ).

În geometria Riemanniană, un automorfism este o auto- simetrie . În acest caz, grupul de automorfisme este menționat și sub denumirea de grup de izometrii .

În categoria suprafețelor Riemann, un automorfism este o aplicație holomorfă bijectivă (numită și hartă conformală ) a unei suprafețe în sine. De exemplu, automorfismele sferei Riemann sunt transformările Möbius .

Automorfisme interne și externe

În unele categorii - în special grupuri , inele și algebre Lie - automorfismele pot fi separate în două clase:

Primul corespunde automorfismelor care decurg din conjugarea prin elemente ale obiectului însuși, al doilea tuturor celorlalte automorfisme.

În teoria grupurilor, de exemplu, atât pentru un element al unui grup G. Conjugarea pentru a este omomorfismul grupului φ _a : G → G dat de φ _a ( g ) = aga ⁻¹ . Se poate verifica cu ușurință că conjugarea pentru a este într-adevăr un automorfism de grup. Un „automorfism intern” este deci un automorfism corespunzător conjugării pentru un anumit element a . Mulțimea tuturor automorfismelor interne formează un subgrup normal de Aut ( G ), notat cu Int ( G ). Grupa coeficientului Aut ( G ) / Int ( G ) este indicată în mod normal prin Out ( G ).

Aceeași definiție este valabilă în orice inel sau algebră în care a este orice element inversabil . Pentru algebrele Lie , definiția este ușor diferită.

Bibliografie

Yale, Paul B. Revista de matematică . „Automorfisme ale numerelor complexe”. Vol 39. Num. 3. Mai 1966. pp. 135–141. Disponibil pe [1] .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică