Transformarea Möbius

În geometrie , o transformare Möbius este o funcție

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}}}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}}}

unde este $z, la, b, c$ ${\ displaystyle z, a, b, c}$ ${\ displaystyle z, a, b, c}$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ sunt numere complexe cu $ad-bc\neq 0$ ${\ displaystyle ad-bc \ neq 0}$ ${\ displaystyle ad-bc \ neq 0}$ .

Funcția este definită pe sfera Riemann și este un ingredient fundamental al geometriei proiective și al analizei complexe . De asemenea, sunt folosiți termenii transformare omografică și transformare liniară fracționată . Numele este legat de matematicianul August Ferdinand Möbius .

Definiție

O transformare Möbius este o funcție

f:{\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}

{\ displaystyle f: {\ widehat {\ mathbb {C}}} \ to {\ widehat {\ mathbb {C}}}}

{\ displaystyle f: {\ widehat {\ mathbb {C}}} \ to {\ widehat {\ mathbb {C}}}}

definit pe sfera Riemann

{\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \},

{\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}} = \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \},}

{\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}} = \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \},}

a formei

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}}}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}}}

cu alt determinant decât zero

\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc\neq 0.

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} = ad-bc \ neq 0.}

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} = ad-bc \ neq 0.}

Automorfisme ale sferei Riemann

Exemple

Condiția determinantului este necesară pentru ca funcția să fie definită eficient pe întreaga sferă Riemann. Relațiile se aplică în special

f\left(-{\frac {d}{c}}\right)={\frac {ad-bc}{0}}=\infty ,

{\ displaystyle f \ left (- {\ frac {d} {c}} \ right) = {\ frac {ad-bc} {0}} = \ infty,}

{\ displaystyle f \ left (- {\ frac {d} {c}} \ right) = {\ frac {ad-bc} {0}} = \ infty,}

f\left(-{\frac {b}{a}}\right)={\frac {0}{-cb+ad}}=0,

{\ displaystyle f \ left (- {\ frac {b} {a}} \ right) = {\ frac {0} {- cb + ad}} = 0,}

{\ displaystyle f \ left (- {\ frac {b} {a}} \ right) = {\ frac {0} {- cb + ad}} = 0,}

f(\infty )={\frac {a}{c}}.

{\ displaystyle f (\ infty) = {\ frac {a} {c}}.}

{\ displaystyle f (\ infty) = {\ frac {a} {c}}.}

Reprezentarea prin matrice

Transformarea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este determinată de matrice

A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}.}

Deoarece are un determinant diferit de zero, matricea este inversabilă . Prin urmare, este un element al grupului liniar general ${\rm {GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle {\ rm {GL}} _ {2} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ rm {GL}} _ {2} (\ mathbb {C})}$ compusă din toate matricile complexe inversabile $2\times 2$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ .

Reprezentarea prin matrice este foarte convenabilă, în virtutea următorului fapt: compoziția a două transformări Möbius, descrise de matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , este, de asemenea, o transformare Möbius, descrisă de matrice $B. LA$ ${\ displaystyle BA}$ ${\ displaystyle BA}$ .

Automorfism

Descrierea matricei arată că fiecare transformare Möbius este o funcție bijectivă din sfera Riemann în sine. De fapt, o transformare asociată cu matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are un invers , asociat cu matricea inversă $A^{-1}$ ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$ $A ^ {{- 1}}$ .

Din acest motiv, o transformare Möbius se numește automorfism . Transformările Möbius formează un grup , notat cu

{\rm {Aut({\widehat {\mathbb {C} }}).}}

{\ displaystyle {\ rm {Aut ({\ widehat {\ mathbb {C}}}).}}}

{\ displaystyle {\ rm {Aut ({\ widehat {\ mathbb {C}}}).}}}

Structura grupului

Reprezentarea matricială asigură omomorfismul grupurilor

h:{\rm {GL}}_{2}(\mathbb {C} )\to {\rm {Aut({\widehat {\mathbb {C} }}).}}

{\ displaystyle h: {\ rm {GL}} _ {2} (\ mathbb {C}) \ to {\ rm {Aut ({\ widehat {\ mathbb {C}}}).}}}

{\ displaystyle h: {\ rm {GL}} _ {2} (\ mathbb {C}) \ to {\ rm {Aut ({\ widehat {\ mathbb {C}}}).}}}

Homomorfismul este surjectiv, dar nu injectiv : nucleul constă de fapt în toate matricile formei $\lambda I$ ${\ displaystyle \ lambda I}$ $\ lambda I$ , unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este matricea de identitate e $\lambda \neq 0$ ${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$ este un număr complex. Prin urmare, prima teoremă a izomorfismului oferă un izomorfism al grupurilor

{\rm {PGL}}_{2}(\mathbb {C} ):={\rm {GL}}_{2}(\mathbb {C} )/_{\sim }\cong {\rm {Aut}}({\widehat {\mathbb {C} }})

{\ displaystyle {\ rm {PGL}} _ {2} (\ mathbb {C}): = {\ rm {GL}} _ {2} (\ mathbb {C}) / _ {\ sim} \ cong { \ rm {Aut}} ({\ widehat {\ mathbb {C}}})}

{\ displaystyle {\ rm {PGL}} _ {2} (\ mathbb {C}): = {\ rm {GL}} _ {2} (\ mathbb {C}) / _ {\ sim} \ cong { \ rm {Aut}} ({\ widehat {\ mathbb {C}}})}

unde este $A\sim B$ ${\ displaystyle A \ sim B}$ ${\ displaystyle A \ sim B}$ dacă și numai dacă $A=\lambda B$ ${\ displaystyle A = \ lambda B}$ ${\ displaystyle A = \ lambda B}$ pentru unii $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ . Cocientul este indicat cu un "P" în față, deoarece această construcție este identică cu cea a spațiului proiectiv al unui spațiu vector .

Proprietăți de bază

Transformări elementare

Fiecare automorfism Möbius este obținut prin compunerea unor transformări elementare de acest tip:

$f(z)=z+b\;$ ${\ displaystyle f (z) = z + b \;}$ ${\ displaystyle f (z) = z + b \;}$ ( traducere )
$f(z)=1/z\;$ ${\ displaystyle f (z) = 1 / z \;}$ ${\ displaystyle f (z) = 1 / z \;}$ ( inversiune )
$f(z)=az\;$ ${\ displaystyle f (z) = az \;}$ ${\ displaystyle f (z) = az \;}$ ( omotitate și rotație )

Traducerea păstrează punctul fix la infinit și traduce toate punctele planului complex . Inversarea schimbă punctele $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ Și $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle \ infty}$ . Despre a treia transformare, prin scris $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în coordonate polare

a=re^{i\theta }\;

{\ displaystyle a = re ^ {i \ theta} \;}

{\ displaystyle a = re ^ {i \ theta} \;}

se întâmplă că este o rotație unghiulară $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , compus cu o mulțime de factori $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ .

Hărți conforme

Un automorfism Möbius este o hartă conformă , adică o hartă care păstrează unghiurile. De fapt, fiecare dintre transformările elementare descrise păstrează unghiurile. Cu toate acestea, un automorfism nu păstrează lungimi sau zone.

Linii și cercuri

Inversiunea

f(z)=1/z

{\ displaystyle f (z) = 1 / z}

{\ displaystyle f (z) = 1 / z}

trimite infinitul în zero și, prin urmare, liniile drepte (care sunt cercuri care trec prin infinit) în cercuri și drepte care trec prin origine.

Un cerc în sfera Riemann ${\widehat {\mathbb {C} }}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}}}$ este o circumferință a $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb C}$ , sau o linie de $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb C}$ completat cu punctul la infinit.

Imaginea $f(C)$ ${\ displaystyle f (C)}$ ${\ displaystyle f (C)}$ a unei circumferințe $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ printr-o funcție Möbius $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o altă circumferință. Prin urmare, transformările Möbius trimit cercuri în cercuri.

Această proprietate este verificată prin transformări elementare (traduceri, inversiuni, rotații, homotetică) și din acest motiv este verificată prin orice transformare.

Raport dublu

O transformare Möbius $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ păstrați raportul transversal ${\rm {brp}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})$ ${\ displaystyle {\ rm {brp}} (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4})}$ ${\ displaystyle {\ rm {brp}} (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4})}$ a patru puncte ale sferei Riemann. Adică relația este valabilă

{\rm {brp}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\rm {brp}}(f(z_{1}),f(z_{2}),f(z_{3}),f(z_{4})).\;

{\ displaystyle {\ rm {brp}} (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4}) = {\ rm {brp}} (f (z_ {1}), f ( z_ {2}), f (z_ {3}), f (z_ {4})). \;}

{\ displaystyle {\ rm {brp}} (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4}) = {\ rm {brp}} (f (z_ {1}), f ( z_ {2}), f (z_ {3}), f (z_ {4})). \;}

Funcția meromorfă

Cu limbajul analizei complexe , un automorfism Möbius este o funcție meromorfă specială, având un pol în $z=-d/c$ ${\ displaystyle z = -d / c}$ ${\ displaystyle z = -d / c}$ de ordinul 1.

Transformarea proiectivă

Cu limbajul geometriei proiective , sfera Riemann este identificată cu linia proiectivă complexă $\mathbb {CP} ^{1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}}$ prin hartă