Raport dublu

Raportul transversal este o cantitate asociată cu un cuatern de puncte pe o linie. Este un instrument important în geometria proiectivă : este de fapt definit chiar dacă unul dintre cele patru puncte este la infinit (linia în cauză este deci o linie proiectivă ) și este invariantă prin transformări proiective .

Linia pe care stau punctele poate fi definită pe un alt câmp decât numerele reale . De exemplu, dacă este definită pe numere complexe , linia este de fapt sfera Riemann , adică planul complex la care trebuie adăugat un punct la infinit.

Raportul încrucișat joacă un rol vag similar în geometria proiectivă cu cel al distanței dintre puncte în geometria euclidiană .

Raportul încrucișat se mai numește relație anarmonică , un termen inventat de Michel Chasles pentru o noțiune cunoscută înainte de cercetările sale geometrice.

Geometria euclidiană

În geometria euclidiană , raportul încrucișat este o cantitate asociată cu patru puncte aliniate pe plan.

Definiție

Lasa-i sa fie $LA, B., C., D.$ ${\ displaystyle A, B, C, D}$ ${\ displaystyle A, B, C, D}$ patru puncte aliniate în planul euclidian . Remediați o orientare a liniei care le conține. Raportul încrucișat al cuaternului $(A,B,C,D)$ ${\ displaystyle (A, B, C, D)}$ ${\ displaystyle (A, B, C, D)}$ este cantitatea

{\rm {b}}(A,B,C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}

{\ displaystyle {\ rm {b}} (A, B, C, D) = {\ frac {AC \ cdot BD} {BC \ cdot AD}}}

{\ displaystyle {\ rm {b}} (A, B, C, D) = {\ frac {AC \ cdot BD} {BC \ cdot AD}}}

unde este $LA C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ , $LA D.$ ${\ displaystyle AD}$ $LA$ , $B. C.$ ${\ displaystyle BC}$ $Î.Hr.$ , $B. D.$ ${\ displaystyle BD}$ $BD$ denotați lungimile (semnate) ale segmentelor orientate.

Alegerea inițială a orientării liniei este doar un instrument auxiliar: raportul transversal este de fapt independent de această alegere. De fapt, schimbarea orientării liniei modifică semnul tuturor celor patru numere $C. LA$ ${\ displaystyle CA}$ $CA$ , $D. B.$ ${\ displaystyle DB}$ $DB$ , $C. B.$ ${\ displaystyle CB}$ $CB$ , $D. LA$ ${\ displaystyle DA}$ ${\ displaystyle DA}$ ) și, prin urmare, rezultatul fracției rămâne neschimbat.

Exemplu

Lasa-i sa fie $LA, B., C., D.$ ${\ displaystyle A, B, C, D}$ ${\ displaystyle A, B, C, D}$ patru puncte plasate pe o linie în felul următor.

Se presupune că distanța dintre două puncte succesive este întotdeauna 1. Fixăm o orientare a liniei de la stânga la dreapta: în acest fel $AB=+1$ ${\ displaystyle AB = + 1}$ ${\ displaystyle AB = + 1}$ Și $BA=-1$ ${\ displaystyle BA = -1}$ ${\ displaystyle BA = -1}$ . Raportul transversal este

{\rm {b}}(A,B,C,D)={\frac {CA\cdot DB}{CB\cdot DA}}={\frac {(-2)\cdot (-2)}{(-1)(-3)}}={\frac {4}{3}}.

{\ displaystyle {\ rm {b}} (A, B, C, D) = {\ frac {CA \ cdot DB} {CB \ cdot DA}} = {\ frac {(-2) \ cdot (-2 )} {(- 1) (- 3)}} = {\ frac {4} {3}}.}

{\ displaystyle {\ rm {b}} (A, B, C, D) = {\ frac {CA \ cdot DB} {CB \ cdot DA}} = {\ frac {(-2) \ cdot (-2 )} {(- 1) (- 3)}} = {\ frac {4} {3}}.}

Invarianță

Raportul încrucișat nu se modifică dacă patru puncte sunt proiectate pe o altă linie prin intermediul unei proiecții centrale.

Raportul transversal nu se modifică dacă linia dreaptă pe care se află cele 4 puncte este supusă unei translații , rotație sau omotitate . Mai general, raportul încrucișat nu se modifică dacă planul este supus unei transformări afine .

În plus, raportul încrucișat nu se modifică dacă cele 4 puncte $LA, B., C., D.$ ${\ displaystyle A, B, C, D}$ ${\ displaystyle A, B, C, D}$ acestea sunt proiectate pe o altă linie dreaptă prin intermediul unei proiecții centrale pe un punct așa cum se arată în figură. În acest caz

{\mbox{b}}(A,B,C,D)={\mbox{b}}(A',B',C',D')

{\ displaystyle {\ mbox {b}} (A, B, C, D) = {\ mbox {b}} (A ', B', C ', D')}

{\ displaystyle {\ mbox {b}} (A, B, C, D) = {\ mbox {b}} (A ', B', C ', D')}

Invarianța față de proiecția centrală este o consecință a teoremei lui Thales .

Raportul încrucișat nu se modifică nici măcar prin inversare circulară .

Permutări de puncte

Raportul transversal depinde de ordinea celor 4 puncte. Există deci 4! = 24 posibilități. Este ${\rm {b}}(A,B,C,D)=k$ ${\ displaystyle {\ rm {b}} (A, B, C, D) = k}$ ${\ displaystyle {\ rm {b}} (A, B, C, D) = k}$ . Raportul încrucișat devine $1/k$ ${\ displaystyle 1 / k}$ $1 / k$ dacă primele două sau ultimele două puncte sunt schimbate, în timp ce devine $1-k$ ${\ displaystyle 1-k}$ ${\ displaystyle 1-k}$ dacă cele două puncte centrale sunt schimbate. Prin aceste schimburi este posibil să se obțină orice transpunere și deci orice permutare a celor 4 puncte. Se obțin următoarele egalități.

{\mbox{b}}(A,B,C,D)={\mbox{b}}(B,A,D,C)={\mbox{b}}(C,D,A,B)={\mbox{b}}(D,C,B,A)=k,

{\ displaystyle {\ mbox {b}} (A, B, C, D) = {\ mbox {b}} (B, A, D, C) = {\ mbox {b}} (C, D, A , B) = {\ mbox {b}} (D, C, B, A) = k,}

{\ displaystyle {\ mbox {b}} (A, B, C, D) = {\ mbox {b}} (B, A, D, C) = {\ mbox {b}} (C, D, A , B) = {\ mbox {b}} (D, C, B, A) = k,}

{\mbox{b}}(A,B,D,C)={\mbox{b}}(C,D,B,A)={\mbox{b}}(B,A,C,D)={\mbox{b}}(D,C,A,B)={\frac {1}{k}},

{\ displaystyle {\ mbox {b}} (A, B, D, C) = {\ mbox {b}} (C, D, B, A) = {\ mbox {b}} (B, A, C , D) = {\ mbox {b}} (D, C, A, B) = {\ frac {1} {k}},}

{\ displaystyle {\ mbox {b}} (A, B, D, C) = {\ mbox {b}} (C, D, B, A) = {\ mbox {b}} (B, A, C , D) = {\ mbox {b}} (D, C, A, B) = {\ frac {1} {k}},}

{\mbox{b}}(A,C,B,D)={\mbox{b}}(D,B,C,A)={\mbox{b}}(C,A,D,B)={\mbox{b}}(B,D,A,C)=1-k,

{\ displaystyle {\ mbox {b}} (A, C, B, D) = {\ mbox {b}} (D, B, C, A) = {\ mbox {b}} (C, A, D , B) = {\ mbox {b}} (B, D, A, C) = 1-k,}

{\ displaystyle {\ mbox {b}} (A, C, B, D) = {\ mbox {b}} (D, B, C, A) = {\ mbox {b}} (C, A, D , B) = {\ mbox {b}} (B, D, A, C) = 1-k,}

{\mbox{b}}(A,D,B,C)={\mbox{b}}(C,B,D,A)={\mbox{b}}(D,A,C,B)={\mbox{b}}(B,C,A,D)={\frac {k-1}{k}},

{\ displaystyle {\ mbox {b}} (A, D, B, C) = {\ mbox {b}} (C, B, D, A) = {\ mbox {b}} (D, A, C , B) = {\ mbox {b}} (B, C, A, D) = {\ frac {k-1} {k}},}

{\ displaystyle {\ mbox {b}} (A, D, B, C) = {\ mbox {b}} (C, B, D, A) = {\ mbox {b}} (D, A, C , B) = {\ mbox {b}} (B, C, A, D) = {\ frac {k-1} {k}},}

{\mbox{b}}(A,D,C,B)={\mbox{b}}(B,C,D,A)={\mbox{b}}(D,A,B,C)={\mbox{b}}(C,B,A,D)={\frac {k}{k-1}},

{\ displaystyle {\ mbox {b}} (A, D, C, B) = {\ mbox {b}} (B, C, D, A) = {\ mbox {b}} (D, A, B , C) = {\ mbox {b}} (C, B, A, D) = {\ frac {k} {k-1}},}

{\ displaystyle {\ mbox {b}} (A, D, C, B) = {\ mbox {b}} (B, C, D, A) = {\ mbox {b}} (D, A, B , C) = {\ mbox {b}} (C, B, A, D) = {\ frac {k} {k-1}},}

{\mbox{b}}(A,C,D,B)={\mbox{b}}(B,D,C,A)={\mbox{b}}(C,A,B,D)={\mbox{b}}(D,B,A,C)={\frac {1}{1-k}}.

{\ displaystyle {\ mbox {b}} (A, C, D, B) = {\ mbox {b}} (B, D, C, A) = {\ mbox {b}} (C, A, B , D) = {\ mbox {b}} (D, B, A, C) = {\ frac {1} {1-k}}.}

{\ displaystyle {\ mbox {b}} (A, C, D, B) = {\ mbox {b}} (B, D, C, A) = {\ mbox {b}} (C, A, B , D) = {\ mbox {b}} (D, B, A, C) = {\ frac {1} {1-k}}.}

Valori asumate

Raportul încrucișat dintre patru puncte distincte este un număr real, altul decât zero. Când cele patru puncte nu sunt distincte, este posibil ca numărătorul și / sau numitorul să fie anulate. În acest caz:

dacă numai numeratorul este anulat, raportul încrucișat este zero;
dacă anulați numai numitorul, puteți atribui în mod convențional valoarea infinită raportului încrucișat;
dacă ambele sunt anulate, raportul încrucișat nu este definit.

În special, dacă există trei puncte distincte, raportul încrucișat este întotdeauna definit și ia valoarea 0, 1 sau $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ în funcție de perechea de puncte coincidente. Mai general, urmează următorul fapt:

Raportul încrucișat de patru puncte este definit și diferit de 0,1, $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ dacă și numai dacă cele patru puncte sunt distincte.

Armonica Quatern

Un cuatern armonic.

Un cuatern armonic este un quatern de puncte $LA, B., C., D.$ ${\ displaystyle A, B, C, D}$ $A, B, C, D$ având un raport încrucișat -1:

{\mbox{b}}\left(A,B,C,D\right)=-1.

{\ displaystyle {\ mbox {b}} \ left (A, B, C, D \ right) = - 1.}

{\ displaystyle {\ mbox {b}} \ left (A, B, C, D \ right) = - 1.}

Un cuatern este armonic dacă și numai dacă relația este valabilă

{\frac {CA}{CB}}=-{\frac {DA}{DB}}.

{\ displaystyle {\ frac {CA} {CB}} = - {\ frac {DA} {DB}}.}

{\ displaystyle {\ frac {CA} {CB}} = - {\ frac {DA} {DB}}.}

Cu alte cuvinte, punctele $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Și $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ împarte segmentul $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ în afara sau în interior în aceeași relație. Se spune că punctele $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Și $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ împarte segmentul armonios $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ .

Definiții conexe

Raportul transversal este o cantitate determinată de patru puncte pe o linie. Pornind de la această definiție de bază, altele sunt, în general, derivate în contexte ușor diferite.

Raportul încrucișat de patru linii incidente

Este posibil să se definească raportul transversal al a patru linii drepte în planul care trece printr-un punct. Acest număr este definit ca raportul încrucișat al celor patru puncte $LA, B., C., D.$ ${\ displaystyle A, B, C, D}$ $A, B, C, D$ care se obțin prin intersectarea celor patru linii cu o dreaptă $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ oricare (care nu este paralel cu niciuna dintre acestea). După cum este ilustrat mai sus, raportul încrucișat este efectiv independent de alegerea $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și, prin urmare, este o cantitate care depinde doar de cele patru linii.

Patru puncte pe o conică

Raportul transversal de patru puncte aparținând unei conici este definit prin fixarea unui punct auxiliar $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ pe conică și luând cele patru linii drepte care trec prin $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și fiecare dintre cele patru puncte. Raportul încrucișat al celor patru puncte este deci raportul încrucișat al celor patru linii obținute, toate trecând prin $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Această valoare este independentă de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . În special, este definit raportul transversal de patru puncte situate pe o circumferință.

Cu toate acestea, raportul transversal al celor patru puncte depinde de conica care le conține (o infinitate de conice diferite trece prin patru puncte).

Arată spre infinit

Raportul transversal este o cantitate care poate fi definită într-un domeniu de aplicare ușor mai larg al geometriei euclidiene: cel al geometriei proiective . Geometria proiectivă adaugă „puncte la infinit” la punctele obișnuite ale planului. La fiecare linie $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ din plan se adaugă apoi un punct $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ . Raportul încrucișat de patru puncte $LA, B., C., D.$ ${\ displaystyle A, B, C, D}$ $A, B, C, D$ pe $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ se extinde prin continuitate la cazul în care se află unul dintre aceste puncte $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ . Cu alte cuvinte, instrumentele de calcul arată că limita există

{\mbox{brp}}(A,B,C,\infty )=\lim _{D\to \infty }{\mbox{brp}}(A,B,C,D)={\frac {CA}{CB}}

{\ displaystyle {\ mbox {brp}} (A, B, C, \ infty) = \ lim _ {D \ to \ infty} {\ mbox {brp}} (A, B, C, D) = {\ frac {CA} {CB}}}

{\ displaystyle {\ mbox {brp}} (A, B, C, \ infty) = \ lim _ {D \ to \ infty} {\ mbox {brp}} (A, B, C, D) = {\ frac {CA} {CB}}}

și, prin urmare, este rezonabil să se definească această limită ca un raport încrucișat de $A,B,C,\infty$ ${\ displaystyle A, B, C, \ infty}$ ${\ displaystyle A, B, C, \ infty}$ .

Geometrie proiectivă

Raportul încrucișat poate fi definit și utilizat în geometria euclidiană și în geometria conexă : geometria în care se încadrează cel mai bine acest concept este, totuși, geometria proiectivă . Acest lucru se datorează în esență a două fapte:

Raportul încrucișat este definit și atunci când unele dintre cele patru puncte sunt „puncte la infinit”
Raportul încrucișat nu se modifică din cauza transformărilor proiective .

Definiție

Este $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ o linie proiectivă pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și sunt $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ ${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}}$ ${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}}$ patru puncte în $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ .

Stabiliți o referință proiectivă pe care o identificați $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ cu $K\cup \{\infty \}$ ${\ displaystyle K \ cup \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle K \ cup \ {\ infty \}}$ . Fiecare dintre puncte $P_{i}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$ $P_ {i}$ este descris ca un element al $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ sau $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ . Raportul încrucișat al celor patru puncte este definit ca

{\rm {b}}(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4})={\frac {(P_{1}-P_{3})(P_{2}-P_{4})}{(P_{1}-P_{4})(P_{2}-P_{3})}}.

{\ displaystyle {\ rm {b}} (P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}) = {\ frac {(P_ {1} -P_ {3}) (P_ { 2} -P_ {4})} {(P_ {1} -P_ {4}) (P_ {2} -P_ {3})}}.}

{\ displaystyle {\ rm {b}} (P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}) = {\ frac {(P_ {1} -P_ {3}) (P_ { 2} -P_ {4})} {(P_ {1} -P_ {4}) (P_ {2} -P_ {3})}}.}

Raportul transversal nu depinde de alegerea referinței proiective.

Referință privilegiată

Invarianța pentru alegerea referinței permite să se dea următoarea definiție în cazul în care ultimele trei puncte sunt distincte. O referință proiectivă este setată prin atribuirea valorilor 1, 0 și $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ la oricare trei puncte ale liniei. Dacă atribuiți aceste valori respectiv punctelor $P_{2},P_{3},P_{4}$ ${\ displaystyle P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}}$ ${\ displaystyle P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}}$ primesti

{\rm {b}}(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4})={\frac {(P_{1})(1-\infty )}{(-\infty )1}}=P_{1}

{\ displaystyle {\ rm {b}} (P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}) = {\ frac {(P_ {1}) (1- \ infty)} { (- \ infty) 1}} = P_ {1}}

{\ displaystyle {\ rm {b}} (P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}) = {\ frac {(P_ {1}) (1- \ infty)} { (- \ infty) 1}} = P_ {1}}

prin urmare, raportul încrucișat de patru puncte este valoarea pe care prima dintre acestea o asumă într-o referință proiecțională care îi plasează pe ceilalți trei în punctele 1,0, $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ .

Invarianță

Raportul încrucișat de patru puncte este invariant pentru orice transformare proiectivă . Din acest fapt general urmează invarianțele din geometria euclidiană: de fapt, următoarele transformări ale planului euclidian pot fi interpretate ca transformări proiective:

toate transformările afine , cum ar fi traducerile , rotațiile , homotetica , reflexiile în planul euclidian;
proiecție între două linii centrate într-un punct (o perspectivă în geometrie proiectivă);
inversiune circulară .

Caz complex

Cand $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este câmpul $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb C$ de numere complexe , linia proiectivă este sfera Riemann , obținută prin adăugarea unui punct la infinit la planul complex . În acest context, transformările proiective sunt transformări Möbius

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\;,\quad ad-bc\neq 0.

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}} \ ;, \ quad ad-bc \ neq 0.}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}} \ ;, \ quad ad-bc \ neq 0.}

Prin urmare, raportul încrucișat este invariant față de aceste transformări.

linkuri externe

( EN ) Raport încrucișat în matematică interactivă
(EN) Hexagrama mistică a lui Pascal Kevin / Brown în paginile de matematică
( EN ) Applet Java care arată invarianța raportului încrucișat pentru transformări afine

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică