Referință proiectivă

În matematică și mai precis în geometria proiectivă , o referință proiectivă este o structură, similară celei de bază pentru spații vectoriale , care permite atribuirea de coordonate omogene fiecărui punct al unui spațiu proiectiv .

Definiție

Este $\mathbb {P} (V)$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (V)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (V)}$ un spațiu proiectiv de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ (acesta este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ are dimensiune $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle n + 1}$ ). O referință proiectivă este o colecție de $n+2$ ${\ displaystyle n + 2}$ ${\ displaystyle n + 2}$ arată în $\mathbb {P} (V)$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (V)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (V)}$

P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n+1}\,\!

{\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, \ ldots, P_ {n + 1} \, \!}

{\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, \ ldots, P_ {n + 1} \, \!}

astfel încât niciun subset de $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ dintre aceste puncte este conținut într-un hiperplan .

Că este astfel bine definit este garantat de așa-numita teoremă fundamentală a geometriei proiective.

Proprietate

De la referința la bază

O referință proiectivă identifică o bază a spațiului vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ într-un mod unic, cu excepția unui factor de multiplicare $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ (nu nul aplicat tuturor vectorilor bazei). Prin intermediul bazei, este deci posibil să scrieți orice vector al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în coordonate și, prin urmare, orice vector de $\mathbb {P} (V)$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (V)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (V)}$ în coordonate omogene .

Mai precis, indicând cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ proiecția

p\colon V\to \mathbb {P} (V),

{\ displaystyle p \ colon V \ to \ mathbb {P} (V),}

{\ displaystyle p \ colon V \ to \ mathbb {P} (V),}

se aplică următorul fapt:

Există o bază $v_{0},\ldots ,v_{n}$ ${\ displaystyle v_ {0}, \ ldots, v_ {n}}$ ${\ displaystyle v_ {0}, \ ldots, v_ {n}}$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ astfel încât

p(v_{0})=P_{0},\ldots ,p(v_{n})=P_{n},\ p(v_{0}+\ldots +v_{n})=P_{n+1}.

{\ displaystyle p (v_ {0}) = P_ {0}, \ ldots, p (v_ {n}) = P_ {n}, \ p (v_ {0} + \ ldots + v_ {n}) = P_ {n + 1}.}

{\ displaystyle p (v_ {0}) = P_ {0}, \ ldots, p (v_ {n}) = P_ {n}, \ p (v_ {0} + \ ldots + v_ {n}) = P_ {n + 1}.}

Orice altă bază cu această proprietate este de tipul $\lambda v_{0},\ldots ,\lambda v_{n}$ ${\ displaystyle \ lambda v_ {0}, \ ldots, \ lambda v_ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda v_ {0}, \ ldots, \ lambda v_ {n}}$ , pentru unii $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Pentru rolul lor, punctele $P_{0},\ldots ,P_{n}$ ${\ displaystyle P_ {0}, \ ldots, P_ {n}}$ ${\ displaystyle P_ {0}, \ ldots, P_ {n}}$ se numesc puncte fundamentale și $P_{n+1}$ ${\ displaystyle P_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle P_ {n + 1}}$ este punctul unitar .

Punctele fundamentale nu sunt suficiente pentru a determina o bază pentru mai puțin de un singur factor $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ global : în acest scop este, de asemenea, necesar să se ia în considerare punctul unitar.

De la bază la coordonatele omogene

Prin bază $v_{0},\ldots v_{n}$ ${\ displaystyle v_ {0}, \ ldots v_ {n}}$ ${\ displaystyle v_ {0}, \ ldots v_ {n}}$ , fiecare vector $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ poate fi descris prin coordonatele sale, determinate de relație

v=a_{0}v_{0}+\ldots a_{n}v_{n}.

{\ displaystyle v = a_ {0} v_ {0} + \ ldots a_ {n} v_ {n}.}

{\ displaystyle v = a_ {0} v_ {0} + \ ldots a_ {n} v_ {n}.}

Coordonatele din $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ De aceea sunt $(a_{0},\ldots ,a_{n})$ ${\ displaystyle (a_ {0}, \ ldots, a_ {n})}$ ${\ displaystyle (a_ {0}, \ ldots, a_ {n})}$ . Apoi îl puteți atribui proiecției sale $p(v)$ ${\ displaystyle p (v)}$ ${\ displaystyle p (v)}$ coordonatele omogene

[a_{0},\ldots ,a_{n}].

{\ displaystyle [a_ {0}, \ ldots, a_ {n}].}

{\ displaystyle [a_ {0}, \ ldots, a_ {n}].}

Factorul arbitrar $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ în alegerea bazei nu afectează rezultatul: de fapt baza $\lambda v_{1},\ldots ,\lambda v_{n}$ ${\ displaystyle \ lambda v_ {1}, \ ldots, \ lambda v_ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda v_ {1}, \ ldots, \ lambda v_ {n}}$ oferă coordonatele

\left[{\frac {a_{0}}{\lambda }},\ldots ,{\frac {a_{n}}{\lambda }}\right]

{\ displaystyle \ left [{\ frac {a_ {0}} {\ lambda}}, \ ldots, {\ frac {a_ {n}} {\ lambda}} \ right]}

{\ displaystyle \ left [{\ frac {a_ {0}} {\ lambda}}, \ ldots, {\ frac {a_ {n}} {\ lambda}} \ right]}

echivalente cu cele anterioare, deoarece sunt omogene.

Coordonatele omogene ale punctelor $P_{0},\ldots ,P_{n+1}$ ${\ displaystyle P_ {0}, \ ldots, P_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle P_ {0}, \ ldots, P_ {n + 1}}$ prin urmare se dovedesc a fi respectiv

{\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{bmatrix}},\ldots ,{\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\\ vdots \\ 0 \ end {bmatrix}} , \ ldots, {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 1 \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\\ vdots \\ 1 \ end {bmatrix} }}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\\ vdots \\ 0 \ end {bmatrix}} , \ ldots, {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 1 \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\\ vdots \\ 1 \ end {bmatrix} }}

Exemple

Linie proiectivă

Într-o linie proiectivă , un sistem proiectiv are nevoie de trei puncte distincte $P_{0},P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}}$ ${\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}}$ Și $P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ , ale căror coordonate vor fi, respectiv, respectiv $[1,0],[0,1]$ ${\ displaystyle [1,0], [0,1]}$ ${\ displaystyle [1,0], [0,1]}$ Și $[1,1]$ ${\ displaystyle [1,1]}$ $[1.1]$ .

Planul proiectiv

Într-un plan proiectiv , un sistem proiectiv are nevoie de patru puncte $P_{0},P_{1},P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$ ${\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$ Și $P_{3}$ ${\ displaystyle P_ {3}}$ ${\ displaystyle P_ {3}}$ . Prin ipoteză, trei dintre aceste patru puncte nu trebuie să se afle niciodată pe aceeași linie, adică nu trebuie aliniate. Coordonatele lor vor fi respectiv $[1,0,0]$ ${\ displaystyle [1,0,0]}$ ${\ displaystyle [1,0,0]}$ , $[0,1,0]$ ${\ displaystyle [0,1,0]}$ ${\ displaystyle [0,1,0]}$ , $[0,0,1]$ ${\ displaystyle [0,0,1]}$ ${\ displaystyle [0,0,1]}$ Și $[1,1,1]$ ${\ displaystyle [1,1,1]}$ ${\ displaystyle [1,1,1]}$ .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică