Matrice inversabilă

În matematică , în special în algebra liniară , o matrice pătrată se numește inversabilă sau ajustată, dacă există o altă matrice astfel încât produsul matricial dintre cele două să returneze matricea identității .

Ansamblul matricilor inversabile de dimensiuni $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ este un grup multiplicativ în raport cu operația obișnuită a produsului cu matrice; o astfel de structură algebrică se numește grup liniar general și se notează cu simbolul $\mathrm {GL} (n)$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n)}$ ${\ mathrm {GL}} (n)$ .

Definiție

O matrice pătrată $A_{n\times n}$ ${\ displaystyle A_ {n \ times n}}$ $A _ {{n \ times n}}$ se numește inversibil dacă există o matrice $B_{n\times n}$ ${\ displaystyle B_ {n \ times n}}$ $B _ {{n \ ori n}}$ astfel încât: ^[1]

AB=BA=I_{n}

{\ displaystyle AB = BA = I_ {n}}

AB = BA = I_ {n}

unde este $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ denotă matricea identității ${n\times n}$ ${\ displaystyle {n \ times n}}$ ${n \ ori n}$ iar înmulțirea utilizată este înmulțirea obișnuită a matricilor .

Dacă acesta este cazul, atunci matricea $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este determinat în mod unic de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ iar 'inversul se numește $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , indicat cu $A^{-1}$ ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$ $A ^ {{- 1}}$ .

În definiție, matricile $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Au valori într-un inel cu unitate .

Definiții echivalente

O matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Este singular dacă are zero determinant . Dintre afirmațiile enumerate mai jos, cea mai importantă este că dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are valori într-un câmp , cum ar fi cel al numerelor reale sau complexe , matricea este inversabilă dacă și numai dacă este non-singular.

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o matrice pătrată ${n\times n}$ ${\ displaystyle {n \ times n}}$ ${n \ ori n}$ cu valori într-un câmp $\Bbbk$ ${\ displaystyle \ Bbbk}$ ${\ displaystyle \ Bbbk}$ (de exemplu, câmpul numerelor reale sau complexe ).

Următoarele afirmații sunt echivalente și caracterizează o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ inversabil:

Există o matrice $B_{n\times n}$ ${\ displaystyle B_ {n \ times n}}$ $B _ {{n \ ori n}}$ astfel încât $AB=BA=I_{n}$ ${\ displaystyle AB = BA = I_ {n}}$ ${\ displaystyle AB = BA = I_ {n}}$ .
Determinantul nu este nul: $\det A\neq 0$ ${\ displaystyle \ det A \ neq 0}$ $\ det A \ neq 0$ .
Gradul de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .
Transpusul $A^{T}$ ${\ displaystyle A ^ {T}}$ $A ^ {T}$ este o matrice inversabilă.
Ecuația L $Ax=0$ ${\ displaystyle Ax = 0}$ $Ax = 0$ (cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ vectori coloană în $\Bbbk ^{n}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ ) are doar soluția banală $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .
Ecuația L $Ax=b$ ${\ displaystyle Ax = b}$ $Ax = b$ are exact o soluție pentru fiecare $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ în $\Bbbk ^{n}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ .
Coloanele din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Ele sunt liniar independente .
Liniile de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Ele sunt liniar independente .
Coloanele din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Genera $\Bbbk ^{n}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ .
Coloanele din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ formând o bază de $\Bbbk ^{n}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ .
Aplicatia liniara $L_{A}$ ${\ displaystyle L_ {A}}$ $ACOLO}$ din $\Bbbk ^{n}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ în $\Bbbk ^{n}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Bbbk ^ {n}}$ dat de: $L_{A}:x\mapsto Ax$ ${\ displaystyle L_ {A}: x \ mapsto Ax}$ ${\ displaystyle L_ {A}: x \ mapsto Ax}$ Este bijectiv .
Numărul 0 nu este o valoare proprie a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Este convertibil în matricea identității $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ prin algoritmul ' Gauss-Jordan .
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Este transformabil folosind algoritmul Gauss-Jordan într-o matrice în trepte cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Pivot .

Proprietate

Același subiect în detaliu: grup liniar general .

Inversul unei matrice inversabile $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este în sine reversibilă și are: ^[2]

(A^{-1})^{-1}=A\

{\ displaystyle (A ^ {- 1}) ^ {- 1} = A \}

(A ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} = A \

Produsul a două matrice inversabile $A_{n\times n}$ ${\ displaystyle A_ {n \ times n}}$ $A _ {{n \ times n}}$ Și $B_{n\times n}$ ${\ displaystyle B_ {n \ times n}}$ $B _ {{n \ ori n}}$ este încă inversabilă, cu inversul dat de:

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\

{\ displaystyle (AB) ^ {- 1} = B ^ {- 1} A ^ {- 1} \}

(AB) ^ {{- 1}} = B ^ {{- 1}} A ^ {{- 1}} \

Ca o consecință a proprietăților anterioare, setul de matrice inversabile $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ Constituie un grup cu multiplicare, cunoscut sub numele de grup liniar general $\mathrm {GL} (n)$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n)}$ ${\ mathrm {GL}} (n)$ .

Deoarece matricile inversabile formează un grup, ele pot fi în multe cazuri manipulate ca și cum ar fi numere reale . De exemplu:

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt inversabile, ecuația $AX=B$ ${\ displaystyle AX = B}$ $AX = B$ are o singură soluție, dată de $X=A^{-1}B$ ${\ displaystyle X = A ^ {- 1} B}$ $X = A ^ {{- 1}} B$ . În mod similar $XA=B$ ${\ displaystyle XA = B}$ $XA = B$ are ca singura solutie $X=BA^{-1}$ ${\ displaystyle X = BA ^ {- 1}}$ $X = BA ^ {{- 1}}$ .

Matrici reale

Pe câmpul numerelor reale mulțimea tuturor matricilor $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ este un spațiu vectorial izomorf la $\mathbb {R} ^{n^{2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n ^ {2}}}$ $\ mathbb {R} ^ {{n ^ {2}}}$ , Și subsetul matricilor neinversibile este un set nul , adică are măsura Lebesgue zero, fiind mulțimea zerourilor determinantului funcției, care este un polinom . Intuitiv, acest lucru înseamnă că probabilitatea ca o matrice pătrată aleatorie la valorile reale să nu fie inversabilă este zero. Aproximativ vorbind, se spune că „aproape toate” matricile sunt inversabile.

Matrice inversabilă într-un inel

Teorema matricei inversabile nu se aplică în general într-un inel comutativ . În acest caz, matricea este inversabilă dacă și numai dacă determinantul său este o unitate , care este inversabilă, în acest inel.

Sisteme liniare

Același subiect în detaliu: Set de ecuații liniare .

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este inversabilă, ecuația $AX=B$ ${\ displaystyle AX = B}$ $AX = B$ are o singură soluție, dată de $X=A^{-1}B$ ${\ displaystyle X = A ^ {- 1} B}$ $X = A ^ {{- 1}} B$ . În mod similar $XA=B$ ${\ displaystyle XA = B}$ $XA = B$ are ca singura solutie $X=BA^{-1}$ ${\ displaystyle X = BA ^ {- 1}}$ $X = BA ^ {{- 1}}$ .

În cazul particular în care $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ au dimensiuni ${n\times 1}$ ${\ displaystyle {n \ times 1}}$ ${n \ ori 1}$ , Care sunt vectori de coloană , ecuația $AX=B$ ${\ displaystyle AX = B}$ $AX = B$ reprezintă un sistem liniar, unde $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este matricea coeficienților. ^[3]

$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este inversabil dacă sistemul are o soluție unică sau, echivalent, dacă sistemul omogen asociat are vectorul nul ca singură soluție. ^[4]

Calculul matricei inverse

Există diverse metode pentru calcularea inversului unei matrice pătrate inversabile $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Matrici de ordine 2

Matricea inversă a unei matrice 2 pentru 2 inversabile:

{\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} {{a}} și {{b}} \\ {{c}} și {{d}} \ end {pmatrix}}

este următorul:

{\begin{pmatrix}{\frac {d}{{a}{d}-{b}{c}}}&{\frac {-b}{{a}{d}-{b}{c}}}\\{\frac {-c}{{a}{d}-{b}{c}}}&{\frac {a}{{a}{d}-{b}{c}}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{{a}{d}-{b}{c}}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {d} {{a} {d} - {b} {c}}} și {\ frac {-b} {{a} {d} - {b} {c}}} \\ {\ frac {-c} {{a} {d} - {b} {c}}} și {\ frac {a} {{a} {d} - {b} {c }}} \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {{a} {d} - {b} {c}}} {\ begin {pmatrix} d & -b \\ - c & a \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} {\ frac {{d}} {{a} {d} - {b} {c}}} și {\ frac {{-b}} {{a} {d} - {b } {c}}} \\ {\ frac {{-c}} {{a} {d} - {b} {c}}} & {\ frac {{a}} {{a} {d} - {b} {c}}} \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {{a} {d} - {b} {c}}} {\ begin {pmatrix} d & -b \\ - c & a \ end {pmatrix}}

Metoda matricei cofactorilor

Același subiect în detaliu: Matrice de cofactori și cofactor (matematică) .

Metoda matricei cofactorilor este deosebit de rapidă atunci când nu este interesată să calculeze toate elementele matricei inverse și când matricea are o dimensiune limitată. De asemenea, având variabile literal între elemente nu crește foarte mult complexitatea calculului.

Având în vedere o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pătrat și inversabil:

A={\begin{pmatrix}\;[A]_{1,1}&\ldots &[A]_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\;[A]_{n,1}&\ldots &[A]_{n,n}\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} \; [A] _ {1,1} & \ ldots & [A] _ {1, n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\\; [ A] _ {n, 1} & \ ldots & [A] _ {n, n} \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} \; [A] _ {1,1} & \ ldots & [A] _ {1, n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\\; [ A] _ {n, 1} & \ ldots & [A] _ {n, n} \\\ end {pmatrix}}}

inversul său $A^{-1}$ ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$ $A ^ {- 1}$ este următorul:

A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\cdot (\mathrm {cof} \;A)^{T}

{\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ det (A)}} \ cdot (\ mathrm {cof} \; A) ^ {T}}

A ^ {{- 1}} = {\ frac {1} {\ det (A)}} \ cdot ({\ mathrm {cof}} \; A) ^ {T}

unde este $\det(A)$ ${\ displaystyle \ det (A)}$ $\ det (A)$ Este determinantul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , matricea $\mathrm {cof} A$ ${\ displaystyle \ mathrm {cof} A}$ ${\ mathrm {cof}} A$ Este matricea cofactorilor (sau a complementelor algebrice) și a exponentului $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ Indică operațiunea de transpunere a matricilor.

O schemă mnemonică pentru schimbarea semnului $(-1)^{i+j}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {i + j}}$ $(-1) ^ {i + j}$ este următorul:

{\begin{pmatrix}+&-&+&\ldots \\-&+&-&\ldots \\+&-&+&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} + & - & + & \ ldots \\ - & + & - & \ ldots \\ + & - & + & \ ldots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} + & - & + & \ ldots \\ - & + & - & \ ldots \\ + & - & + & \ ldots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \ end { pmatrix}}

Algoritm Gauss-Jordan

Algoritmul L ' Gauss-Jordan poate fi folosit pentru a găsi (dacă există) inversul unei matrice. Funcționează după cum urmează: fie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o matrice inversabilă. Matricea este construită $B=(A|I)$ ${\ displaystyle B = (A | I)}$ $B = (A | I)$ cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ linii și $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ coloane una lângă alta $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și matricea identității $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . Acum aplicați algoritmul lui Gauss-Jordan la noul $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Acest algoritm transformă matricea $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ într-o matrice în trepte, care va fi de tipul $(I|C)$ ${\ displaystyle (I | C)}$ $(I | C)$ . Matricea $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ astfel găsit este doar inversul lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Următorul exemplu arată că inversul:

A={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \ end {pmatrix}}}

A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \ end {pmatrix}}

este matricea:

C={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle C = {\ begin {pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \ end {pmatrix}}}

C = {\ begin {pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \ end {pmatrix}}

Intr-adevar:

{\begin{pmatrix}1&2&\|&1&0\\2&3&\|&0&1\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\2&3&\|&0&1\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\0&-1&\|&-2&1\end{pmatrix}}\to

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & \ | & 1 & 0 \\ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & -1 & \ | & -2 & 1 \ end {pmatrix}} \ to}

{\ begin {pmatrix} 1 & 2 & \ | & 1 & 0 \\ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & -1 & \ | & -2 & 1 \ end {pmatrix}} \ to

{\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\0&4&\|&8&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-2&0&\|&6&-4\\0&4&\|&8&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}1&0&\|&-3&2\\0&1&\|&2&-1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} - 2 & 0 & \ | & 6 & -4 \\ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & \ | & -3 & 2 \ \ 0 & 1 & \ | & 2 & -1 \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} -2 & 0 & \ | & 6 & -4 \\ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & \ | & -3 & 2 \\ 0 & 1 & \ | & 2 & -1 \ end {pmatrix}}

În primul pas, primul rând a fost multiplicat cu $-2$ ${\ displaystyle -2}$ $-2$ , în al doilea primul rând a fost adăugat la al doilea rând, în al treilea al doilea rând a fost înmulțit cu $-4$ ${\ displaystyle -4}$ $-4$ , în al patrulea pas, al doilea rând a fost adăugat la primul rând și, în cele din urmă, în ultimul pas, primul rând a fost împărțit la $-2$ ${\ displaystyle -2}$ $-2$ iar al doilea pentru $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ . În acest fel am pornit de la o matrice de $(A|I)$ ${\ displaystyle (A | I)}$ $(A | I)$ și a ajuns la $(I|C)$ ${\ displaystyle (I | C)}$ $(I | C)$ . Are asta $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este inversul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Inversul unei matrici partiționate

Având o matrice de bloc partiționată :

A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} \\ A_ {21} & A_ {22} \ end {pmatrix}}}

A = {\ begin {pmatrix} A _ {{11}} & A _ {{12}} \\ A _ {{21}} & A _ {{22}} \ end {pmatrix}}

în care submatrixurile de pe diagonală $(A_{11}$ ${\ displaystyle (A_ {11}}$ $(A _ {{11}}$ Și $A_{22})$ ${\ displaystyle A_ {22})}$ $A _ {{22}})$ sunt pătrate și nu singular, se poate arăta că inversul lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este egal cu:

A^{-1}={\begin{pmatrix}A_{11}^{-1}(I+A_{12}\,B_{22}\,A_{21}A_{11}^{-1})&-A_{11}^{-1}A_{12}\,B_{22}\\-B_{22}A_{21}A_{11}^{-1}&B_{22}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} A_ {11} ^ {- 1} (I + A_ {12} \, B_ {22} \, A_ {21} A_ {11} ^ { -1}) & - A_ {11} ^ {- 1} A_ {12} \, B_ {22} \\ - B_ {22} A_ {21} A_ {11} ^ {- 1} & B_ {22} \ end {pmatrix}}}

A ^ {{- 1}} = {\ begin {pmatrix} A _ {{11}} ^ {{- 1}} (I + A _ {{12}} \, B _ {{22}} \, A _ {{21}} A _ {{11}} ^ {{- 1}}) & - A _ {{11}} ^ {{- 1}} A _ {{12}} \, B _ { {22}} \\ - B_ {{22}} A _ {{21}} A _ {{11}} ^ {{- 1}} & B _ {{22}} \ end {pmatrix}}

unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Este o matrice de identitate de ordine adecvată și:

B_{22}=(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1}

{\ displaystyle B_ {22} = (A_ {22} -A_ {21} A_ {11} ^ {- 1} A_ {12}) ^ {- 1}}

B _ {{22}} = (A _ {{22}} - A _ {{21}} A _ {{11}} ^ {{- 1}} A _ {{12}}) ^ {{- 1}}

adică:

A^{-1}={\begin{pmatrix}B_{11}&-B_{11}A_{12}A_{22}^{-1}\\-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}&A_{22}^{-1}(I+A_{21}B_{11}A_{12}A_{22}^{-1})\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} B_ {11} & - B_ {11} A_ {12} A_ {22} ^ {- 1} \\ - A_ {22} ^ {- 1 } A_ {21} B_ {11} și A_ {22} ^ {- 1} (I + A_ {21} B_ {11} A_ {12} A_ {22} ^ {- 1}) \ end {pmatrix}} }

A ^ {{- 1}} = {\ begin {pmatrix} B _ {{11}} & - B _ {{11}} A _ {{12}} A _ {{22}} ^ {{- 1 }} \\ -A _ {{22}} ^ {{- 1}} A _ {{21}} B _ {{11}} & A _ {{22}} ^ {{- 1}} (I + A _ {{21}} B_ {{11}} A _ {{12}} A _ {{22}} ^ {{- 1}}) \ end {pmatrix}}

cu:

B_{11}=(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}

{\ displaystyle B_ {11} = (A_ {11} -A_ {12} A_ {22} ^ {- 1} A_ {21}) ^ {- 1}}

B _ {{11}} = (A _ {{11}} - A _ {{12}} A _ {{22}} ^ {{- 1}} A _ {{21}}) ^ {{- 1}}

Notă

^ S. Lang , Pag. 68.
^ Hoffman, Kunze , p. 22.
^ Un raționament similar se aplică și pentru $XA=B$ ${\ displaystyle XA = B}$ $XA = B$ , dar aici $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ trebuie să fie vectori de rând.
^ Hoffman, Kunze , Pag. 23.

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
(EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, NJ, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
(EN) Roger A. Horn și Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press , 1985, p. 14, ISBN 978-0-521-38632-6 .
(EN) Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra , 3rd, SIAM, 2003, p. 71, ISBN 0-9614088-9-8 . , Capitolul 2, pagina 71
(EN) Dennis Bernstein, Matrix Mathematics, Princeton University Press, 2005, p. 44, ISBN 0-691-11802-7 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Kh.D. Ikramov, Inversion of a matrix , în Encyclopedia of Mathematics , Springer and the European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, matrice nesingulară , în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formula at Google books
(EN) Equations Solver Online pe solvingequations.net. Adus la 24 aprilie 2019 (depus de „url original 18 martie 2016).
(EN) Prelegere despre matricile inverse de Khan Academy , pe khanacademy.org (depusă de „Original url la 3 noiembrie 2011).
(EN) Prelegere de algebră liniară despre matrici inverse de MIT pe ocw.mit.edu.
(EN) LAPACK este o colecție de subrutine Fortran pentru rezolvarea problemelor de algebră liniară densă
Program care calculează inversul unei matrice , pe evinive.altervista.org . Adus 21 iulie 2021 (depus de „Adresa URL originală 22 aprilie 2016).
Program paralel MPI pentru a calcula inversa unei matrice , a parallelknoppix.info. Adus la 10 aprilie 2011 (depus de „url original 13 ianuarie 2012).

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[def-1] S. Lang , Pag. 68.

[2] Hoffman, Kunze , p. 22.

[3] Un raționament similar se aplică și pentru $XA=B$ ${\ displaystyle XA = B}$ $XA = B$ , dar aici $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ trebuie să fie vectori de rând.

[4] Hoffman, Kunze , Pag. 23.

[1]

[2]

[3]

[4]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema