Set de generatoare

În algebra liniară , un subset $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ a unui set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu structură algebrică este un set de generatoare (sau sistem de generatoare ) pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă toate elementele de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poate fi obținut din elementele de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , prin combinații de operații definite la $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Mai general, dacă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este un subset de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , întregul $\langle S\rangle$ ${\ displaystyle \ langle S \ rangle}$ $\ langle S \ rangle$ generat de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este cel mai mic subset al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ închis în ceea ce privește operațiunile definite la $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ conținând $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$

În cele mai frecvente cazuri, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un grup , un inel sau un spațiu vectorial .

De obicei, structurile care admit un număr finit de generatoare sunt o clasă mai ușor de studiat: astfel obținem grupurile finit generate și spațiile vectoriale de dimensiune finită.

Grupuri

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup e $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ un subset de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Subgrupul $\langle S\rangle$ ${\ displaystyle \ langle S \ rangle}$ $\ langle S \ rangle$ generat de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este cel mai mic subgrup al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ care contine $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . De sine $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este întregul gol, $\langle S\rangle$ ${\ displaystyle \ langle S \ rangle}$ $\ langle S \ rangle$ este deci subgrupul banal $\{e\}$ ${\ displaystyle \ {e \}}$ $\{Și\}$ . De sine $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ atunci nu este gol $\langle S\rangle$ ${\ displaystyle \ langle S \ rangle}$ $\ langle S \ rangle$ constă din toate elementele care pot fi exprimate ca produs al elementelor din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și inversele lor.

Grup ciclic

Același subiect în detaliu: grup ciclic .

Cand $S=\{x\}$ ${\ displaystyle S = \ {x \}}$ $S = \ {x \}$ are un singur element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , apoi se scurtează $\langle S\rangle =\langle x\rangle$ ${\ displaystyle \ langle S \ rangle = \ langle x \ rangle}$ $\ langle S \ rangle = \ langle x \ rangle$ . În acest caz $\langle x\rangle =\{x^{i}:i\in \mathbf {Z} \}$ ${\ displaystyle \ langle x \ rangle = \ {x ^ {i}: i \ in \ mathbf {Z} \}}$ $\ langle x \ rangle = \ {x ^ i: i \ in \ mathbf {Z} \}$ este subgrupul ciclic format din toate puterile lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

În general, un grup ciclic este un grup care poate fi generat dintr-un singur element.

Grup generat finit

Un grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este generat finit dacă are un set finit de generatoare. Enumerăm câteva exemple și proprietăți ale grupurilor generate finit.

Fiecare grup a terminat $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este generat finit, deoarece $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ în sine este un set de generatoare.
Întregii formează un grup finit, dar nu finit.
Numerele raționale formează un grup care nu este generat finit.
Produsul direct a două grupuri finit generate este generat finit.
Un coeficient generat finit al unui grup este generat finit. Pe de altă parte, un subgrup al unui grup generat finit nu poate fi generat finit.

Inele

Este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ un inel și $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ un subset al acestuia. Inelul sub $\langle S\rangle$ ${\ displaystyle \ langle S \ rangle}$ $\ langle S \ rangle$ generat de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este cel mai mic subinel al $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ care conține elementele de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Se compune din toate combinațiile de sume și produse ale elementelor din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și contrariile lor.

Spații vectoriale

Același subiect în detaliu: acoperire liniară .

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial definit pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Un set de generatoare $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ este un set de vectori ai $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ astfel încât fiecare vector al $V.$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ este o combinație liniară a unui număr finit de elemente ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . În termeni mai formali: fie el $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ un set de indici, un set de generatoare $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un set de vectori ca acesta:

G=\lbrace v_{i}\in V,i\in I\;|\;\forall v\in V,\exists n\in \mathbb {N} :v=\sum \limits _{j=1}^{n}a_{j}v_{i_{j}};\ a_{1},\ldots ,a_{n}\in K;i_{1},\ldots ,i_{n}\in I\}.

{\ displaystyle G = \ lbrace v_ {i} \ in V, i \ in I \; | \; \ forall v \ in V, \ există n \ in \ mathbb {N}: v = \ sum \ limits _ { j = 1} ^ {n} a_ {j} v_ {i_ {j}}; \ a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ în K; i_ {1}, \ ldots, i_ {n} \ în I \}.}

{\ displaystyle G = \ lbrace v_ {i} \ in V, i \ in I \; | \; \ forall v \ in V, \ există n \ in \ mathbb {N}: v = \ sum \ limits _ { j = 1} ^ {n} a_ {j} v_ {i_ {j}}; \ a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ în K; i_ {1}, \ ldots, i_ {n} \ în I \}.}

Definiția furnizată ia în considerare cazul mai general, adică cel în care un set de generatoare poate fi alcătuit dintr-un număr infinit de elemente. În cazul în care setul de generatoare $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ constă dintr-un număr finit de elemente, definiția este echivalentă cu următoarea:

G=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\in V\;|\;\forall v\in V,v=a_{1}v_{1}+\ldots +a_{n}v_{n};\ a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.

{\ displaystyle G = \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {n} \ in V \; | \; \ forall v \ in V, v = a_ {1} v_ {1} + \ ldots + a_ { n} v_ {n}; \ a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ în K \}.}

{\ displaystyle G = \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {n} \ in V \; | \; \ forall v \ in V, v = a_ {1} v_ {1} + \ ldots + a_ { n} v_ {n}; \ a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ în K \}.}

Unele proprietăți pot fi deduse imediat:

Baza unui spațiu vectorial este întotdeauna un set de generatoare; dimpotrivă, un set de generatoare nu este neapărat o bază.
Cardinalitatea minimă a unui set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ de generatoare pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este mărimea lui $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

O definiție echivalentă poate fi furnizată folosind operatorul după cum urmează $\mathrm {Span}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Span}}$ ${\ mathrm {Span}}$ ( acoperire liniară ) ^[1] . Un set de vectori $(v_{i})_{i\in I}$ ${\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ în I}}$ ${\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ în I}}$ este un set de generatoare pentru spațiul vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ dacă și numai dacă $V=\mathrm {Span} ((v_{i})_{i\in I})$ ${\ displaystyle V = \ mathrm {Span} ((v_ {i}) _ {i \ in I})}$ ${\ displaystyle V = \ mathrm {Span} ((v_ {i}) _ {i \ in I})}$ . În special, un set finit de vectori $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {n} \}}$ este un set de generatoare pentru spațiul vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ dacă și numai dacă $V=\mathrm {Span} (v_{1},\ldots ,v_{n})$ ${\ displaystyle V = \ mathrm {Span} (v_ {1}, \ ldots, v_ {n})}$ ${\ displaystyle V = \ mathrm {Span} (v_ {1}, \ ldots, v_ {n})}$ .

Notă

^ Marco Abate, Geometry , Milano, McGraw-Hill, 1996, pp. 31 , 76.

Bibliografie

( EN ) Coxeter, HSM și Moser, WOJ, Generatori și relații pentru grupuri discrete , New York, Springer-Verlag, 1980, ISBN 0-387-09212-9 .
( EN ) Arfken, G. „Generatori”. §4.11 în Metode matematice pentru fizicieni, ed . A III-a . Orlando, FL: Academic Press, pp. 261-267, 1985.
Marco Abate, Geometrie , Milano, McGraw-Hill, 1996.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Mathworld: un grup de generatoare , pe mathworld.wolfram.com.
YouMath.it: sistem de generatoare de spațiu vectorial , pe youmath.it .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Marco Abate, Geometry , Milano, McGraw-Hill, 1996, pp. 31 , 76.

[1]