Pseudo-invers

În matematică și în special în algebră liniară , matricea pseudo-inversă sau pseudo-inversă a Moore-Penrose a unei matrice date $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este indicat cu $A^{+}$ ${\ displaystyle A ^ {+}}$ $A ^ {+}$ și este generalizarea matricei inverse la cazul în care $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu este pătrat .

Matricea pseudo-inversă intervine în soluționarea problemei celor mai mici pătrate .

Definiție

Având în vedere matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ in marime $n\times m$ ${\ displaystyle n \ times m}$ $n \ ori m$ , o matrice $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ se numește pseudo-inversă a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă verifică următoarele patru proprietăți:

$AA^{+}A=A,$ ${\ displaystyle AA ^ {+} A = A,}$ $AA ^ {+} A = A,$
$A^{+}AA^{+}=A^{+},$ ${\ displaystyle A ^ {+} AA ^ {+} = A ^ {+},}$ $A ^ {+} AA ^ {+} = A ^ {+},$
$(AA^{+})^{T}=AA^{+},$ ${\ displaystyle (AA ^ {+}) ^ {T} = AA ^ {+},}$ $(AA ^ {+}) ^ {T} = AA ^ {+},$
$(A^{+}A)^{T}=A^{+}A.$ ${\ displaystyle (A ^ {+} A) ^ {T} = A ^ {+} A.}$ $(A ^ {+} A) ^ {T} = A ^ {+} A.$

Având în vedere o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , există o singură matrice pseudo-inversă care verifică proprietățile anterioare.

Dacă matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are rang maxim există o expresie algebrică simplă pentru a determina pseudo-inversa. În special, având în vedere matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ in marime $n\times m$ ${\ displaystyle n \ times m}$ $n \ ori m$ cu $n\geq m$ ${\ displaystyle n \ geq m}$ $n \ geq m$ și rang $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , matricea pseudo-inversă a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este matricea

A^{+}=(A^{T}A)^{-1}A^{T},

{\ displaystyle A ^ {+} = (A ^ {T} A) ^ {- 1} A ^ {T},}

A ^ {+} = (A ^ {T} A) ^ {{- 1}} A ^ {T},

și este un invers stânga, adică

A^{+}A=I,

{\ displaystyle A ^ {+} A = I,}

A ^ {+} A = I,

unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este matricea identității . Dar dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ in marime $n\times m$ ${\ displaystyle n \ times m}$ $n \ ori m$ cu $n\leq m$ ${\ displaystyle n \ leq m}$ $n \ leq m$ și rang $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ matricea pseudo-inversă este următoarea

A^{+}=A^{T}(AA^{T})^{-1},

{\ displaystyle A ^ {+} = A ^ {T} (AA ^ {T}) ^ {- 1},}

A ^ {+} = A ^ {T} (AA ^ {T}) ^ {{- 1}},

și este un invers drept, adică

AA^{+}=I.

{\ displaystyle AA ^ {+} = I.}

AA ^ {+} = I.

Formula generală

Este $A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times m}}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times m}}$ o adevărată matrice de rang $r\leq \min\{n,m\}$ ${\ displaystyle r \ leq \ min \ {n, m \}}$ ${\ displaystyle r \ leq \ min \ {n, m \}}$ . Folosind descompunerea valorii singulare (SVD) a matricei $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , da

A=U\Sigma V^{T}

{\ displaystyle A = U \ Sigma V ^ {T}}

{\ displaystyle A = U \ Sigma V ^ {T}}

unde este $U\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ ${\ displaystyle U \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle U \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ , $\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times m}$ ${\ displaystyle \ Sigma \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times m}}$ ${\ displaystyle \ Sigma \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times m}}$ , $V\in \mathbb {R} ^{m\times m}$ ${\ displaystyle V \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times m}}$ ${\ displaystyle V \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times m}}$ . Matricile $U, V.$ ${\ displaystyle U, V}$ ${\ displaystyle U, V}$ sunt matrici unitare ; mai mult, în general, nu sunt unice. În schimb, matricea $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ este unic, este o matrice dreptunghiulară diagonală și conține toate valorile singulare ale matricei $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pe diagonala sa principală, sortată în ordine descrescătoare: $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \dots \geq \sigma _{r}>0$ ${\ displaystyle \ sigma _ {1} \ geq \ sigma _ {2} \ geq \ dots \ geq \ sigma _ {r}> 0}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {1} \ geq \ sigma _ {2} \ geq \ dots \ geq \ sigma _ {r}> 0}$ . Cu această formulare, rezultă că pseudo-inversul matricei inițiale este dat de

A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{T}

{\ displaystyle A ^ {+} = V \ Sigma ^ {+} U ^ {T}}

{\ displaystyle A ^ {+} = V \ Sigma ^ {+} U ^ {T}}

unde este $\Sigma ^{+}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ ${\ displaystyle \ Sigma ^ {+} \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n}}$ ${\ displaystyle \ Sigma ^ {+} \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n}}$ (pseudo-invers al $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ ) este calculabil în mod explicit luând transpunerea lui $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ și înlocuirea valorilor singular nule, $\sigma _{1},\dots ,\sigma _{r}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ dots, \ sigma _ {r}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ dots, \ sigma _ {r}}$ , reciprocă. Dovada validității formulei urmează prin calcul direct.

Mai mult, folosind rescrierea dată de SVD, se poate verifica că:

AA^{+}=U{\begin{bmatrix}I_{r\times r}&0_{r\times (n-r)}\\0_{(n-r)\times r}&0_{(n-r)\times (n-r)}\end{bmatrix}}U^{T}

{\ displaystyle AA ^ {+} = U {\ begin {bmatrix} I_ {r \ times r} & 0_ {r \ times (nr)} \\ 0 _ {(nr) \ times r} & 0 _ {( nr) \ times (nr)} \ end {bmatrix}} U ^ {T}}

{\ displaystyle AA ^ {+} = U {\ begin {bmatrix} I_ {r \ times r} & 0_ {r \ times (nr)} \\ 0 _ {(nr) \ times r} & 0 _ {( nr) \ times (nr)} \ end {bmatrix}} U ^ {T}}

și în mod similar

A^{+}A=V{\begin{bmatrix}I_{r\times r}&0_{r\times (m-r)}\\0_{(m-r)\times r}&0_{(m-r)\times (m-r)}\end{bmatrix}}V^{T}

{\ displaystyle A ^ {+} A = V {\ begin {bmatrix} I_ {r \ times r} & 0_ {r \ times (mr)} \\ 0 _ {(mr) \ times r} & 0 _ { (mr) \ times (mr)} \ end {bmatrix}} V ^ {T}}

{\ displaystyle A ^ {+} A = V {\ begin {bmatrix} I_ {r \ times r} & 0_ {r \ times (mr)} \\ 0 _ {(mr) \ times r} & 0 _ { (mr) \ times (mr)} \ end {bmatrix}} V ^ {T}}

.

Toate formulele anterioare sunt valabile și în cazul matricilor complexe, cu condiția ca transpunerea să fie înlocuită cu transpunerea conjugată.

Proprietate

Pseudo-inversul pseudo-inversului este matricea inițială: $(A^{+})^{+}=A$ ${\ displaystyle (A ^ {+}) ^ {+} = A}$ $(A ^ {+}) ^ {+} = A$ .
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este pătrat cu rang maxim atunci pseudo-inversul coincide cu matricea inversă standard: $A^{+}=A^{-1}$ ${\ displaystyle A ^ {+} = A ^ {- 1}}$ $A ^ {+} = A ^ {{- 1}}$ .
Pseudo-inversul transpunerii este transpunerea pseudo-inversului: $(A^{+})^{T}=(A^{T})^{+}$ ${\ displaystyle (A ^ {+}) ^ {T} = (A ^ {T}) ^ {+}}$ $(A ^ {+}) ^ {T} = (A ^ {T}) ^ {+}$ .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică