Valoare unică

În matematică , termenul valoare singular este folosit pentru a indica două concepte distincte, respectiv utilizate în algebră liniară și analiză funcțională și în contextul integralelor eliptice .

Algebră liniară și analiză funcțională

În analiza funcțională , valorile singulare ale unui operator compact $T:X\to Y$ ${\ displaystyle T: X \ to Y}$ ${\ displaystyle T: X \ to Y}$ care mapează între două spații Hilbert $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt rădăcinile pătrate ale valorilor proprii ale operatorului non-negativ autoadjunct $T^{*}T:X\to X$ ${\ displaystyle T ^ {*} T: X \ to X}$ ${\ displaystyle T ^ {*} T: X \ to X}$ (unde este $T^{*}$ ${\ displaystyle T ^ {*}}$ $T ^ {*}$ este operatorul adjunct al $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ).

Acestea sunt numere reale non-negative scrise de obicei în ordine descrescătoare, cum ar fi $(s_{1}(T),s_{2}(T),\dots )$ ${\ displaystyle (s_ {1} (T), s_ {2} (T), \ dots)}$ ${\ displaystyle (s_ {1} (T), s_ {2} (T), \ dots)}$ . De sine $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ majorul este la rândul său autoadjunct $s_{1}$ ${\ displaystyle s_ {1}}$ $s_ {1}$ între valorile singulare este egal cu norma operatorului de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ .

În algebra liniară , în cazul unei matrice normale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ teorema spectrală poate fi aplicată pentru a obține o diagonalizare $U\lambda U^{*}$ ${\ displaystyle U \ lambda U ^ {*}}$ ${\ displaystyle U \ lambda U ^ {*}}$ (prin matrici unitare) de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât ${\sqrt {A^{*}A}}=U|\Lambda |U^{*}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {A ^ {*} A}} = U | \ Lambda | U ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {A ^ {*} A}} = U | \ Lambda | U ^ {*}}$ și, prin urmare, valorile singulare sunt pur și simplu valorile absolute ale valorilor proprii.

În cazul dimensiunii finite, prin descompunerea la valori singular, o matrice poate fi descompusă în formă $U D. W$ ${\ displaystyle UDW}$ ${\ displaystyle UDW}$ unde este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ sunt matrici unitare și $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ o matrice diagonală (dreptunghiulară) cu valori proprii pe diagonală.

Conceptul a fost introdus de Erhard Schmidt în 1907. Cu toate acestea, Schmidt a numit valorile singulare „valori proprii”; termenul se datorează Smithies, în 1937. În 1957, Allahverdiev a arătat următoarea caracterizare pentru a n-a valoare singulară:

s_{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:{\text{ rk }}(L)<n\,{\big \}}

{\ displaystyle s_ {n} (T) = \ inf {\ big \ {} \, \ | TL \ |: {\ text {rk}} (L) <n \, {\ big \}}}

{\ displaystyle s_ {n} (T) = \ inf {\ big \ {} \, \ | T-L \ |: {\ text {rk}} (L) <n \, {\ big \}}}

Această formulare ne permite să extindem noțiunea de valoare singulară la operatorii din spațiile Banach .

Integrale eliptice

În contextul integralelor eliptice , o valoare singulară este un modul eliptic $k_{r}$ ${\ displaystyle k_ {r}}$ ${\ displaystyle k_ {r}}$ astfel încât:

{\frac {K'(k_{r})}{K(k_{r})}}={\sqrt {r}}

{\ displaystyle {\ frac {K '(k_ {r})} {K (k_ {r})}} = {\ sqrt {r}}}

{\ displaystyle {\ frac {K '(k_ {r})} {K (k_ {r})}} = {\ sqrt {r}}}

unde este $K(k)$ ${\ displaystyle K (k)}$ ${\ displaystyle K (k)}$ este o integrală eliptică completă de primul fel și:

K'(k_{r})\equiv K\left({\sqrt {1-k_{r}^{2}}}\right)

{\ displaystyle K '(k_ {r}) \ equiv K \ left ({\ sqrt {1-k_ {r} ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle K '(k_ {r}) \ equiv K \ left ({\ sqrt {1-k_ {r} ^ {2}}} \ right)}

Bibliografie

(EN) Gohberg, IC și Kerin, MG Introducere în teoria operatorilor liniari non-autoadjuncti. Societatea Americană de Matematică, Providence, RI, 1969. Traducere din limba rusă de A. Feinstein. Traduceri ale monografiilor matematice, vol. 18.
( EN ) Golub, GH și Van Loan, CF Matrix Computations, ediția a 3-a . Baltimore, MD: Johns Hopkins, 1996.
( EN ) Marcus, M. și Minc, H. Introducere în algebra liniară . New York: Dover, p. 191, 1988.
(EN) Marcus, M. și Minc, H. A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities. New York: Dover, p. 69, 1992.
( EN ) Whittaker, ET și Watson, GN Un curs de analiză modernă, ediția a IV-a . Cambridge, Anglia: Cambridge University Press, pp. 524-528, 1990.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Singular Value in MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema