Integrală eliptică

În matematică și în special în calculul integral , o integrală eliptică este orice funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ care poate fi exprimat sub forma:

f(x)=\int _{c}^{x}R(t,P(t))\ dt

{\ displaystyle f (x) = \ int _ {c} ^ {x} R (t, P (t)) \ dt}

{\ displaystyle f (x) = \ int _ {c} ^ {x} R (t, P (t)) \ dt}

unde este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ denotă o funcție rațională a celor două argumente ale sale, $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este rădăcina pătrată a unui polinom într-o variabilă de grad $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ sau $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ lipsit de rădăcini multiple e $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este o constantă. Functia $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ conține cel puțin o putere ciudată de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , in timp ce $R^{2}$ ${\ displaystyle R ^ {2}}$ $R ^ {2}$ nu are factori repetați. ^[1]

Conceptul unei integrale eliptice a apărut inițial în legătură cu problema calculării lungimii arcurilor unei elipse . Primii care s-au interesat de ei și i-au studiat au fost Fagnano și Eulero .

În general, integralele eliptice nu pot fi exprimate în termeni de funcții elementare; există excepții de la acest lucru atunci când $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ are rădăcini repetate sau când $R(x,y)$ ${\ displaystyle R (x, y)}$ ${\ displaystyle R (x, y)}$ nu conține puteri ciudate de $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Cu toate acestea, cu reduceri adecvate ale formulelor, orice integrală eliptică poate fi readusă la o formă care implică integralele funcțiilor raționale și cele trei forme canonice: integrale eliptice de primul, al doilea și al treilea tip.

În plus față de formele definite mai sus, integralele eliptice pot fi exprimate sub forma lui Legendre și în forma simetrică a lui Carlson . Informații suplimentare în teoria integralelor incomplete pot fi obținute prin utilizarea transformării Schwarz-Christoffel .

Funcțiile eliptice au fost descoperite ca funcții inverse ale integralelor eliptice, în special cele $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ astfel încât ai $F({\textrm {sn}}(z;k);k)=z$ ${\ displaystyle F ({\ textrm {sn}} (z; k); k) = z}$ ${\ displaystyle F ({\ textrm {sn}} (z; k); k) = z}$ , unde este ${\textrm {sn}}$ ${\ displaystyle {\ textrm {sn}}}$ ${\ displaystyle {\ textrm {sn}}}$ denotă una dintre funcțiile eliptice ale lui Jacobi .

Notaţie

Integralele eliptice sunt adesea exprimate ca funcții ale unor argumente definite diferit. Aceste reprezentări sunt complet echivalente (dau aceeași integrală eliptică), dar pot fi confuze datorită aspectului lor diferit. Majoritatea textelor folosesc o schemă canonică de nume de subiecte:

$k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este modulul eliptic (sau excentricitate )
$m=k^{2}$ ${\ displaystyle m = k ^ {2}}$ ${\ displaystyle m = k ^ {2}}$ este parametrul
$\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este colțul modular , cu $k=\sin \alpha$ ${\ displaystyle k = \ sin \ alpha}$ ${\ displaystyle k = \ sin \ alpha}$ .

Se observă că odată ce una dintre aceste relații este atribuită, celelalte sunt complet determinate. Integralele eliptice depind, de asemenea, de un alt argument $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , care este amplitudinea , definită și ca parametru $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ dat de $x=\sin \phi ={\textrm {sn}}\;u$ ${\ displaystyle x = \ sin \ phi = {\ textrm {sn}} \; u}$ ${\ displaystyle x = \ sin \ phi = {\ textrm {sn}} \; u}$ , cu ${\textrm {sn}}$ ${\ displaystyle {\ textrm {sn}}}$ ${\ displaystyle {\ textrm {sn}}}$ una dintre funcțiile eliptice ale lui Jacobi .

Câteva relații suplimentare care implică $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ include:

\cos \phi ={\textrm {cn}}\;u\qquad {\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}={\textrm {dn}}\;u

{\ displaystyle \ cos \ phi = {\ textrm {cn}} \; u \ qquad {\ sqrt {1-m \ sin ^ {2} \ phi}} = {\ textrm {dn}} \; u}

{\ displaystyle \ cos \ phi = {\ textrm {cn}} \; u \ qquad {\ sqrt {1-m \ sin ^ {2} \ phi}} = {\ textrm {dn}} \; u}

unde a doua este cunoscută sub numele de amplitudine delta și este scrisă ca $\Delta (\phi )={\textrm {dn}}\;u$ ${\ displaystyle \ Delta (\ phi) = {\ textrm {dn}} \; u}$ ${\ displaystyle \ Delta (\ phi) = {\ textrm {dn}} \; u}$ . Uneori în literatură se mai numește și modul complementar .

Integrală eliptică incompletă de primul fel

Integrala eliptică incompletă de primul fel $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este definit, sub forma Jacobi , ca:

F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\ dt

{\ displaystyle F (x; k) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) (1-k ^ {2} t ^ { 2})}}} \ dt}

{\ displaystyle F (x; k) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) (1-k ^ {2} t ^ { 2})}}} \ dt}

În mod echivalent, folosind o notație alternativă:

F(x;k)=F(\phi |m)=F(\phi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\theta }}}\ d\theta

{\ displaystyle F (x; k) = F (\ phi | m) = F (\ phi \ setminus \ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ frac {1} {\ sqrt {1 - \ sin ^ {2} \ alpha \ sin ^ {2} \ theta}}} \ d \ theta}

{\ displaystyle F (x; k) = F (\ phi | m) = F (\ phi \ setminus \ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ frac {1} {\ sqrt {1 - \ sin ^ {2} \ alpha \ sin ^ {2} \ theta}}} \ d \ theta}

unde se înțelege că atunci când se utilizează bara verticală, argumentul care urmează barei verticale este parametrul (așa cum s-a definit mai sus), iar când se utilizează bara inversă argumentul este modulul unghiular. Rețineți că:

F(x;k)=u

{\ displaystyle F (x; k) = u}

{\ displaystyle F (x; k) = u}

cu $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ definite ca mai sus: Funcțiile eliptice Jacobi sunt legate de inversul integralelor eliptice.

Integrală eliptică incompletă de al doilea fel

Integrala eliptică incompletă de al doilea fel $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este dat de:

E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ dt

{\ displaystyle E (x; k) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sqrt {1-k ^ {2} t ^ {2}}} {\ sqrt {1-t ^ { 2}}}} \ dt}

{\ displaystyle E (x; k) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sqrt {1-k ^ {2} t ^ {2}}} {\ sqrt {1-t ^ { 2}}}} \ dt}

În mod echivalent, folosind notația alternativă:

E(x;k)=E(\phi |m)=E(\phi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\theta }}\ d\theta

{\ displaystyle E (x; k) = E (\ phi | m) = E (\ phi \ setminus \ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2 } \ alpha \ sin ^ {2} \ theta}} \ d \ theta}

{\ displaystyle E (x; k) = E (\ phi | m) = E (\ phi \ setminus \ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2 } \ alpha \ sin ^ {2} \ theta}} \ d \ theta}

În statistici, acest tip de integral poate fi utilizat pentru a reprezenta lungimea curbelor în continuă creștere, cum ar fi curba Lorenz (sau Lorenz ruptă), unde $\phi =1$ ${\ displaystyle \ phi = 1}$ ${\ displaystyle \ phi = 1}$ Și $\theta =(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,\phi _{n})$ ${\ displaystyle \ theta = (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ dots, \ phi _ {n})}$ ${\ displaystyle \ theta = (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ dots, \ phi _ {n})}$ care indică vectorul parametrilor care identifică elementul particular din familia de funcții identificate de aceeași integrală.

Rapoartele suplimentare includ:

E(\phi |m)=\int _{0}^{u}{\textrm {dn}}^{2}w\;dw=u-m\int _{0}^{u}{\textrm {sn}}^{2}w\;dw=(1-m)u+m\int _{0}^{u}{\textrm {cn}}^{2}w\;dw

{\ displaystyle E (\ phi | m) = \ int _ {0} ^ {u} {\ textrm {dn}} ^ {2} w \; dw = um \ int _ {0} ^ {u} {\ textrm {sn}} ^ {2} w \; dw = (1-m) u + m \ int _ {0} ^ {u} {\ textrm {cn}} ^ {2} w \; dw}

{\ displaystyle E (\ phi | m) = \ int _ {0} ^ {u} {\ textrm {dn}} ^ {2} w \; dw = um \ int _ {0} ^ {u} {\ textrm {sn}} ^ {2} w \; dw = (1-m) u + m \ int _ {0} ^ {u} {\ textrm {cn}} ^ {2} w \; dw}

Integrală eliptică incompletă de al treilea fel

Integrala eliptică incompletă de al treilea fel $\Pi$ ${\ displaystyle \ Pi}$ $\ Pi$ Și:

\Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {(1-k^{2}t^{2})(1-t^{2})}}}\ dt

{\ displaystyle \ Pi (n; \ phi | m) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {1-nt ^ {2}}} {\ frac {1} {\ sqrt { (1-k ^ {2} t ^ {2}) (1-t ^ {2})}}} \ dt}

{\ displaystyle \ Pi (n; \ phi | m) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {1-nt ^ {2}}} {\ frac {1} {\ sqrt { (1-k ^ {2} t ^ {2}) (1-t ^ {2})}}} \ dt}

sau:

\Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {1}{\sqrt {(1-\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\theta )}}}\ d\theta

{\ displaystyle \ Pi (n; \ phi | m) = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ frac {1} {1-n \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {1 } {\ sqrt {(1- \ sin ^ {2} \ alpha \ sin ^ {2} \ theta)}}} \ d \ theta}

{\ displaystyle \ Pi (n; \ phi | m) = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ frac {1} {1-n \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {1 } {\ sqrt {(1- \ sin ^ {2} \ alpha \ sin ^ {2} \ theta)}}} \ d \ theta}

sau, de asemenea:

\Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{u}{\frac {1}{1-n{\textrm {sn}}^{2}(w|m)}}\;dw

{\ displaystyle \ Pi (n; \ phi | m) = \ int _ {0} ^ {u} {\ frac {1} {1-n {\ textrm {sn}} ^ {2} (w | m) }} \; dw}

{\ displaystyle \ Pi (n; \ phi | m) = \ int _ {0} ^ {u} {\ frac {1} {1-n {\ textrm {sn}} ^ {2} (w | m) }} \; dw}

Numarul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ se numește o caracteristică și poate lua orice valoare independent de celelalte argumente. Rețineți că valoarea $\Pi (1;\pi /2|m)$ ${\ displaystyle \ Pi (1; \ pi / 2 | m)}$ ${\ displaystyle \ Pi (1; \ pi / 2 | m)}$ este infinit pentru orice valoare de $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ .

Integrală eliptică completă de primul fel

Integrala eliptică completă de primul fel $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este definit după cum urmează:

K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\ dt

{\ displaystyle K (k) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) (1-k ^ {2} t ^ {2} )}}} \ dt}

{\ displaystyle K (k) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) (1-k ^ {2} t ^ {2} )}}} \ dt}

și poate fi calculat în funcție de media aritmetico-geometrică .

Poate fi calculat și cu următoarea expansiune a seriei Taylor :

K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }k^{2n}{\frac {((2n)!)^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}

{\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} k ^ {2n} {\ frac {((2n)!) ^ {2 }} {16 ^ {n} (n!) ^ {4}}}}

{\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} k ^ {2n} {\ frac {((2n)!) ^ {2 }} {16 ^ {n} (n!) ^ {4}}}}

sau sub forma unei integrale a sânului , când $0\leq k\leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq 1}$

K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}

{\ displaystyle K (k) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2 } \ theta}}}}

{\ displaystyle K (k) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2 } \ theta}}}}

Integrala eliptică completă de primul fel este uneori numită perioadă de sfert în literatura de limbă engleză.

Integrală eliptică completă de al doilea fel

Integrala eliptică completă de al doilea fel $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este definit ca:

E(k)=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ dt

{\ displaystyle E (k) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ sqrt {1-k ^ {2} t ^ {2}}} {\ sqrt {1-t ^ {2} }}} \ dt}

{\ displaystyle E (k) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ sqrt {1-k ^ {2} t ^ {2}}} {\ sqrt {1-t ^ {2} }}} \ dt}

Poate fi calculat și cu următoarea expansiune a seriei Taylor :

E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{2}} \choose n}(-1)^{n}k^{2n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}

{\ displaystyle E (k) = {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {{\ frac {1} {2}} \ choose n} (- 1 ) ^ {n} k ^ {2n} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}}}

{\ displaystyle E (k) = {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {{\ frac {1} {2}} \ choose n} (- 1 ) ^ {n} k ^ {2n} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}}}

sau sub forma unei integrale a sânului , când $0\leq k\leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq 1}$ :

E(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta

{\ displaystyle E (k) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ d \ theta}

{\ displaystyle E (k) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ d \ theta}

Notă

^ (EN) Eric W. Weisstein, Elliptic Integral , în MathWorld , Wolfram Research.

Bibliografie

( EN ) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Vezi capitolul 17, pp. 587-627 .
( EN ) George Greenhill Aplicațiile funcțiilor eliptice (Londra, MacMillan, 1892) (pp. 30-65, pp. 175-253)
(EN) Integrale eliptice Harris Hancock (New York, J. Wiley, 1917)
(RO) Regele Louis Vessot Despre calculul numeric direct al funcțiilor eliptice și integralelor ^{[ legătură întreruptă ]} (Cambridge University Press, 1924)
( EN ) BC Carlson Three Improvements in Reduction and Computation of Elliptic Integrals Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology, ' 107 , P. 413 (2002) (forma simetrică Carlson)

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe integral eliptic

linkuri externe

( EN ) ED Solomentsev, integral eliptic , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Eric W. Weisstein, Elliptic Integral , în MathWorld , Wolfram Research.

[1]