Funcții integrale trigonometrice

În matematică , expresia funcțiilor integrale trigonometrice se referă la o familie de funcții definite de integrale ale funcțiilor trigonometrice .

In caz contrar

Graficul lui Si ( x ) pentru 0 ≤ x ≤ 8 π .

Există două definiții ale sinusului integral:

\operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt

{\ displaystyle \ operatorname {Si} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sin t} {t}} \, dt}

{\ displaystyle \ operatorname {Si} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sin t} {t}} \, dt}

\operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{+\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt

{\ displaystyle \ operatorname {si} (x) = - \ int _ {x} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \, dt}

{\ displaystyle \ operatorname {si} (x) = - \ int _ {x} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \, dt}

Pentru definire $\operatorname {Si} (x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Si} (x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Si} (x)}$ este primitivul funcției sinc $\sin(x)/x$ ${\ displaystyle \ sin (x) / x}$ ${\ displaystyle \ sin (x) / x}$ care dispare în origine, în timp ce $\operatorname {si} (x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {si} (x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {si} (x)}$ este primitivul care dispare la nesfârșit. Diferența lor este dată de integralul Dirichlet,

\operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}~.

{\ displaystyle \ operatorname {Si} (x) - \ operatorname {si} (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \, dt = {\ frac {\ pi} {2}} ~.}

{\ displaystyle \ operatorname {Si} (x) - \ operatorname {si} (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \, dt = {\ frac {\ pi} {2}} ~.}

Întrucât funcția $\mathrm {sinc} (x)$ ${\ displaystyle \ mathrm {sinc} (x)}$ ${\ mathrm {sinc}} (x)$ este o funcție pară și întreagă (adică holomorfă în întregul plan complex), $\operatorname {Si} (x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Si} (x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Si} (x)}$ este, de asemenea, întreg, impar și integral în definiția sa poate fi evaluat de-a lungul oricărei căi care leagă extremele.

Dacă considerăm sinusul integral ca o convoluție a funcției sinc cu funcția de pas Heaviside , aceasta corespunde trunchierii seriei Fourier și, prin urmare, este o modalitate de a descrie fenomenul Gibbs .

Cosinus

Graficul lui Ci ( x ) pentru 0 < x ≤ 8π.

Există mai multe definiții ale integralei cosinusului :

\operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{+\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt

{\ displaystyle \ operatorname {Ci} (x) = - \ int _ {x} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ cos t} {t}} \, dt = \ gamma + \ ln x + \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ cos t-1} {t}} \, dt}

{\ displaystyle \ operatorname {Ci} (x) = - \ int _ {x} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ cos t} {t}} \, dt = \ gamma + \ ln x + \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ cos t-1} {t}} \, dt}

\operatorname {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt

{\ displaystyle \ operatorname {Cin} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1- \ cos t} {t}} \, dt}

{\ displaystyle \ operatorname {Cin} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1- \ cos t} {t}} \, dt}

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este constanta Euler-Mascheroni . Unele texte folosesc $\operatorname {ci} (x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {ci} (x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ci} (x)}$ in loc de $\operatorname {Ci} (x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ci} (x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ci} (x)}$ .

Functia $\operatorname {Ci} (x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ci} (x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ci} (x)}$ este primitivul din $\cos(x)/x$ ${\ displaystyle \ cos (x) / x}$ ${\ displaystyle \ cos (x) / x}$ (care dispare la infinit). Cele două definiții sunt legate de relație:

\operatorname {Cin} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Ci} (x)

{\ displaystyle \ operatorname {Cin} (x) = \ gamma + \ ln x- \ operatorname {Ci} (x)}

{\ displaystyle \ operatorname {Cin} (x) = \ gamma + \ ln x- \ operatorname {Ci} (x)}

$\operatorname {Ci} (x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ci} (x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ci} (x)}$ este o funcție de număr întreg.

Sân hiperbolic

Sinusul hiperbolic integral are forma:

\operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt=\operatorname {shi} (x)

{\ displaystyle \ operatorname {Shi} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sinh t} {t}} \, dt = \ operatorname {shi} (x)}

{\ displaystyle \ operatorname {Shi} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sinh t} {t}} \, dt = \ operatorname {shi} (x)}

\operatorname {Shi} (x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!(2n+1)}}=x+{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}+{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+\cdots

{\ displaystyle \ operatorname {Shi} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)! (2n + 1) }} = x + {\ frac {x ^ {3}} {3! \ cdot 3}} + {\ frac {x ^ {5}} {5! \ cdot 5}} + {\ frac {x ^ { 7}} {7! \ Cdot 7}} + \ cdots}

{\ displaystyle \ operatorname {Shi} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)! (2n + 1) }} = x + {\ frac {x ^ {3}} {3! \ cdot 3}} + {\ frac {x ^ {5}} {5! \ cdot 5}} + {\ frac {x ^ { 7}} {7! \ Cdot 7}} + \ cdots}

Este legată de funcția sinusoidală integrală anterioară prin relație

\operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).

{\ displaystyle \ operatorname {Si} (ix) = i \ operatorname {Shi} (x).}

{\ displaystyle \ operatorname {Si} (ix) = i \ operatorname {Shi} (x).}

Cosinus hiperbolic

Cosinusul hiperbolic integral este:

\operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt\qquad (|{\rm {Arg}}(x)|<\pi )

{\ displaystyle \ operatorname {Chi} (x) = \ gamma + \ ln x + \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ cosh t-1} {t}} \, dt \ qquad (| {\ rm {Arg}} (x) | <\ pi)}

{\ displaystyle \ operatorname {Chi} (x) = \ gamma + \ ln x + \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ cosh t-1} {t}} \, dt \ qquad (| {\ rm {Arg}} (x) | <\ pi)}

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este constanta Euler-Mascheroni .

Are ca expansiune de serie $\operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {1}{96}}x^{4}+{\frac {1}{4320}}x^{6}+{\frac {1}{322560}}x^{8}+{\frac {1}{36288000}}x^{10}+O(x^{12})$ ${\ displaystyle \ operatorname {Chi} (x) = \ gamma + \ ln (x) + {\ frac {1} {4}} x ^ {2} + {\ frac {1} {96}} x ^ { 4} + {\ frac {1} {4320}} x ^ {6} + {\ frac {1} {322560}} x ^ {8} + {\ frac {1} {36288000}} x ^ {10} + O (x ^ {12})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Chi} (x) = \ gamma + \ ln (x) + {\ frac {1} {4}} x ^ {2} + {\ frac {1} {96}} x ^ { 4} + {\ frac {1} {4320}} x ^ {6} + {\ frac {1} {322560}} x ^ {8} + {\ frac {1} {36288000}} x ^ {10} + O (x ^ {12})}$ .

Scrierea alternativă

Utilizarea funcțiilor:

f(x)\equiv \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}dt=\int _{0}^{+\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)

{\ displaystyle f (x) \ equiv \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin (t)} {t + x}} dt = \ int _ {0} ^ {+ \ infty } {\ frac {e ^ {- xt}} {t ^ {2} +1}} dt = \ operatorname {Ci} (x) \ sin (x) + \ left [{\ frac {\ pi} {2 }} - \ operatorname {Da} (x) \ dreapta] \ cos (x)}

{\ displaystyle f (x) \ equiv \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin (t)} {t + x}} dt = \ int _ {0} ^ {+ \ infty } {\ frac {e ^ {- xt}} {t ^ {2} +1}} dt = \ operatorname {Ci} (x) \ sin (x) + \ left [{\ frac {\ pi} {2 }} - \ operatorname {Da} (x) \ dreapta] \ cos (x)}

g(x)\equiv \int _{0}^{+\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}dt=\int _{0}^{+\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)

{\ displaystyle g (x) \ equiv \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ cos (t)} {t + x}} dt = \ int _ {0} ^ {+ \ infty } {\ frac {te ^ {- xt}} {t ^ {2} +1}} dt = - \ operatorname {Ci} (x) \ cos (x) + \ left [{\ frac {\ pi} { 2}} - \ operatorname {Si} (x) \ right] \ sin (x)}

{\ displaystyle g (x) \ equiv \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ cos (t)} {t + x}} dt = \ int _ {0} ^ {+ \ infty } {\ frac {te ^ {- xt}} {t ^ {2} +1}} dt = - \ operatorname {Ci} (x) \ cos (x) + \ left [{\ frac {\ pi} { 2}} - \ operatorname {Si} (x) \ right] \ sin (x)}

integralul trigonometric poate fi rescris ca: ^[1]

{\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&=&\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos(x)-g(x)\sin(x)\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)\\\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ operatorname {Si} (x) & = & \ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} - f (x) \ cos (x) -g (x ) \ sin (x) \\\ operatorname {Ci} (x) & = & f (x) \ sin (x) -g (x) \ cos (x) \\\ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ operatorname {Si} (x) & = & \ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} - f (x) \ cos (x) -g (x ) \ sin (x) \\\ operatorname {Ci} (x) & = & f (x) \ sin (x) -g (x) \ cos (x) \\\ end {array}}}

Extinderi

Extinderea integralei trigonometrice într-o serie asimptotică :

\operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)

{\ displaystyle \ operatorname {Si} (x) = {\ frac {\ pi} {2}} - {\ frac {\ cos x} {x}} \ left (1 - {\ frac {2!} {x ^ {2}}} + {\ frac {4!} {X ^ {4}}} - {\ frac {6!} {X ^ {6}}} \ cdots \ right) - {\ frac {\ sin x} {x}} \ left ({\ frac {1} {x}} - {\ frac {3!} {x ^ {3}}} + {\ frac {5!} {x ^ {5}} } - {\ frac {7!} {x ^ {7}}} \ cdots \ right)}

{\ displaystyle \ operatorname {Si} (x) = {\ frac {\ pi} {2}} - {\ frac {\ cos x} {x}} \ left (1 - {\ frac {2!} {x ^ {2}}} + {\ frac {4!} {X ^ {4}}} - {\ frac {6!} {X ^ {6}}} \ cdots \ right) - {\ frac {\ sin x} {x}} \ left ({\ frac {1} {x}} - {\ frac {3!} {x ^ {3}}} + {\ frac {5!} {x ^ {5}} } - {\ frac {7!} {x ^ {7}}} \ cdots \ right)}

\operatorname {Ci} (x)={\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)

{\ displaystyle \ operatorname {Ci} (x) = {\ frac {\ sin x} {x}} \ left (1 - {\ frac {2!} {x ^ {2}}} + {\ frac {4 !} {x ^ {4}}} - {\ frac {6!} {x ^ {6}}} \ cdots \ right) - {\ frac {\ cos x} {x}} \ left ({\ frac {1} {x}} - {\ frac {3!} {X ^ {3}}} + {\ frac {5!} {X ^ {5}}} - {\ frac {7!} {X ^ {7}}} \ cdots \ right)}

{\ displaystyle \ operatorname {Ci} (x) = {\ frac {\ sin x} {x}} \ left (1 - {\ frac {2!} {x ^ {2}}} + {\ frac {4 !} {x ^ {4}}} - {\ frac {6!} {x ^ {6}}} \ cdots \ right) - {\ frac {\ cos x} {x}} \ left ({\ frac {1} {x}} - {\ frac {3!} {X ^ {3}}} + {\ frac {5!} {X ^ {5}}} - {\ frac {7!} {X ^ {7}}} \ cdots \ right)}

este o serie divergentă, utilizată pentru a evalua integralul pentru $\mathrm {Re} (x)\gg 1$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (x) \ gg 1}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (x) \ gg 1}$ .

Expansiunea:

\operatorname {Si} (x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots

{\ displaystyle \ operatorname {Si} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1) (2n + 1)!}} = X - {\ frac {x ^ {3}} {3! \ Cdot 3}} + {\ frac {x ^ {5}} {5! \ Cdot 5}} - {\ frac {x ^ {7}} {7! \ cdot 7}} \ pm \ cdots}

{\ displaystyle \ operatorname {Si} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1) (2n + 1)!}} = X - {\ frac {x ^ {3}} {3! \ Cdot 3}} + {\ frac {x ^ {5}} {5! \ Cdot 5}} - {\ frac {x ^ {7}} {7! \ cdot 7}} \ pm \ cdots}

\operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots

{\ displaystyle \ operatorname {Ci} (x) = \ gamma + \ ln x + \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n} } {2n (2n)!}} = \ Gamma + \ ln x - {\ frac {x ^ {2}} {2! \ Cdot 2}} + {\ frac {x ^ {4}} {4! \ Cdot 4}} \ mp \ cdots}

{\ displaystyle \ operatorname {Ci} (x) = \ gamma + \ ln x + \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n} } {2n (2n)!}} = \ Gamma + \ ln x - {\ frac {x ^ {2}} {2! \ Cdot 2}} + {\ frac {x ^ {4}} {4! \ Cdot 4}} \ mp \ cdots}

este în schimb convergent pentru fiecare $x\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C}}$ , deși pentru $|x|\gg 1$ ${\ displaystyle | x | \ gg 1}$ ${\ displaystyle | x | \ gg 1}$ seria converge inițial lent, necesitând mulți termeni pentru o estimare exactă.

Exponențială integrală

Același subiect în detaliu: Funcția integrală exponențială .

Funcția integrală exponențială:

\operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,dt\qquad \mathrm {Re} (z)\geq 0

{\ displaystyle \ operatorname {E} _ {1} (z) = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ exp (-zt)} {t}} \, dt \ qquad \ mathrm {Re} (z) \ geq 0}

{\ displaystyle \ operatorname {E} _ {1} (z) = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ exp (-zt)} {t}} \, dt \ qquad \ mathrm {Re} (z) \ geq 0}

este strâns legată de $\operatorname {Si} (x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Si} (x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Si} (x)}$ Și $\operatorname {Ci} (x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ci} (x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ci} (x)}$ :

\operatorname {E} _{1}(ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\operatorname {Si} (x)\right)-\operatorname {Ci} (x)=i\operatorname {si} (x)-\operatorname {ci} (x)\qquad x>0

{\ displaystyle \ operatorname {E} _ {1} (ix) = i \ left (- {\ frac {\ pi} {2}} + \ operatorname {Si} (x) \ right) - \ operatorname {Ci} (x) = i \ operatorname {si} (x) - \ operatorname {ci} (x) \ qquad x> 0}

{\ displaystyle \ operatorname {E} _ {1} (ix) = i \ left (- {\ frac {\ pi} {2}} + \ operatorname {Si} (x) \ right) - \ operatorname {Ci} (x) = i \ operatorname {si} (x) - \ operatorname {ci} (x) \ qquad x> 0}

Notă

^ Funcții integrale exponențiale și funcții conexe

Bibliografie

( DE ) Niels Nielsen (1906): Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten , Teubner
( EN ) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. (1972): Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice , Dover, (Capitolul 5)
(EN) Harris, FE "Sferical Bessel Expansions of Sine, Cosine, and Exponential Integrals". Aplic. Num. Matematica. 34 , 95-98, 2000.
(EN) Havil, J. Range, Explorarea constantei lui Euler. Princeton, NJ. Princeton University Press, pp. 105-106, 2003.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AB Ivanov, Integral sine , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) AB Ivanov, Cosinus integral , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Sine Integral in MathWorld Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein, Cosine Integral in MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Dovada seriei Sine Integral Taylor de la ecuațiile de diferență ale Dan Sloughter la ecuațiile diferențiale Arhivat 5 noiembrie 2015 la Internet Archive.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Funcții integrale exponențiale și funcții conexe

[1]