Funcția de sincronizare

Funcția sinc normalizată (albastru) și cea non-normalizată (roșu).

În matematică funcția sinc (sau sinus cardinal ), denumită $\mathrm {sinc} (x)$ ${\ displaystyle \ mathrm {sinc} (x)}$ ${\ mathrm {sinc}} (x)$ sau, mai rar, cu $\mathrm {Sa} (x)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Sa} (x)}$ ${\ mathrm {Sa}} (x)$ , poate fi definit în două moduri.

Funcția sinc normalizată utilizată în procesarea semnalului digital și teoria informației este definită ca:

\mathrm {sinc} (x)={\begin{cases}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}&{\text{ se }}x\neq 0\,\\1&{\text{ se }}x=0\end{cases}}

{\ displaystyle \ mathrm {sinc} (x) = {\ begin {cases} {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} și {\ text {se}} x \ neq 0 \, \\ 1 & {\ text {se}} x = 0 \ end {cases}}}

{\ mathrm {sinc}} (x) = {\ begin {cases} {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} și {\ text {se}} x \ neq 0 \, \ \ 1 & {\ text {se}} x = 0 \ end {cases}}

în timp ce funcția sinc non-normalizată, utilizată mult timp în mai multe domenii este:

\mathrm {sinc} (x)={\begin{cases}{\frac {\sin(x)}{x}}&{\text{ se }}x\neq 0\,\\1&{\text{ se }}x=0\end{cases}}

{\ displaystyle \ mathrm {sinc} (x) = {\ begin {cases} {\ frac {\ sin (x)} {x}} & {\ text {se}} x \ neq 0 \, \\ 1 & {\ text {se}} x = 0 \ end {cases}}}

{\ mathrm {sinc}} (x) = {\ begin {cases} {\ frac {\ sin (x)} {x}} & {\ text {se}} x \ neq 0 \, \\ 1 & { \ text {se}} x = 0 \ end {cases}}

În ambele cazuri, limita funcției in este egală cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , aceasta este o consecință imediată a calculului limitei semnificative și, prin urmare, se dovedește a fi o singularitate care poate fi eliminată . Prin urmare, sinc este o funcție analitică peste tot.

Proprietate

Funcția sinc non-normalizată ia valoarea zero pentru multipli non-zero ai $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ ; care s-a normalizat pentru valori întregi, mereu diferite de zero.

Maximele și minimele locale pentru funcția sinc non-normalizată se găsesc la punctele de intersecție cu funcția cosinus . Prin urmare ${\frac {\sin(\xi )}{\xi }}=\cos(\xi )$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ xi)} {\ xi}} = \ cos (\ xi)}$ ${\ frac {\ sin (\ xi)} {\ xi}} = \ cos (\ xi)$ pentru fiecare $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ de aici derivatul $\sin(\xi ) \over \xi$ ${\ displaystyle \ sin (\ xi) \ over \ xi}$ ${\ sin (\ xi) \ over \ xi}$ Nu-i nimic.

Funcția sinc normalizată poate fi reprezentată ca un produs infinit :

{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} = \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2} } {n ^ {2}}} \ dreapta)}

{\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} = \ prod _ {{n = 1}} ^ {{+ \ infty}} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2 }} {n ^ {2}}} \ dreapta)

sau prin utilizarea funcției gamma

{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} = {\ frac {1} {\ Gamma (1 + x) \ Gamma (1-x)}}}

{\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} = {\ frac {1} {\ Gamma (1 + x) \ Gamma (1-x)}}

Transformata Fourier a funcției sinc normalizate este egală cu $\mathrm {rect} (f)$ ${\ displaystyle \ mathrm {rect} (f)}$ ${\ mathrm {rect}} (f)$

\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {sinc} (t)e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f)

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {sinc} (t) e ^ {- 2 \ pi ift} dt = \ mathrm {rect} (f)}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} {\ mathrm {sinc}} (t) e ^ {{- 2 \ pi ift}} dt = {\ mathrm {rect}} (f )

unde funcția dreptunghiului ia valoarea unității pentru argumente între $-{\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}$ $- {\ frac {1} {2}}$ Și ${\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ $\ frac {1} {2}$ . Această integrală Fourier include cazul special