Funcția dreptunghiulară

În matematică , funcția dreptunghiulară sau funcția de poartă este o funcție specială a unei variabile reale , utilizată pe scară largă în teoria semnalului , care este definită după cum urmează:

\mathrm {rect} (t)={\begin{cases}0&{\mbox{se }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{se }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\mbox{se }}|t|<{\frac {1}{2}}.\end{cases}}

{\ displaystyle \ mathrm {rect} (t) = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {se}} | t |> {\ frac {1} {2}} \\ [3pt] {\ frac { 1} {2}} & {\ mbox {se}} | t | = {\ frac {1} {2}} \\ [3pt] 1 & {\ mbox {se}} | t | <{\ frac { 1} {2}}. \ End {cases}}}

{\ displaystyle \ mathrm {rect} (t) = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {se}} | t |> {\ frac {1} {2}} \\ [3pt] {\ frac { 1} {2}} & {\ mbox {se}} | t | = {\ frac {1} {2}} \\ [3pt] 1 & {\ mbox {se}} | t | <{\ frac { 1} {2}}. \ End {cases}}}

Acesta este un caz special al „funcției vagon de marfă”, sau funcției vagon .

În general, cu

\mathrm {rect} \left({\frac {x-x_{0}}{\Delta }}\right)

{\ displaystyle \ mathrm {rect} \ left ({\ frac {x-x_ {0}} {\ Delta}} \ right)}

{\ displaystyle \ mathrm {rect} \ left ({\ frac {x-x_ {0}} {\ Delta}} \ right)}

ne referim la funcția dreptunghiular al cărui centru este $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ și a cărui durată este $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ . În consecință,

\mathrm {rect} \left({\frac {x-1}{2}}\right)

{\ displaystyle \ mathrm {rect} \ left ({\ frac {x-1} {2}} \ right)}

{\ displaystyle \ mathrm {rect} \ left ({\ frac {x-1} {2}} \ right)}

este funcția dreptunghiulară centrată în 1 și cu durata 2. ^[1]

Transformata Fourier a funcției dreptunghi este funcția sinc :

{\mathcal {F}}[\mathrm {rect} ](\omega )=\int _{\mathbb {R} }e^{-i\,t\,\omega }\,\mathrm {rect} (t)\,dt={\frac {\sin(\omega /2)}{\omega /2}}=\mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2\,\pi }}\right)

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} [\ mathrm {rect}] (\ omega) = \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {- i \, t \, \ omega} \, \ mathrm { rect} (t) \, dt = {\ frac {\ sin (\ omega / 2)} {\ omega / 2}} = \ mathrm {sinc} \ left ({\ frac {\ omega} {2 \, \ pi}} \ dreapta)}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} [\ mathrm {rect}] (\ omega) = \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {- i \, t \, \ omega} \, \ mathrm { rect} (t) \, dt = {\ frac {\ sin (\ omega / 2)} {\ omega / 2}} = \ mathrm {sinc} \ left ({\ frac {\ omega} {2 \, \ pi}} \ dreapta)}

Se dovedește că merită

\mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)\ast \mathrm {rect} (t)

{\ displaystyle \ mathrm {tri} (t) = \ mathrm {rect} (t) \ ast \ mathrm {rect} (t)}

{\ displaystyle \ mathrm {tri} (t) = \ mathrm {rect} (t) \ ast \ mathrm {rect} (t)}

unde este $\mathrm {tri}$ ${\ displaystyle \ mathrm {tri}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {tri}}$ este funcția triunghi și simbolul $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ denotă convoluție .

Notă

^ rect ((x-1) / 2) , la wolframalpha.com , Wolfram Alpha .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] rect ((x-1) / 2) , la wolframalpha.com , Wolfram Alpha .

[1]