Funcții hiperbolice

În matematică , funcțiile hiperbolice constituie o familie de funcții elementare dotate cu unele proprietăți analoge proprietăților corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice obișnuite.

Definiții

Ilustrația definiției în termeni de hiperbolă echilaterală

Putem defini funcții hiperbolice astfel:

Având în vedere o hiperbolă unilaterală echilaterală , deci cu

a=b=1

{\ displaystyle a = b = 1}

a = b = 1

, centrat cu axele pe axele de coordonate și dat un unghi

\alpha

{\ displaystyle \ alpha}

\ alfa

, ia în considerare sectorul hiperbolic al deschiderii

{\frac {\alpha }{2}}

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {2}}}

{\ frac {\ alpha} {2}}

și zona

LA

{\ displaystyle A}

LA

: aceasta determină un punct

P.

{\ displaystyle P}

P.

ca intersecție cu hiperbola; apoi definim ordonata punctului

P.

{\ displaystyle P}

P.

ca sinus hiperbolic (

\sinh

{\ displaystyle \ sinh}

\ sinh

) din zona menționată mai sus

LA

{\ displaystyle A}

LA

, precum și abscisa relativă ca cosinus hiperbolic (

\cosh

{\ displaystyle \ cosh}

\ cosh

) întotdeauna în zona menționată mai sus

LA

{\ displaystyle A}

LA

, așa cum se arată în figură (adică

\sinh A

{\ displaystyle \ sinh A}

{\ displaystyle \ sinh A}

Și

\cosh A

{\ displaystyle \ cosh A}

{\ displaystyle \ cosh A}

).

În consecință, celelalte funcții hiperbolice pot fi definite prin $\sinh$ ${\ displaystyle \ sinh}$ $\ sinh$ Și $\cosh$ ${\ displaystyle \ cosh}$ $\ cosh$ așa cum se face pentru cele trigonometrice. De asemenea, este posibil să le legați de funcția exponențială datorită definiției acesteia din urmă (a se vedea Derivarea funcțiilor hiperbolice ).

Funcția sinus hiperbolică

\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.

{\ displaystyle \ sinh x = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {2}} = {\ frac {e ^ {2x} -1} {2e ^ {x}}} = {\ frac {1-e ^ {- 2x}} {2e ^ {- x}}}.}

{\ displaystyle \ sinh x = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {2}} = {\ frac {e ^ {2x} -1} {2e ^ {x}}} = {\ frac {1-e ^ {- 2x}} {2e ^ {- x}}}.}

Funcția cosinusului hiperbolic

\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.

{\ displaystyle \ cosh x = {\ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {2}} = {\ frac {e ^ {2x} +1} {2e ^ {x}}} = {\ frac {1 + e ^ {- 2x}} {2e ^ {- x}}}.}

{\ displaystyle \ cosh x = {\ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {2}} = {\ frac {e ^ {2x} +1} {2e ^ {x}}} = {\ frac {1 + e ^ {- 2x}} {2e ^ {- x}}}.}

Funcția tangentă hiperbolică

\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}.

{\ displaystyle \ tanh x = {\ frac {\ sinh x} {\ cosh x}} = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {e ^ {x} + e ^ {- x}}} = {\ frac {e ^ {2x} -1} {e ^ {2x} +1}} = {\ frac {1-e ^ {- 2x}} {1 + e ^ {- 2x} }}.}

{\ displaystyle \ tanh x = {\ frac {\ sinh x} {\ cosh x}} = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {e ^ {x} + e ^ {- x}}} = {\ frac {e ^ {2x} -1} {e ^ {2x} +1}} = {\ frac {1-e ^ {- 2x}} {1 + e ^ {- 2x} }}.}

Funcția cotangentă hiperbolică

\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}}.

{\ displaystyle \ coth x = {\ frac {\ cosh x} {\ sinh x}} = {\ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = {\ frac {e ^ {2x} +1} {e ^ {2x} -1}} = {\ frac {1 + e ^ {- 2x}} {1-e ^ {- 2x} }}.}

{\ displaystyle \ coth x = {\ frac {\ cosh x} {\ sinh x}} = {\ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = {\ frac {e ^ {2x} +1} {e ^ {2x} -1}} = {\ frac {1 + e ^ {- 2x}} {1-e ^ {- 2x} }}.}

Funcția secantă hiperbolică

\operatorname {sech} \,x=\left(\cosh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}.

{\ displaystyle \ operatorname {sech} \, x = \ left (\ cosh x \ right) ^ {- 1} = {\ frac {2} {e ^ {x} + e ^ {- x}}} = { \ frac {2e ^ {x}} {e ^ {2x} +1}} = {\ frac {2e ^ {- x}} {1 + e ^ {- 2x}}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {sech} \, x = \ left (\ cosh x \ right) ^ {- 1} = {\ frac {2} {e ^ {x} + e ^ {- x}}} = { \ frac {2e ^ {x}} {e ^ {2x} +1}} = {\ frac {2e ^ {- x}} {1 + e ^ {- 2x}}}.}

Funcția cosecantă hiperbolică

\operatorname {csch} \,x=\left(\sinh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}}.

{\ displaystyle \ operatorname {csch} \, x = \ left (\ sinh x \ right) ^ {- 1} = {\ frac {2} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = { \ frac {2e ^ {x}} {e ^ {2x} -1}} = {\ frac {2e ^ {- x}} {1-e ^ {- 2x}}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {csch} \, x = \ left (\ sinh x \ right) ^ {- 1} = {\ frac {2} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = { \ frac {2e ^ {x}} {e ^ {2x} -1}} = {\ frac {2e ^ {- x}} {1-e ^ {- 2x}}}.}

În aceste definiții $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ poate fi considerată o variabilă reală sau complexă .

Grafice ale funcțiilor hiperbolice: sinh , cosh și tanh (argumente reale)

Grafice ale funcțiilor hiperbolice: csch , sech și coth (argumente reale)

Relația cu funcțiile trigonometrice

Pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ funcție reală $\cosh {x}$ ${\ displaystyle \ cosh {x}}$ $\ cosh {x}$ este o funcție uniformă, adică simetrică față de axă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ; functia $\sinh {x}$ ${\ displaystyle \ sinh {x}}$ $\ sinh {x}$ în schimb este o funcție ciudată , adică simetrică față de origine.

În consecință, acestea sunt și funcții ciudate $\tanh x$ ${\ displaystyle \ tanh x}$ ${\ displaystyle \ tanh x}$ , $\operatorname {coth} {x}$ ${\ displaystyle \ operatorname {coth} {x}}$ $\ operatorname {coth} {x}$ Și $\operatorname {csch} {x}$ ${\ displaystyle \ operatorname {csch} {x}}$ $\ operatorname {csch} {x}$ , in timp ce $\operatorname {sech} {x}$ ${\ displaystyle \ operatorname {sech} {x}}$ $\ operatorname {sech} {x}$ este chiar.

Apoi, există următoarele valori particulare:

\sinh {0}=0\qquad \cosh {0}=1\qquad \tanh {0}=0\qquad \operatorname {sech} {0}=1.

{\ displaystyle \ sinh {0} = 0 \ qquad \ cosh {0} = 1 \ qquad \ tanh {0} = 0 \ qquad \ operatorname {sech} {0} = 1.}

{\ displaystyle \ sinh {0} = 0 \ qquad \ cosh {0} = 1 \ qquad \ tanh {0} = 0 \ qquad \ operatorname {sech} {0} = 1.}

Precum și cu variația variabilei reale $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ punctele $\left(\cos {t},\sin {t}\right)$ ${\ displaystyle \ left (\ cos {t}, \ sin {t} \ right)}$ $\ left (\ cos {t}, \ sin {t} \ right)$ definiți circumferința $x^{2}+y^{2}=1$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ $x ^ {2} + y ^ {2} = 1$ , la fel și punctele $\left(\cosh t,\sinh t\right)$ ${\ displaystyle \ left (\ cosh t, \ sinh t \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (\ cosh t, \ sinh t \ right)}$ ele definesc hiperbola echilaterală $x^{2}-y^{2}=1.$ ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1.}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1.}$

Aceasta este o consecință a identității:

\left(\cosh {t}\right)^{2}-\left(\sinh {t}\right)^{2}=1,

{\ displaystyle \ left (\ cosh {t} \ right) ^ {2} - \ left (\ sinh {t} \ right) ^ {2} = 1,}

{\ displaystyle \ left (\ cosh {t} \ right) ^ {2} - \ left (\ sinh {t} \ right) ^ {2} = 1,}

derivabil din definiții prin funcții exponențiale cu manipulări algebrice elementare.

Spre deosebire de funcțiile trigonometrice corespunzătoare, funcțiile hiperbolice nu sunt periodice în câmpul numerelor reale , dar sunt periodice în câmpul numerelor complexe , atunci când au un argument imaginar, așa cum este și funcția exponențială .

Argumentul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ a funcțiilor sinus și cosinus care definesc circumferința pot fi interpretate în mod natural ca un unghi ; Acolo $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ argumentul funcțiilor hiperbolice reprezintă de două ori aria sectorului hiperbolic dintre segmentul care leagă originea de punct $\left(\cosh t,\sinh t\right)$ ${\ displaystyle \ left (\ cosh t, \ sinh t \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (\ cosh t, \ sinh t \ right)}$ pe o ramură a hiperbolei echilaterale a ecuației $x^{2}-y^{2}=1$ ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1}$ $x ^ {2} -y ^ {2} = 1$ , arcul acestei hiperbole care se termină în punctul din punct $\left(1,0\right)$ ${\ displaystyle \ left (1,0 \ right)}$ $\ left (1,0 \ right)$ pe axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ iar segmentul de pe axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de la acest punct până la origine. Cu toate acestea, în realitate, $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ argument al funcțiilor trigonometrice, dacă $0\leqslant t\leqslant \pi$ ${\ displaystyle 0 \ leqslant t \ leqslant \ pi}$ ${\ displaystyle 0 \ leqslant t \ leqslant \ pi}$ , precum și ca un unghi exprimat în radiani , poate fi înțeles ca dublul zonei sectorului circular dintre segmentul care leagă originea de punctul $\left(\cos t,\sin t\right)$ ${\ displaystyle \ left (\ cos t, \ sin t \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (\ cos t, \ sin t \ right)}$ pe circumferința unității ecuației $x^{2}+y^{2}=1$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ $x ^ {2} + y ^ {2} = 1$ , arcul acestei circumferințe care din punct se termină în punct $\left(1,0\right)$ ${\ displaystyle \ left (1,0 \ right)}$ $\ left (1,0 \ right)$ pe axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ iar segmentul de pe axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de la acest punct până la origine.

Funcțiile hiperbolice satisfac multe identități, asemănătoare identităților trigonometrice corespunzătoare.

De fapt, regula lui Osborn ^[1] specifică faptul că orice identitate trigonometrică poate fi convertită într-o identitate hiperbolică prin dezvoltarea ei completă în termeni de puteri întregi de sinusuri și cosinus, transformând fiecare $\sin$ ${\ displaystyle \ sin}$ $\ stânga$ în $\sinh$ ${\ displaystyle \ sinh}$ $\ sinh$ și fiecare $\cos$ ${\ displaystyle \ cos}$ $\ cos$ în $\cosh$ ${\ displaystyle \ cosh}$ $\ cosh$ și în cele din urmă schimbarea semnului fiecărui termen care conține un produs de doi $\sinh$ ${\ displaystyle \ sinh}$ $\ sinh$ . Procedând astfel, de exemplu, găsim teoremele adunării:

\sinh {(x+y)}=\sinh {(x)}\cosh {(y)}+\cosh {(x)}\sinh {(y)},

{\ displaystyle \ sinh {(x + y)} = \ sinh {(x)} \ cosh {(y)} + \ cosh {(x)} \ sinh {(y)},}

{\ displaystyle \ sinh {(x + y)} = \ sinh {(x)} \ cosh {(y)} + \ cosh {(x)} \ sinh {(y)},}

\cosh {(x+y)}=\cosh {(x)}\cosh {(y)}+\sinh {(x)}\sinh {(y)},

{\ displaystyle \ cosh {(x + y)} = \ cosh {(x)} \ cosh {(y)} + \ sinh {(x)} \ sinh {(y)},}

{\ displaystyle \ cosh {(x + y)} = \ cosh {(x)} \ cosh {(y)} + \ sinh {(x)} \ sinh {(y)},}

și formule de duplicare

\sinh {(2x)}=2\sinh {(x)}\cosh {(x)},

{\ displaystyle \ sinh {(2x)} = 2 \ sinh {(x)} \ cosh {(x)},}

{\ displaystyle \ sinh {(2x)} = 2 \ sinh {(x)} \ cosh {(x)},}

\cosh {(2x)}=\cosh ^{2}{(x)}+\sinh ^{2}{(x)}=2\cosh ^{2}{(x)}-1=2\sinh ^{2}{(x)}+1,

{\ displaystyle \ cosh {(2x)} = \ cosh ^ {2} {(x)} + \ sinh ^ {2} {(x)} = 2 \ cosh ^ {2} {(x)} - 1 = 2 \ sinh ^ {2} {(x)} + 1,}

{\ displaystyle \ cosh {(2x)} = \ cosh ^ {2} {(x)} + \ sinh ^ {2} {(x)} = 2 \ cosh ^ {2} {(x)} - 1 = 2 \ sinh ^ {2} {(x)} + 1,}

și formulele de bisecție

\cosh {\left({\frac {x}{2}}\right)}={\sqrt {\frac {1+\cosh {(x)}}{2}}},

{\ displaystyle \ cosh {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right)} = {\ sqrt {\ frac {1+ \ cosh {(x)}} {2}}},}

{\ displaystyle \ cosh {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right)} = {\ sqrt {\ frac {1+ \ cosh {(x)}} {2}}},}

\sinh {\left({\frac {x}{2}}\right)}={\sqrt {\frac {\cosh {(x)}-1}{2}}}.

{\ displaystyle \ sinh {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right)} = {\ sqrt {\ frac {\ cosh {(x)} - 1} {2}}}.}

{\ displaystyle \ sinh {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right)} = {\ sqrt {\ frac {\ cosh {(x)} - 1} {2}}}.}

Derivatul lui $\sinh {x}$ ${\ displaystyle \ sinh {x}}$ $\ sinh {x}$ este dat de $\cosh {x}$ ${\ displaystyle \ cosh {x}}$ $\ cosh {x}$ și derivatul lui $\cosh {x}$ ${\ displaystyle \ cosh {x}}$ $\ cosh {x}$ Și $\sinh {x}$ ${\ displaystyle \ sinh {x}}$ $\ sinh {x}$ ; acest link poate fi citit cu ușurință pe graficele funcționale.

Graficul funcției $\cosh {x}$ ${\ displaystyle \ cosh {x}}$ $\ cosh {x}$ este curba catenară , un profil asumat de un cablu de densitate uniformă cu cele două capete fixate și supuse gravitației.

Evoluțiile seriei Taylor

Este posibil să se exprime funcții hiperbolice în termeni de expansiuni Taylor :

\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.

{\ displaystyle \ sinh x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} + {\ frac {x ^ {7} } {7!}} + \ Cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}.}

{\ displaystyle \ sinh x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} + {\ frac {x ^ {7} } {7!}} + \ Cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}.}

Functia $\sinh x$ ${\ displaystyle \ sinh x}$ ${\ displaystyle \ sinh x}$ are serie Taylor cu doar termeni impari și, prin urmare, sinusul hiperbolic este o funcție ciudată , adică $-\sinh(x)=\sinh(-x)$ ${\ displaystyle - \ sinh (x) = \ sinh (-x)}$ ${\ displaystyle - \ sinh (x) = \ sinh (-x)}$ , Și $\sinh 0=0.$ ${\ displaystyle \ sinh 0 = 0.}$ ${\ displaystyle \ sinh 0 = 0.}$

\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.

{\ displaystyle \ cosh x = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + {\ frac {x ^ {6} } {6!}} + \ Cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}.}

{\ displaystyle \ cosh x = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + {\ frac {x ^ {6} } {6!}} + \ Cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}.}

Functia $\cosh x$ ${\ displaystyle \ cosh x}$ ${\ displaystyle \ cosh x}$ în schimb, prezintă doar termeni pari, așa cum se aștepta dintr-o funcție uniformă, simetrică față de axa lui $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Suma sinusului hiperbolic și a cosinusului reprezintă dezvoltarea funcției exponențiale .

\tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

{\ displaystyle \ tanh x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} - {\ frac {17x ^ {7}} { 315}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}}, \ Left | x \ right | <{\ frac {\ pi} {2}}}

\ tanh x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} - {\ frac {17x ^ {7}} {315}} + \ cdots = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {{2n}} (2 ^ {{2n}} - 1) B _ {{2n}} x ^ {{2n-1}}} {(2n)!}}, \ Left | x \ right | <{\ frac {\ pi} {2}}

\coth x=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi

{\ displaystyle \ coth x = x ^ {- 1} + {\ frac {x} {3}} - {\ frac {x ^ {3}} {45}} + {\ frac {2x ^ {5}} {945}} + \ cdots = x ^ {- 1} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n} B_ {2n} x ^ {2n-1}} { (2n)!}}, 0 <\ left | x \ right | <\ pi}

\ coth x = x ^ {{- 1}} + {\ frac {x} {3}} - {\ frac {x ^ {3}} {45}} + {\ frac {2x ^ {5}} { 945}} + \ cdots = x ^ {{- 1}} + \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {{2n}} B _ {{2n}} x ^ {{2n-1}}} {(2n)!}}, 0 <\ left | x \ right | <\ pi

( Seria Laurent )

\operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

{\ displaystyle \ operatorname {sech} \, x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {5x ^ {4}} {24}} - {\ frac {61x ^ {6}} {720}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {E_ {2n} x ^ {2n}} {(2n)!}}, \ Left | x \ right | <{\ frac {\ pi} {2}}}

\ operatorname {sech} \, x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {5x ^ {4}} {24}} - {\ frac {61x ^ {6} } {720}} + \ cdots = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {E _ {{2n}} x ^ {{2n}}} {(2n)!}} , \ left | x \ right | <{\ frac {\ pi} {2}}

\operatorname {csch} \,x=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi

{\ displaystyle \ operatorname {csch} \, x = x ^ {- 1} - {\ frac {x} {6}} + {\ frac {7x ^ {3}} {360}} - {\ frac {31x ^ {5}} {15120}} + \ cdots = x ^ {- 1} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 (1-2 ^ {2n-1}) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}}, 0 <\ left | x \ right | <\ pi}

\ operatorname {csch} \, x = x ^ {{- 1}} - {\ frac {x} {6}} + {\ frac {7x ^ {3}} {360}} - {\ frac {31x ^ {5}} {15120}} + \ cdots = x ^ {{- 1}} + \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {2 (1-2 ^ {{2n- 1}}) B _ {{2n}} x ^ {{2n-1}}} {(2n)!}}, 0 <\ left | x \ right | <\ pi

( Seria Laurent )

unde este

B_{n}

{\ displaystyle B_ {n}}

B_ {n}

este

n

{\ displaystyle n}

n

-alea ediție a lui Bernoulli ,

E_{n}

{\ displaystyle E_ {n}}

E_ {n}

este

n

{\ displaystyle n}

n

-numărul lui Euler .

Funcții hiperbolice inverse

Inversul funcțiilor hiperbolice este:

\operatorname {settsinh} (x)=\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}

{\ displaystyle \ operatorname {settsinh} (x) = \ ln {\ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}} \ right)}}

{\ displaystyle \ operatorname {settsinh} (x) = \ ln {\ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}} \ right)}}

\operatorname {settcosh} (x)=\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}

{\ displaystyle \ operatorname {settcosh} (x) = \ ln {\ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right)}}

{\ displaystyle \ operatorname {settcosh} (x) = \ ln {\ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right)}}

\operatorname {setttanh} (x)=\ln {\left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}\right)}={\frac {1}{2}}\ln {\left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}

{\ displaystyle \ operatorname {setttanh} (x) = \ ln {\ left ({\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {1-x}} \ right)} = {\ frac {1 } {2}} \ ln {\ left ({\ frac {1 + x} {1-x}} \ right)}}

{\ displaystyle \ operatorname {setttanh} (x) = \ ln {\ left ({\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {1-x}} \ right)} = {\ frac {1 } {2}} \ ln {\ left ({\ frac {1 + x} {1-x}} \ right)}}

\operatorname {settcoth} (x)=\ln {\left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}\right)}={\frac {1}{2}}\ln {\left({\frac {x+1}{x-1}}\right)}

{\ displaystyle \ operatorname {settcoth} (x) = \ ln {\ left ({\ frac {\ sqrt {x ^ {2} -1}} {x-1}} \ right)} = {\ frac {1 } {2}} \ ln {\ left ({\ frac {x + 1} {x-1}} \ right)}}

{\ displaystyle \ operatorname {settcoth} (x) = \ ln {\ left ({\ frac {\ sqrt {x ^ {2} -1}} {x-1}} \ right)} = {\ frac {1 } {2}} \ ln {\ left ({\ frac {x + 1} {x-1}} \ right)}}

\operatorname {settsech} (x)=\ln {\left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)}

{\ displaystyle \ operatorname {settsech} (x) = \ ln {\ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} {x}} \ right)}}

{\ displaystyle \ operatorname {settsech} (x) = \ ln {\ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} {x}} \ right)}}

\operatorname {settcsch} (x)=\ln {\left({\frac {1\pm {\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right)}

{\ displaystyle \ operatorname {settcsch} (x) = \ ln {\ left ({\ frac {1 \ pm {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}} {x}} \ right)}}

{\ displaystyle \ operatorname {settcsch} (x) = \ ln {\ left ({\ frac {1 \ pm {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}} {x}} \ right)}}

Funcții hiperbolice furnizate de integrale

\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}=\operatorname {settsinh} (x)+c=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+c

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {x ^ {2} +1}}} = \ operatorname {settsinh} (x) + c = \ ln (x + {\ sqrt {x ^ {2 } +1}}) + c}

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {x ^ {2} +1}}} = \ operatorname {settsinh} (x) + c = \ ln (x + {\ sqrt {x ^ {2 } +1}}) + c}

\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\operatorname {settcosh} (x)+c=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})+c

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}} = \ operatorname {settcosh} (x) + c = \ ln (x + {\ sqrt {x ^ {2 } -1}}) + c}

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}} = \ operatorname {settcosh} (x) + c = \ ln (x + {\ sqrt {x ^ {2 } -1}}) + c}

\int {\sqrt {x^{2}+1}}\,dx={\frac {\operatorname {settsinh} (x)+x{\sqrt {x^{2}+1}}}{2}}+c={\frac {\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+x{\sqrt {x^{2}+1}}}{2}}+c

{\ displaystyle \ int {\ sqrt {x ^ {2} +1}} \, dx = {\ frac {\ operatorname {settsinh} (x) + x {\ sqrt {x ^ {2} +1}}} {2}} + c = {\ frac {\ ln (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}}) + x {\ sqrt {x ^ {2} +1}}} {2}} + c}

{\ displaystyle \ int {\ sqrt {x ^ {2} +1}} \, dx = {\ frac {\ operatorname {settsinh} (x) + x {\ sqrt {x ^ {2} +1}}} {2}} + c = {\ frac {\ ln (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}}) + x {\ sqrt {x ^ {2} +1}}} {2}} + c}

\int {\sqrt {x^{2}-1}}\,dx={\frac {-\operatorname {settcosh} (x)+x{\sqrt {x^{2}-1}}}{2}}+c={\frac {-\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})+x{\sqrt {x^{2}-1}}}{2}}+c

{\ displaystyle \ int {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \, dx = {\ frac {- \ operatorname {settcosh} (x) + x {\ sqrt {x ^ {2} -1}} } {2}} + c = {\ frac {- \ ln (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}}) + x {\ sqrt {x ^ {2} -1}}} {2 }} + c}

{\ displaystyle \ int {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \, dx = {\ frac {- \ operatorname {settcosh} (x) + x {\ sqrt {x ^ {2} -1}} } {2}} + c = {\ frac {- \ ln (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}}) + x {\ sqrt {x ^ {2} -1}}} {2 }} + c}

\int {\frac {dx}{1-x^{2}}}=

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {1-x ^ {2}}} =}

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {1-x ^ {2}}} =}

\left\{{\begin{matrix}\operatorname {setttanh} (x)+c,&{\mbox{se }}\left|x\right|<1\\\operatorname {settcoth} (x)+c,&{\mbox{se }}\left|x\right|>1\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ operatorname {setttanh} (x) + c, & {\ mbox {se}} \ left | x \ right | <1 \\\ operatorname {settcoth} (x ) + c, & {\ mbox {se}} \ left | x \ right |> 1 \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ operatorname {setttanh} (x) + c, & {\ mbox {se}} \ left | x \ right | <1 \\\ operatorname {settcoth} (x ) + c, & {\ mbox {se}} \ left | x \ right |> 1 \ end {matrix}} \ right.}

={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\ln \left|{\frac {1+x}{1-x}}\right|+c

{\ displaystyle = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ ln \ left | {\ frac {1 + x} {1-x}} \ right | + c }

{\ displaystyle = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ ln \ left | {\ frac {1 + x} {1-x}} \ right | + c }

Funcțiile hiperbolice ale argumentului complex

Deoarece funcția exponențială poate fi definită pentru orice argument complex , putem extinde definiția funcțiilor hiperbolice și la argumentele complexe. Funcții $\sinh z$ ${\ displaystyle \ sinh z}$ ${\ displaystyle \ sinh z}$ Și $\cosh z$ ${\ displaystyle \ cosh z}$ ${\ displaystyle \ cosh z}$ sunt, prin urmare, holomorfe pentru orice argument complex și pot fi dezvoltate în seria Taylor .

Relațiile cu funcțiile trigonometrice sunt obținute din formula lui Euler pentru numerele complexe:

e^{ix}=\cos x+i\;\sin x

{\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \; \ sin x}

e ^ {{ix}} = \ cos x + i \; \ sin x

\cosh(ix)={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}=\cos(x)

{\ displaystyle \ cosh (ix) = {\ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {2}} = \ cos (x)}

\ cosh (ix) = {\ frac {(e ^ {{ix}} + e ^ {{- ix}})} {2}} = \ cos (x)

\sinh(ix)={\frac {(e^{ix}-e^{-ix})}{2}}=i\sin(x)

{\ displaystyle \ sinh (ix) = {\ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {2}} = i \ sin (x)}

\ sinh (ix) = {\ frac {(e ^ {{ix}} - e ^ {{- ix}})} {2}} = i \ sin (x)

\tanh(ix)=i\tan(x)

{\ displaystyle \ tanh (ix) = i \ tan (x)}

\ tanh (ix) = i \ tan (x)

\sinh(x)=-i\sin(ix)

{\ displaystyle \ sinh (x) = - i \ sin (ix)}

\ sinh (x) = - i \ sin (ix)

\cosh(x)=\cos(ix)

{\ displaystyle \ cosh (x) = \ cos (ix)}

\ cosh (x) = \ cos (ix)

\tanh(x)=-i\tan(ix)\,

{\ displaystyle \ tanh (x) = - i \ tan (ix) \,}

\ tanh (x) = - i \ tan (ix) \,

\operatorname {settsinh} (x)=i\arcsin(-ix)

{\ displaystyle \ operatorname {settsinh} (x) = i \ arcsin (-ix)}

{\ displaystyle \ operatorname {settsinh} (x) = i \ arcsin (-ix)}

\operatorname {settcosh} (x)=i\arccos(x)

{\ displaystyle \ operatorname {settcosh} (x) = i \ arccos (x)}

{\ displaystyle \ operatorname {settcosh} (x) = i \ arccos (x)}

\operatorname {setttanh} (x)=i\arctan(-ix)

{\ displaystyle \ operatorname {setttanh} (x) = i \ arctan (-ix)}

{\ displaystyle \ operatorname {setttanh} (x) = i \ arctan (-ix)}

Notări

Numele funcțiilor hiperbolice inverse menționate în acest articol sunt cele oficiale dictate de standardele ISO . ^[2] Numele lor derivă din abrevieri ale expresiilor latine. De exemplu arsinh derivă din zona sinusului hiperbolic , arcosh derivă din zona cosinus hyperbolicus etc.

Cuvintele arcsinh, arccosh etc. sunt, de asemenea, adesea găsite. care sunt împrumutate clar din numele funcțiilor trigonometrice inverse. Cu toate acestea, acești termeni sunt incorecți din punct de vedere conceptual, deoarece funcțiile hiperbolice și inversele lor nu au nimic de-a face cu arcurile.

În cele din urmă, în tradiția italiană este obișnuit să se găsească numele settsenh ( sectorul sinusului hiperbolic , cu referire la zona corespunzătoare), settcosh și așa mai departe. Deși corecte din punct de vedere conceptual, aceste nume nu respectă standardele ISO și convențiile internaționale.

Notă

^ G. Osborn, Mnemonic pentru formule hiperbolice , The Mathematical Gazette, p. 189, volumul 2, numărul 34, iulie 1902
^ ( EN ) ISO 80000-2: 2009 - Cantități și unități - Partea 2: Semne și simboluri matematice care trebuie utilizate în științele naturii și tehnologie , la www.iso.org . Adus pe 4 februarie 2018 .

Bibliografie

James McMahon Funcții hiperbolice (New York J. Wiley, 1906)
George F. Becker și Charles E. Van Orstrand Smithsonian tabele matematice: funcții hiperbolice (Washington DC, Smithsonian Institution, 1909) (tabele)
Arthur E. Kenelly Aplicarea funcțiilor hiperbolice la problemele de inginerie electrică (Londra, University of London Press, 1912) (aplicații)
Ruth Zucker în Handbook of Mathematical Functions , Milton Abramowitz și Irene Stegun (eds.) (NY, Dover, 1972) p. 83

Alte proiecte

Wikționarul conține lema dicționarului „ funcție hiperbolică ”
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu funcție hiperbolică

linkuri externe

( EN ) Funcții hiperbolice , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 33605 · LCCN (EN) sh85052338 · BNF (FR) cb11979371t (data) · NDL (EN, JA) 00.571.407

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] G. Osborn, Mnemonic pentru formule hiperbolice , The Mathematical Gazette, p. 189, volumul 2, numărul 34, iulie 1902

[2] ( EN ) ISO 80000-2: 2009 - Cantități și unități - Partea 2: Semne și simboluri matematice care trebuie utilizate în științele naturii și tehnologie , la www.iso.org . Adus pe 4 februarie 2018 .

[1]

[2]

V · D · M Trigonometrie
Funcția trigonometrică · Funcția trigonometrică inversă
Funcții	Sân · versin · cosinus · Cosenoverso · Tangent · Cotangent · Secant · Secante externe · Cosecant · Cosecant extern
Funcții inverse	Arc sinus · Arc cosinus · Arctangent · cotangent invers · Arcosecante · Arcocosecante
Teoreme și formule	Teorema frânghiei · Teorema sânilor · teorema cosinusului · legea tangențelor · Teorema cotangenților · Pitagora · Formulele de prostafareză · Formulele Werner
Alte	Tabel trigonometric · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor trigonometrice · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor arc · Funcții hiperbolice · identități trigonometrice · Constante trigonometrice exacte · Istoricul funcțiilor trigonometrice